本文關鍵詞： Girsanov變換 倒向隨機微分方程 期權定價 亞式期權　出處：《山東大學》2012年碩士論文　論文類型：學位論文

【摘要】：Girsanov定理是隨機分析中的一個基本原理,敘述了這樣一個問題,當初始概率測度變換為等價的概率測度時,在原概率空間中的隨機過程在新的概率空間中的表示形式將如何變化.特別是,通過適當?shù)膮?shù)選擇,應用Gir-sanov變換,我們可以將原概率空間一個Ito過程,變?yōu)樾碌母怕士臻g中的布朗運動Girsanov定理在很多領域內(nèi)具有廣泛的應用,在金融數(shù)學理論領域中起到了非常重要的作用,如可用于解決期權等金融衍生產(chǎn)品的定價問題. 期權作為最基本的金融衍生產(chǎn)品之一,在金融市場中具有重要的地位,對于其定價問題人們進行了深入和廣泛的研究.期權的定價模型依賴于標的資產(chǎn)價格的演化模型.在連續(xù)時間情形,標的資產(chǎn)的價格可以用隨機微分方程來刻畫,而期權持有者的資產(chǎn)過程可以通過一個倒向隨機微分方程來描述,因此期權的價格可以通過倒向隨機微分方程來求解.因此我們可以利用倒向隨機微分方程的理論和方法,推導出期權定價公式.但是對于很多倒向隨機微分方程來說,求得其顯式解是比較困難的,只能利用數(shù)值方法進行求解. 在本文中,我們主要研究一類帶有特殊終端條件的倒向隨機微分方程的求解問題,采用數(shù)值計算的方法進行求解.對于我們所研究的一維的倒向隨機微分方程,如下所示我們首先給出求解標準倒向隨機微分方程的數(shù)值方法,即終端條件形如yT=ξ=Φ((Bt)0≤t≤T)的情形,其中{(Bt)0≤t≤T}是一個1-維標準布朗運動.我們將通過隨機游走來逼近倒向隨機微分方程中的布朗運動,從而得到離散化的倒向方程.同時將終端條件做相應的離散化.然后從離散終端條件出發(fā),從后向前迭代,依次計算變量在各離散時間的可能取值,最終到達初始時刻t=0,求得離散倒向方程的解.可以證明,當滿足一定條件時,離散倒向方程的解收斂于原倒向隨機微分方程的解.因此我們可以用它作為倒向隨機微分方程的數(shù)值解. 在本文中,我們主要研究倒向隨機微分方程的終端條件形如yT=ξ=Φ((xt)0≤t≤T)的情況.其中xt是一個擴散過程,即隨機微分方程的解.對于xt無顯式解的情況,我們無法直接應用上述數(shù)值方法解方程.在此我們提供了更為實用而高效的方法,可通過Girsanov變換把此過程變換為另一個新的概率測度下的標準布朗運動,同時得到在新的概率空間下的倒向隨機微分方程,新空間的方程具有簡化了的終端條件,從而可以應用之前的標準倒向方程的數(shù)值計算方法.我們具體分析了三種特別形式的終端條件,給出了適用的Girsanov變換方法,變換后的離散倒向方程和離散終端條件,顯式算法和隱式算法的迭代公式,以及收斂性證明.其后我們給出了方程求解的具體算法及一些實例,具體來講,我們將Girsanov變換和數(shù)值方法應用于歐式期權定價的倒向隨機微分方程模型. 亞式期權是一種路徑依賴的期權合約,在期權到期日的收益依賴于整個期權有效期內(nèi)標的資產(chǎn)的價格平均值.如用倒向隨機微分方程來描述亞式期權定價模型,則此類方程也具有特殊終端條件.我們對歐式的具有固定敲定價格的算術平均亞式期權的定價進行了討論.如同之前介紹的方法,我們首先對倒向隨機微分方程模型進行Girsanov變換,從而簡化了模型,然后給出離散倒向方程的顯式算法和隱式算法的迭代公式,最后對其求解的情況進行了討論. 最后我們對本文所研究的問題進行了總結,闡明了解決上述問題的意義,并對有待解決的問題進行了展望.
[Abstract]:Girsanov theorem is a basic principle in stochastic analysis , and describes how a stochastic process in the original probability space will change when the initial probability measure is transformed into an equivalent probability measure . In particular , we can use Gir - sanov transform in the new probability space when the initial probability measure is transformed into an equivalent probability measure . In particular , we can use Gir - sanov transform to transform the original probability space into a new probability space . As one of the most basic financial derivatives , the option has an important position in the financial market . The pricing model of the options depends on the evolution model of the target asset price . In the case of continuous time , the price of the target asset can be described by a stochastic differential equation . The price of the option holder can be solved by an inverted stochastic differential equation . In this paper , we mainly study the solution of the inverse stochastic differential equation with special terminal conditions , and solve it by means of numerical calculation . In this paper , we mainly study the condition of the terminal condition of the inverse stochastic differential equation , such as yT = . . = 桅 (( xt ) 0 鈮，

本文編號：1523204