本文關(guān)鍵詞： Girsanov變換 倒向隨機(jī)微分方程 期權(quán)定價 亞式期權(quán)　出處：《山東大學(xué)》2012年碩士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：Girsanov定理是隨機(jī)分析中的一個基本原理,敘述了這樣一個問題,當(dāng)初始概率測度變換為等價的概率測度時,在原概率空間中的隨機(jī)過程在新的概率空間中的表示形式將如何變化.特別是,通過適當(dāng)?shù)膮?shù)選擇,應(yīng)用Gir-sanov變換,我們可以將原概率空間一個Ito過程,變?yōu)樾碌母怕士臻g中的布朗運(yùn)動Girsanov定理在很多領(lǐng)域內(nèi)具有廣泛的應(yīng)用,在金融數(shù)學(xué)理論領(lǐng)域中起到了非常重要的作用,如可用于解決期權(quán)等金融衍生產(chǎn)品的定價問題. 期權(quán)作為最基本的金融衍生產(chǎn)品之一,在金融市場中具有重要的地位,對于其定價問題人們進(jìn)行了深入和廣泛的研究.期權(quán)的定價模型依賴于標(biāo)的資產(chǎn)價格的演化模型.在連續(xù)時間情形,標(biāo)的資產(chǎn)的價格可以用隨機(jī)微分方程來刻畫,而期權(quán)持有者的資產(chǎn)過程可以通過一個倒向隨機(jī)微分方程來描述,因此期權(quán)的價格可以通過倒向隨機(jī)微分方程來求解.因此我們可以利用倒向隨機(jī)微分方程的理論和方法,推導(dǎo)出期權(quán)定價公式.但是對于很多倒向隨機(jī)微分方程來說,求得其顯式解是比較困難的,只能利用數(shù)值方法進(jìn)行求解. 在本文中,我們主要研究一類帶有特殊終端條件的倒向隨機(jī)微分方程的求解問題,采用數(shù)值計(jì)算的方法進(jìn)行求解.對于我們所研究的一維的倒向隨機(jī)微分方程,如下所示我們首先給出求解標(biāo)準(zhǔn)倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值方法,即終端條件形如yT=ξ=Φ((Bt)0≤t≤T)的情形,其中{(Bt)0≤t≤T}是一個1-維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動.我們將通過隨機(jī)游走來逼近倒向隨機(jī)微分方程中的布朗運(yùn)動,從而得到離散化的倒向方程.同時將終端條件做相應(yīng)的離散化.然后從離散終端條件出發(fā),從后向前迭代,依次計(jì)算變量在各離散時間的可能取值,最終到達(dá)初始時刻t=0,求得離散倒向方程的解.可以證明,當(dāng)滿足一定條件時,離散倒向方程的解收斂于原倒向隨機(jī)微分方程的解.因此我們可以用它作為倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值解. 在本文中,我們主要研究倒向隨機(jī)微分方程的終端條件形如yT=ξ=Φ((xt)0≤t≤T)的情況.其中xt是一個擴(kuò)散過程,即隨機(jī)微分方程的解.對于xt無顯式解的情況,我們無法直接應(yīng)用上述數(shù)值方法解方程.在此我們提供了更為實(shí)用而高效的方法,可通過Girsanov變換把此過程變換為另一個新的概率測度下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動,同時得到在新的概率空間下的倒向隨機(jī)微分方程,新空間的方程具有簡化了的終端條件,從而可以應(yīng)用之前的標(biāo)準(zhǔn)倒向方程的數(shù)值計(jì)算方法.我們具體分析了三種特別形式的終端條件,給出了適用的Girsanov變換方法,變換后的離散倒向方程和離散終端條件,顯式算法和隱式算法的迭代公式,以及收斂性證明.其后我們給出了方程求解的具體算法及一些實(shí)例,具體來講,我們將Girsanov變換和數(shù)值方法應(yīng)用于歐式期權(quán)定價的倒向隨機(jī)微分方程模型. 亞式期權(quán)是一種路徑依賴的期權(quán)合約,在期權(quán)到期日的收益依賴于整個期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)的價格平均值.如用倒向隨機(jī)微分方程來描述亞式期權(quán)定價模型,則此類方程也具有特殊終端條件.我們對歐式的具有固定敲定價格的算術(shù)平均亞式期權(quán)的定價進(jìn)行了討論.如同之前介紹的方法,我們首先對倒向隨機(jī)微分方程模型進(jìn)行Girsanov變換,從而簡化了模型,然后給出離散倒向方程的顯式算法和隱式算法的迭代公式,最后對其求解的情況進(jìn)行了討論. 最后我們對本文所研究的問題進(jìn)行了總結(jié),闡明了解決上述問題的意義,并對有待解決的問題進(jìn)行了展望.
[Abstract]:Girsanov theorem is a basic principle in stochastic analysis , and describes how a stochastic process in the original probability space will change when the initial probability measure is transformed into an equivalent probability measure . In particular , we can use Gir - sanov transform in the new probability space when the initial probability measure is transformed into an equivalent probability measure . In particular , we can use Gir - sanov transform to transform the original probability space into a new probability space . As one of the most basic financial derivatives , the option has an important position in the financial market . The pricing model of the options depends on the evolution model of the target asset price . In the case of continuous time , the price of the target asset can be described by a stochastic differential equation . The price of the option holder can be solved by an inverted stochastic differential equation . In this paper , we mainly study the solution of the inverse stochastic differential equation with special terminal conditions , and solve it by means of numerical calculation . In this paper , we mainly study the condition of the terminal condition of the inverse stochastic differential equation , such as yT = . . = 桅 (( xt ) 0 鈮，

本文編號：1523204