摘要：為了提高多載具自動化存取系統(tǒng)整體進出庫效率，分析了多載具自動化存取系統(tǒng)的運作特點，建立了同時考慮貨位分配和揀選路徑的集成優(yōu)化模型。模型以最小化單位指令周期的行程時間為優(yōu)化目標(biāo)，最后設(shè)計了兩階段禁忌搜索算法求解該問題。不同貨位規(guī)模和不同載具數(shù)量的數(shù)值實驗結(jié)果表明兩階段禁忌算法獲得的行程時間較初始解有至少40%的改善，而且與分別優(yōu)化的方法相比行程時間也能降低7%~23%。
關(guān)鍵詞：集成優(yōu)化；多載具；自動化存取系統(tǒng)；貨位分配；揀選路徑
中圖分類號：TP391     文獻標(biāo)識碼：A
Integrated optimization of storage location assignment and routing planning in a multi-shuttle automated storage and retrieval system
YANG Peng, MIAO Lixin, QI Mingyao
(Research Center for Modern Logistics, Graduate School at Shenzhen, Tsinghua University, Shenzhen518055, China)
Abstract: The patterns of operating the multi-shuttle automated storage and retrieval system (AS/RS) are analyzed to improve the overall efficiency of multi-shuttle AS/RS. The integrated optimization model of storage location assignment and routing planning is established to minimize the travel time of performing corresponding storage and retrieval operations in command cycle. To solve this complicated problem, a two-phase tabu algorithm is developed. According to numerical experiments combined with different location sizes and various shuttle numbers, at least 40% reduction for travel time can be obtained relative to the initial solutions using this algorithm. Additionally comparison to the result using the separate optimization method shows that the travel time is reduced by 7%~23%.
Key words: integrated optimization; multi-shuttle; automated storage and retrieval system; storage location assignment; routing planning
 
配送領(lǐng)域中自動化存取系統(tǒng)（Automated Storage and Retrieval System,簡稱AS/RS）貨位分配優(yōu)化關(guān)注指令周期內(nèi)為待存貨物分配合適空貨位以及為待取貨物選擇合適取貨貨位（待取的貨物可能存放在多個貨位上），以提高出入庫效率。單載具AS/RS一次行程最多訪問兩個貨位，貨位分配和揀選路徑（行程內(nèi)貨位訪問的順序）的關(guān)聯(lián)度較弱，單獨優(yōu)化貨位分配即能取得較好成效，但是多載具（multi-shuttle）AS/RS擁有多個載具（大于等于2個），一次行程可以同時存放和取出多個貨物單元，行程內(nèi)訪問的貨位數(shù)將大大增加。如果仍然單獨優(yōu)化貨位分配，將難以從整體上提高進出庫效率。
貨位分配的已有研究著重于單載具AS/RS貨位分配優(yōu)化^[1,2]和man-on-board(person-on-board)系統(tǒng)（即揀選人員在存取設(shè)備上完成存取貨作業(yè)，存取設(shè)備可以穿越不同的通道行走）貨位分配優(yōu)化研究^[3-5]，但僅關(guān)注為入庫貨物尋找最優(yōu)貨位存放，主要考慮貨物周轉(zhuǎn)率、保持貨架穩(wěn)定上輕下重、貨物相關(guān)性等因素，少量文獻^{[6, 7]}同時考慮了存貨貨位和取貨貨位的優(yōu)化，但大部分忽略了取貨貨位的分配優(yōu)化。多載具AS/RS控制優(yōu)化文獻較少，集中在存取指令作業(yè)調(diào)度排序^{[8, 9]}和吞吐能力仿真^[10]上，從集成角度對多載具AS/RS貨位分配和揀選路徑規(guī)劃的優(yōu)化還未見研究。
本文針對多載具AS/RS的特點，以配送領(lǐng)域為應(yīng)用背景，從集成優(yōu)化的角度對多載具AS/RS的貨位分配和揀選路徑問題進行研究。

1 問題描述

實際配送環(huán)境下存取系統(tǒng)不停進行出入庫作業(yè)，連續(xù)到達的存取貨指令分別形成入庫隊列和存貨隊列，多載具自動化存取系統(tǒng)按照指令周期（command cycle）模式進行運作，根據(jù)單位時間內(nèi)存貨隊列和取貨隊列的長度，可組合劃分為多個指令周期，假設(shè)堆垛機有n個載具(n≥2) ，一個指令周期內(nèi)最多可以完成n個貨物單元的存貨操作和n個貨物單元的取貨操作。根據(jù)系統(tǒng)存貨隊列和取貨隊列的情況，堆垛機可以進行復(fù)合式和單一任務(wù)式兩種指令周期作業(yè)方式，其中復(fù)合式指令周期指堆垛機一次行程同時完成m₁(0<m₁≤n）個貨物單元存貨操作和m₂(0<m₂≤n）個貨物單元取貨操作，單一任務(wù)式指令周期指堆垛機一次行程只完成m(0<m≤n)個貨物單元的存貨或取貨操作。指令周期是多載具自動化存取系統(tǒng)運作的最小單元，同時也是提高存取系統(tǒng)進出庫效率的基本優(yōu)化單元。每個指令周期幾乎都將面臨選擇存取貨位及貨位訪問順序設(shè)計（揀選路徑）問題，對基本單元內(nèi)對應(yīng)優(yōu)化問題的研究將是提高存取系統(tǒng)整體效率的基礎(chǔ)。本文同時考慮存取貨位分配和揀選路徑規(guī)劃兩個優(yōu)化問題，以最小化指令周期內(nèi)存取貨物的時間距離為目標(biāo)進行集成優(yōu)化研究。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 基本假設(shè)

考慮單元負載式(unit-load)自動化存取系統(tǒng)，以托盤為存取單元，貨物從同一出口進出，進出貨口(input/output point，I/O point)位于貨架左下方，每個貨位只能存放一個托盤單一種類的貨物，貨架上貨位具有相同尺寸，每個托盤都可以存放貨架上任一貨位；堆垛機有n個載具(n≥2)，各個載具的操作互相獨立，堆垛機在水平方向上和垂直方向上同時運動，假設(shè)水平方向和垂直方向均做勻速運動，速度已知且為常數(shù)，不受堆垛機載物與否影響；不考慮堆垛機在貨位處取貨和存貨(pickup/deposit)的時間；系統(tǒng)存貨隊列和取貨隊列無容量限制，規(guī)劃時間內(nèi)存貨隊列和取貨隊列貨物種類已知，且兩個隊列無相同種類貨物，否則直接從存貨隊列將貨物取走，不用進入存儲區(qū)，存貨隊列和取貨隊列的指令均按照先到先服務(wù)（FCFS）的原則處理。

2.2 符號定義

根據(jù)規(guī)劃時間內(nèi)存取貨隊列情況，按照FCFS規(guī)則劃分指令周期集合，不失一般性，任選集合中任一指令周期j作為研究對象，假設(shè)單位時間內(nèi)取貨隊列長度為LR，存貨隊列長度為LS，則，其中是指令周期總個數(shù)；為便于建模，補充定義如下符號：
I為貨物種類集合，數(shù)量N^I,索引i, i’；L為貨位集合，數(shù)量N^L，索引k,k’,l，其中貨位0代表I/O；n為堆垛機載具數(shù)量；為指令周期j執(zhí)行前空貨位集合；為指令周期j執(zhí)行前存儲貨物i的貨位集合，；S_j為指令周期j內(nèi)需存貨物集合；R_j為指令周期j內(nèi)需取貨物集合，滿足；AL_j為指令周期j內(nèi)可能訪問到的貨位集合，；c_kl為貨位k到貨位l的時間距離，；(W_k,H_k)為貨位k的坐標(biāo)，，（0,0）代表I/O；w為相鄰貨位水平方向距離；h為相鄰貨位垂直方向距離；v_x為堆垛機水平方向速度；v_y為堆垛機垂直方向速度；T(cc_j)為堆垛機完成指令周期j的行程時間；q_klj為在j指令周期內(nèi)，訪問完貨位k后在訪問貨位l前堆垛機的負載量；d_kj為j指令周期貨位k可存貨的數(shù)量；p_kj為j指令周期貨位k 可取貨的數(shù)量，其中，系統(tǒng)為單元式負載，負載量1代表1貨物單元。
集成優(yōu)化模型的決策變量為，取1表示指令周期j內(nèi)，貨物i存放在貨位k處，，否則取0；，取1表示指令周期j內(nèi)，從貨位處取出貨物，，否則取0；，取1表示指令周期j內(nèi)，訪問貨位k后立即訪問貨位l。另外為了建模方便，設(shè)置補充變量，取1表示貨位k在指令周期j內(nèi)將被訪問，，其中滿足。

2.3 數(shù)學(xué)模型

在任一指令周期j（復(fù)合式或單一任務(wù)式指令周期均可）內(nèi)，多載具AS/RS存取貨位分配和路徑規(guī)劃的確定屬于組合優(yōu)化問題，可抽象為下述整數(shù)規(guī)劃模型，待存取貨位確定后，模型即轉(zhuǎn)化為求解一個混合考慮存貨和取貨的TSP/PD(Travel Salesman Problem with Pickups and Deliveries)問題。該模型類似于宏觀層面的配送中心選址-路徑問題(Location Routing Problem，簡稱LRP)，但貨位的備選集合的規(guī)模較LRP更大且更復(fù)雜，路徑問題需考慮存貨取貨兩種操作，其約束條件也較LRP只考慮取貨操作情況更嚴(yán)格。
目標(biāo)函數(shù)約束條件
                  
                  
                 
        
               
               


             
           
             
兩個貨位間的時間距離采用切比雪夫距離表示為：
其中約束（1）和（2）確保指令周期j內(nèi)指定一個空貨位供貨物存放，約束（3）確保指令周期j內(nèi)從一個存有貨物i’的貨位上取貨以滿足取貨需求，約束（4）確保指令周期j 內(nèi)只訪問被分配的存取貨位，約束（5）（6）確保被分配的存取貨位全部遍歷到，約束（7）使訪問某一貨位（I/O除外）后，必須要從該貨位離開，約束（8）反映堆垛機訪問貨位l后所載貨物數(shù)量的變化，約束（9）確保使堆垛機從I/O點出發(fā)時的載貨量滿足指令周期內(nèi)的存貨需求，約束（10）確保堆垛機返回I/O點的載貨量滿足指令周期內(nèi)取貨需求，約束（11）保證堆垛機在運行過程中負載不超過其最大負載限制。
單位時間根據(jù)存取貨隊列情況劃分的指令周期集合中，上述模型在每一個指令周期都需求解一次，相鄰指令周期序列中空貨位和存貨貨位集合會發(fā)生不斷的更新，模型中貨位的初始分布狀態(tài)由上一次指令周期模型的求解結(jié)果決定，但限于篇幅，多指令周期的優(yōu)化將另文描述，本文只集中在基本優(yōu)化單元中單個指令周期的貨位分配和路徑規(guī)劃的集成優(yōu)化上。
TSP/PD和LRP已被證明為NP-hard問題，上述模型嵌套TSP/PD，而且約束較LRP更加嚴(yán)格，雖然現(xiàn)實多載具系統(tǒng)配置的載具數(shù)量有限（一般為2-6個），TSP/PD節(jié)點數(shù)的規(guī)模較小，存在采用精確算法求解TSP/PD問題的可能性，但是對貨位分配階段大規(guī)模禁忌搜索中每一個可行解精確求解一個TSP/PD問題，其計算代價將大大增加，另外上述集成優(yōu)化模型需要考慮貨位分配優(yōu)化和揀選路徑優(yōu)化之間的反饋關(guān)系，因此單獨采用貨位指派算法和路徑規(guī)劃算法也難以有效求解，本文設(shè)計兩階段的禁忌搜索（Tabu Search）算法進行求解，通過兩階段禁忌搜索的反饋獲得多載具AS/RS貨位分配和揀選路徑的最優(yōu)方案。

3 算法實現(xiàn)

禁忌算法是求解組合優(yōu)化問題的性能較優(yōu)的啟發(fā)式算法，其主要思想是用禁忌表記錄已經(jīng)到達過的局部最優(yōu)點或達到局部最優(yōu)的過程，在下次搜索中不再搜索這些點，以跳出局部最優(yōu)點，以提高算法性能，最終達到全局最優(yōu)。其中兩階段禁忌算法是適用于集成優(yōu)化問題的多階段啟發(fā)式算法，已成功應(yīng)用求解配送中心選址－路徑問題^[11]和集裝箱碼頭卸貨堆存位置選擇－集卡調(diào)度問題^[12]，其算法思想有效反映了不同優(yōu)化層面的反饋作用關(guān)系。
本文設(shè)計兩階段禁忌搜索算法求解多載具AS/RS貨位分配和揀選路徑集成優(yōu)化模型，算法流程如圖1。貨位分配階段，通過禁忌算法搜索貨物的存取貨位分配方案，基于貨位分配優(yōu)化方案，在路徑規(guī)劃階段，執(zhí)行另一禁忌算法求解貨位訪問的最優(yōu)路徑，在路徑優(yōu)化結(jié)果基礎(chǔ)上計算指令周期的總行程時間，并將此結(jié)果反饋到貨位分配優(yōu)化階段，從而影響貨位分配優(yōu)化階段的禁忌搜索過程，通過兩階段搜索過程的互相反饋獲得模型最優(yōu)解。下面對兩階段禁忌搜索算法的幾個關(guān)鍵技術(shù)作一介紹。

圖1 兩階段禁忌算法流程

3.1 初始解的構(gòu)建

貨位分配階段禁忌算法的初始解從可行解集中通過隨機方法生成，以“空貨位集合＋取貨貨位集合1＋取貨貨位集合2＋···”序列的0-1碼形式表示貨位分配方案；路徑規(guī)劃階段的禁忌算法初始解則通過改進的最近鄰點法（Nearest Neighbor，簡稱NN）生成，在改進的最近鄰點法中，每次的搜索范圍由是否存在空載具決定，有空載具最近鄰點從空貨位和待取貨物貨位的并集中搜尋，無空載具則只能從空貨位集合中搜尋。

3.2 貨位分配階段的鄰域搜索策略

由于貨位分配涉及存取貨位的選擇，如果采用簡單貨位交換方法生成鄰域，勢必會產(chǎn)生大量的不可行解，影響算法的執(zhí)行，本文設(shè)計一種基于片段的貨位交換方法來生成當(dāng)前解的鄰域，例如3載具AS/RS指令周期內(nèi)需要存放A，B，C貨物各一，取出D，E，F(xiàn)貨物各一，貨位分配方案采用“空貨位集合＋存放貨物D貨位集合＋存放貨物E貨位集合＋存放貨物F貨位集合”序列的0-1碼表示，其中可行解應(yīng)該滿足空貨位序列中三個碼位為“1”，表示選擇三個空貨位，存放貨物D，E，F(xiàn)貨位序列中各有一個碼位為“1”，從四個片段中以一定概率選擇某一片段，在片段內(nèi)進行0-1交換來構(gòu)造貨位分配階段的鄰域，以同時滿足解的可行性和搜索覆蓋面，鄰域規(guī)模視備選貨位分配備選集合規(guī)模而定，去除鄰域中被禁忌的對象，生成候選集合，采用改進的NN方法評價候選集合中解的性能，選擇最優(yōu)貨位分配方案作為本次迭代的最優(yōu)解，同時更新貨位分配階段的禁忌表，另外設(shè)置貨位分配階段允許無改進迭代次數(shù)的閾值MaxNonImp_L，當(dāng)連續(xù)迭代次數(shù)達到MaxNonImp_L時，解的性能仍無改進，貨位分配階段的鄰域搜索終止。

3.3 路徑規(guī)劃階段的鄰域搜索策略

貨位分配方案每次更新后，路徑規(guī)劃階段要在現(xiàn)有貨位分配方案基礎(chǔ)上，搜索其最優(yōu)的貨位訪問路徑方案。路徑規(guī)劃階段采用交換貨位順序方法構(gòu)造當(dāng)前解的鄰域，即已選貨位集合中兩個貨位進行對換，由于存取貨操作并行存在，需對鄰域的解作可行性驗證，剔除不滿足堆垛機載貨容量約束的不可行解，同樣設(shè)置路徑規(guī)劃階段允許無改進迭代次數(shù)的閾值MaxNonImp_R，當(dāng)連續(xù)迭代次數(shù)達到MaxNonImp_R時，解的性能仍無改進，路徑規(guī)劃階段的鄰域搜索終止，整個兩階段禁忌算法也同時終止。

3.4 禁忌表

貨位分配階段和路徑規(guī)劃階段均選擇解本身作為禁忌對象，禁忌表由矩陣表示，矩陣的每一行代表禁忌對象，行標(biāo)代表禁忌長度，每迭代一次，矩陣各行上移一位，代表對應(yīng)禁忌長度減一，原首行解禁忌解除，將新加入禁忌對象寫入尾行，禁忌長度的選擇有賴于問題規(guī)模和禁忌表存儲所需內(nèi)存空間的考量，一般貨位分配階段備選貨位集合規(guī)模較大，可選15-20較長禁忌長度為宜，路徑規(guī)劃階段可行解集合規(guī)模較小，可選5-10較短禁忌長度為宜。實際計算中，為提高計算效率，可對禁忌表參數(shù)動態(tài)調(diào)整，多次搜索后沒有改進時，可以適當(dāng)增加禁忌表的長度，當(dāng)所有解均被禁忌后，采用基于評價值的特赦規(guī)則，其中貨位分配階段采用改進的NN方法對解進行評價，路徑規(guī)劃階段則直接計算行程時間評價，選取評價較優(yōu)的解，提前解除禁忌。

4 算例分析

假設(shè)相鄰貨位水平方向間距w=1.5 m，垂直方向間距h=1.5 m，堆垛機水平方向速度v_x=2 m/s，垂直方向的速度為v_y=0.5 m/s，選擇40（5層×8列）、80（8層×10列）、120（10層×12列）、160（10層×16列）和200（10層×20列）五種貨架貨位數(shù)規(guī)模，選擇2-6 載具數(shù)量，存貨取貨所涉及的貨物共20種，初始貨位分布隨機生成，其中每種算例方案取10組計算，結(jié)果取10組平均值，貨位分配階段允許最大無改進迭代次數(shù)MaxNonImp_L=100，禁忌表長度取20，路徑規(guī)劃階段允許最大無改進次數(shù)MaxNonImp_R=100，禁忌表長度取5，采用Matlab 7.0為計算仿真工具，處理器AMD 2.30 GHz和內(nèi)存1GB的個人計算機作為計算平臺進行數(shù)值實驗。
選擇3載具AS/RS，對不同貨位規(guī)模的兩階段禁忌算法進行仿真實驗，結(jié)果如表1，結(jié)果表明與初始解相比，兩階段禁忌算法所得的行程時間有明顯改善，改進程度平均達到60%，算法的計算時間隨著貨位規(guī)模的增大而緩慢增加，但都能夠在合理時間內(nèi)有效收斂，可以滿足多載具AS/RS實際操作中的調(diào)度決策需求。
表1 兩階段禁忌搜索算法計算結(jié)果

貨位數(shù)	初始行程時間/s	兩階段禁忌算法得到的行程時間/s	兩階段禁忌算法的計算時間/s
40	34.12	15.97	4.82
80	49.27	17.32	4.97
120	56.17	22.05	5.04
160	56.70	23.25	5.17
200	69.22	24.75	5.21

取10層12列共120貨位規(guī)模的貨架，對不同載具數(shù)量的兩階段禁忌算法進行仿真實驗，結(jié)果如表2，結(jié)果表明算法在不同載具數(shù)量情況下均能有效改進解的性能，改進程度則隨載具數(shù)量的增加有所降低，2載具時改進64%，6載具時只有49%，但改進效果仍然明顯，隨著載具數(shù)量增多，算法計算時間顯著增加，這與存取貨的周期變長及搜索復(fù)雜性大大增加有關(guān)，但計算時間均處在可承受范圍內(nèi)。
表2 載具數(shù)量對兩階段禁忌搜索算法的影響

載具數(shù)	初始行程時間/s	兩階段禁忌算法得到的行程時間/s	兩階段禁忌算法的計算時間/s
2	45.52	18.82	2.93
3	57.82	22.27	5.03
4	59.70	29.77	7.39
5	72.97	34.20	9.97
6	79.20	40.05	12.88

為檢驗本文模型和算法集成優(yōu)化的性能，取3載具AS/RS，針對不同貨位規(guī)模，對貨位分配－揀選路徑分別優(yōu)化方法和本文的集成優(yōu)化方法進行仿真比較，其中分別優(yōu)化方法中貨位分配采用遺傳算法，最大迭代100代，揀選路徑采用改進NN法，比較結(jié)果如表3。結(jié)果表明無論貨位規(guī)模大小，兩階段禁忌算法在計算結(jié)果性能上和計算速度上都全面優(yōu)于分別優(yōu)化方法，計算結(jié)果最大改進程度達到23.22％，計算時間的改進程度隨著貨位規(guī)模增大快速增加，最大改進甚至達到90.70%。比較結(jié)果有效驗證了集成優(yōu)化模型和算法的優(yōu)越性，為多載具AS/RS實際作業(yè)調(diào)度提供了決策工具。
表3 兩階段禁忌算法與分別優(yōu)化法比較

貨位數(shù)	分別優(yōu)化法		兩階段禁忌算法			兩階段禁忌算法較分別優(yōu)化法的改進程度
	行程時間/s	計算時間/s	行程時間/s	計算時間/s		行程時間		計算時間
40	17.70	6.03	15.90		4.79	10.17%	20.56%
80	22.27	12.45	17.10		5.01	23.22%	59.76%
120	25.27	19.12	22.27		4.98	11.87%	73.95%
160	29.02	32.05	24.15		5.07	16.78%	84.18%
200	27.82	55.46	25.87		5.16	7.01%	90.70%

5 結(jié)論

多載具AS/RS指令周期內(nèi)可訪問多個貨位進行存取貨操作，統(tǒng)一考慮貨位分配和揀選路徑才能有效縮短行程時間，提高系統(tǒng)整體進出庫效率。集成優(yōu)化模型中優(yōu)化問題互相嵌套增加了模型復(fù)雜性，本文設(shè)計兩階段禁忌算法對模型求解，求解過程體現(xiàn)了兩個優(yōu)化問題的相互反饋關(guān)系。兩階段禁忌算法在不同貨位規(guī)模和載具數(shù)量下能夠顯著改善解的質(zhì)量，而且與分別優(yōu)化方法相比，能夠?qū)⑿谐虝r間平均降低15%左右，進而相應(yīng)提高系統(tǒng)出入庫效率。未來應(yīng)該進一步對規(guī)劃時間內(nèi)的多指令周期動態(tài)貨位分配和揀選路徑進行優(yōu)化，以便于多載具AS/RS實際作業(yè)調(diào)度中靈活使用。

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本文編號：4150