【摘要】：Kolmogorov在1933年利用Lebesgue測度和Lebesgue積分語言建立了概率論完整的公理化體系,使得概率論成為研究隨機性或不確定性現(xiàn)象的重要理論工具,但由于概率測度和線性期望自身的可加性并不能很好的解釋現(xiàn)實中許多的不確定(模糊)現(xiàn)象(例如效用理論中的Allais和Ellsberg悖論)Choquet1954年提出非可加測度理論-Choquet容度和Choquet積分,自此之后,Choquet容度有了較大的發(fā)展,例如Huber和Strassen (1973), Walley和Fine (1982), Schmeidler(1989), Denneberg(1994), Maccheroni和Marinacci(2005), Chen(2010)等人的工作Peng在2006年從全新的角度建立了非線性期望理論體系,該理論并不從經(jīng)典的概率空間出發(fā),而直接從非線性期望空間出發(fā)定義了隨機變量的獨立性,借助PDE證明了非線性期望的理論基礎(chǔ)(次線性期望下的中心極限定理),提出了G-布朗運動和G-It6隨機積分理論.由次線性期望的表示定理可知,一個次線性期望可以誘導(dǎo)出一個相伴的容度.受到柯爾莫哥洛夫, Choquet, Peng和Chen等人工作的啟發(fā),本論文主要研究容度下的極限理論,G-布朗運動的軌道性質(zhì)和G-Ito積分及其在金融中應(yīng)用等問題,獲得了容度下的大數(shù)定律和中心極限定理,次線性期望下加權(quán)和的中心極限定理,利用熱方程證明了一個Berry-Esseen定理,給出了次線性期望下離散鞅的一些性質(zhì)和G-布朗運動的增量刻畫,證明了由G-布朗運動驅(qū)動的G-SDE和G-BSDE在一定條件下的平穩(wěn)性和漸近指數(shù)平穩(wěn)性定理,同時也證明了G-布朗運動驅(qū)動的G-耦合正倒向隨機微分方程解的存在唯一性定理.最后討論了G-期望下的最優(yōu)控制問題和G-布朗運動在最優(yōu)消費和投資組合中的應(yīng)用,獲得了波動率不確定性下的最優(yōu)消費和投資策略以及共同基金定理.具體來說,本論文包括五章的內(nèi)容,它們的主要結(jié)果概括如下： 在第一章中,我們主要考慮次線性期望下的加權(quán)和中心極限定理,次線性期望和線性期望下的Berry-Esseen定理,容度下的中心極限定理和弱大數(shù)定理.在§1.1節(jié)中,受到Peng [79], Li和Shi[63]的工作的啟發(fā),我們得到了次線性期望下獨立不同分布隨機變量加權(quán)和的中心極限定理,同時也獲得了次線性期望下獨立不同分布隨機變量的弱大數(shù)定律,見定理1.1.8和推論1.1.12.利用上面的證明思想,我們也獲得了次線性期望下的Berry-Esseen定理,見定理1.1.14.在§1.2節(jié)中,利用熱方程和泰勒展開式證明了線性期望下的一個Berry-Esseen定理,見定理1.2.2. 在§1.3節(jié)中,證明了由次線性期望誘導(dǎo)的容度下的中心極限定理：假設(shè){Xi}i∞=1是E下i.i.d.的隨機變量序列,滿足E[X1]=E[-X1]=0.那么以及其中y分別是是V(y)和v(y)的連續(xù)點. 在§1.4節(jié)中,首先建立了一個具有模糊性的壇子模型,通過它引入了容度(Vv)以及最大-最小期望(E,E).在此模型的基礎(chǔ)上,證明了對于模糊性壇子模型中的隨機變量{Xi}1≤i≤n。以及任意的y∈R,有以及接著,把模糊性壇子模型擴展到了更一般的情形,見定理1.4.12. 在第二章中,我們介紹了隨機變量在次線性期望￡下正交的概念,獲得了一些關(guān)于SL-下鞅的相關(guān)結(jié)果,證明了許多關(guān)于SL-下鞅的不等式.一個典型的結(jié)果就是Doob不等式(定理2.2.10). Peng[77]在2006年引入了G-布朗運動和相關(guān)的平方變差過程,并獲得了一些相關(guān)的重要性質(zhì).在第三章中,我們主要討論多維G-布朗運動相互變差過程的許多有趣估計和性質(zhì),同時獲得了多維G-布朗運動的Kunita-Watanabe不等式(定理3.1.20)和Tanaka公式(定理3.1.23). 受到Csorgo和Revesz [24]思想的啟發(fā),在§3.2中,我們考慮G-布朗運動的軌道性質(zhì),給出了許多有用的推論,推廣了經(jīng)典情形下的相關(guān)結(jié)果.簡要來說,假設(shè)(Bt)t≥0是滿足E[B12]=σ2,-E[-B12]=σ-2的一維G-布朗運動.若aT(T≥0)是T的非減函數(shù)并滿足(i)0aT≤T,(ii)aT/T是非減的,且(iii)T→∞lim aT/T0或者aT三c(0c≤T),那么 在第四章中,我們證明了在可積-Lipschitz條件下由G-布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程和倒向隨機微分方程的平穩(wěn)性,見定理4.1.5和定理4.1.13.受到Antonelli [4]證明方法的啟發(fā),在一定條件下,證明了以下G-耦合正倒向隨機微分方程的存在唯一性：其中初值x∈R,終端值ξ∈LG2(HT；R),以及b, h, σ, g是給定的函數(shù)且滿足對任意的(x,y)∈R2, b(·,x,y),h(·,x,y), σ(·,x, y), f(·,x, y), g(·,x,y)∈MG2([0,T];R)以及Lipschitz條件. 在§4.2中,我們考慮G-SDE的指數(shù)平穩(wěn)性.首先,給定一個指數(shù)平穩(wěn)的隨機線性系統(tǒng)其中初始條件X0∈LG2(Hto；Rn),X=(X1,…,Xn)T,A是一個n×n的常數(shù)矩陣.假設(shè)該系統(tǒng)受到G-布朗運動的干擾,受到干擾后的系統(tǒng)為其中Bt是d維的G-布朗運動,以及σ：R+×Rn×Q→Rn×d滿足解的存在唯一性條件,它的解記為X(t,to,Xo),若存在正的常數(shù)C和α,使得對所有的x∈Rn以及足夠大的t,‖σ(t,x)‖2≤Ce-2‖A‖tq.s.,以及那么對所有的to≥0以及Xo∈LG2(Hto；Rn)同時也考慮了更一般的形式,見定理4.2.4. 在§4.3中,我們主要考慮G-期望下的最優(yōu)控制問題,獲得了相應(yīng)的動態(tài)規(guī)劃原理：對于任意的δ∈[O,T-t],有證明了值函數(shù)u(t,x)是以下一類全新的非線性二階偏微分方程的粘性解：其中對于更復(fù)雜的情形,見定理4.3.14. Merton [72]考慮了在線性期望下波動率為常數(shù)的的最優(yōu)投資組合問題,在第五章中,我們建立在G-期望框架下波動率具有不定性的最優(yōu)投資組合模型,獲得了最優(yōu)的投資和消費規(guī)則的表達式,見定理5.2.2,同時也獲得了在波動率不確定性下的共同基金定理,見定理5.3.1.為了表明最優(yōu)的投資組合依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的最大和最小波動率,在§5.4中,我們僅考慮兩種資產(chǎn)(股票和債券)并假設(shè)效用函數(shù)是一類特殊的效用函數(shù),得到最優(yōu)投資組合的顯示表達式.
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2012
【分類號】：F224;F830

【引證文獻】

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1 顏婕;;非線性數(shù)學(xué)期望在金融風(fēng)險中的應(yīng)用[J];財經(jīng)界(學(xué)術(shù)版);2013年17期

本文編號：2780986