本文選題：Boltzmann方程 + 溫和解��； 參考：《清華大學(xué)》2012年博士論文

【摘要】：Boltzmann方程是氣體運動論中的重要模型。近年來，應(yīng)用Boltzmann方程的理論和方法來研究經(jīng)濟學(xué)的問題已經(jīng)成為經(jīng)濟物理學(xué)的熱點之一。鑒于市場中的交易者通常以投資組合的方式來降低整體風(fēng)險，因此，研究投資組合的概率分布是一個非常有意義的課題。本文首先給出了一個在非負債背景下的高維模型，來描述投資組合的概率密度函數(shù)隨時間的發(fā)展變化。由于本文模型中的“碰撞核”結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜且缺少對稱性，因此很難直接將解寫成wild sums的形式，于是我們應(yīng)用壓縮映像原理來證明該模型溫和解的存在性和唯一性，并隨之給出了該解的矩估計。 本文的重點在于研究解的長時行為，因為這將有助于我們了解市場中投資組合的發(fā)展趨勢。由于該模型碰撞核的結(jié)構(gòu)特點，導(dǎo)致其溫和解僅保持零階矩守恒，即該模型中僅交易者的總數(shù)守恒。因此，即使在弱收斂的意義下，也很難直接得到非平凡的穩(wěn)態(tài)解。于是，我們考慮時間尺度變換解來討論本文模型的漸近極限方程。本文的主要結(jié)果定理5.3表明：在一定的假設(shè)條件下，當(dāng)交易額較小時，該模型在長時極限的意義下，可以用高維Fokker-Planck方程來逼近。該結(jié)果較好的體現(xiàn)了本文高維模型的研究意義。這是因為我們所得到的高維模型的漸近極限方程并不是若干一維情形的簡單疊加，而是依賴于兩兩投資項目之間的關(guān)系。該定理的證明過程主要包含了以下兩方面的工作：一方面，我們給出了一族尺度變換解{gr(w,t)}r,t的L1弱緊性的證明。我們首先得到了解的L2估計，結(jié)合已有的解的矩估計及零階距守恒律，應(yīng)用Dunford-Pettis準(zhǔn)則得到了該部分的結(jié)果。這部分的結(jié)論非常重要，因為如果缺少{gr(w,t)}1r,t的L弱緊性，我們所得到的漸近極限方程僅在分布意義下成立。另一方面，，與一維情形相比，我們采用了劃分積分區(qū)域、將被積函數(shù)變形等方法，對兩個余項1(r)、2(r)進行了更為細致的估計，從而弱化了這兩個余項收斂于零的條件。
[Abstract]:Boltzmann equation is an important model in the theory of gas motion. In recent years, using the theory and method of Boltzmann equation to study economics has become one of the hotspots in economic physics. In view of the fact that traders in the market usually reduce the overall risk by portfolio, studying the probability distribution of portfolio is a very meaningful topic. In this paper, we first give a high-dimensional model under the non-debt background to describe the probability density function of the portfolio over time. Because the structure of "collision nucleus" in this model is complex and lacks symmetry, it is difficult to write the solution directly into the form of wild sums, so we apply the principle of compression mapping to prove the existence and uniqueness of the model. Then the moment estimation of the solution is given. The focus of this paper is to study the long-term behavior of solutions, because this will help us to understand the trend of portfolio development in the market. Because of the structural characteristics of the collision nucleus, the mild solution of the model only keeps the zero-order moment conservation, that is, only the total number of traders in the model is conserved. Therefore, even in the sense of weak convergence, it is difficult to obtain nontrivial steady-state solutions directly. Therefore, we consider the solution of time scale transformation to discuss the asymptotic limit equation of the model. The main result of this paper, theorem 5.3, shows that under certain assumptions, the model can be approximated by high-dimensional Fokker-Planck equation in the sense of long term limit when the transaction volume is small. The results well reflect the significance of the study of the high-dimensional model in this paper. This is because the asymptotic limit equation of the high dimensional model is not a simple superposition of some one-dimensional cases, but depends on the relationship between pairwise investment projects. The proof of the theorem mainly includes the following two aspects: on the one hand, we give a proof of the L1 weakly compactness of a family of scale transformation solutions ({gri _ w _ t)} ~ r ~ (t). First, we obtain the L2 estimate of the solution. Combining with the moment estimation of the solution and the zero-order distance conservation law, we apply the Dunford-Pettis criterion to obtain the results of this part. This part of the conclusion is very important, because if we lack the L weakly compactness of {grg ~ (w) ~ (t)} 1rt, the asymptotic limit equation we have obtained is only valid in the sense of distribution. On the other hand, compared with the one-dimensional case, we use the method of dividing the integral region and deforming the integrable function to estimate the two remainder terms 1 ~ 1 ~ 2 ~ 2 ~ r in more detail, thus weakening the condition that the two remainder terms converge to zero.
【學(xué)位授予單位】：清華大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2012
【分類號】：O211.3;F830.59

【相似文獻】

相關(guān)期刊論文 前10條

1 李羅;;中國股票市場跨期資本資產(chǎn)定價模型實證研究——來自A股市場的數(shù)據(jù)[J];現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè);2011年11期

2 蘇鑫;周敏娟;;基于Copula模型的滬市A股投資組合風(fēng)險分析[J];中國證券期貨;2011年07期

3 李蕊;;基于均值-VaR的多周期最優(yōu)投資組合決策模型[J];青海大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版);2011年04期

4 蘇克平;周禮剛;陳華友;;基于CWAA算子的投資組合決策模型[J];武漢理工大學(xué)學(xué)報(信息與管理工程版);2011年04期

5 方搏超;;二項式期權(quán)定價模型與B-S模型的應(yīng)用及其比較[J];時代金融;2011年15期

6 楊煥云;;IASB對金融工具減值預(yù)期損失模型的完善[J];財會月刊;2011年23期

7 傅強;彭選華;;基于MCMC算法的時變Copula-GARCH-t模型參數(shù)估計及應(yīng)用[J];數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究;2011年07期

8 孫云龍;陳伶俐;;組合信用損失分布的蒙特卡洛模擬[J];河南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版);2011年04期

9 蘭旺森;趙國浩;;基于雙重加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的股票強相關(guān)性分析[J];數(shù)學(xué)的實踐與認識;2011年13期

10 張秀娟;;VaR的敏感度淺析[J];科教新報(教育科研);2011年24期

相關(guān)會議論文 前10條

1 馬強;孫劍平;;投資組合的對偶優(yōu)化問題分析[A];江蘇省現(xiàn)場統(tǒng)計研究會第11次學(xué)術(shù)年會論文集[C];2008年

2 ;The Gap between Linearized Poisson-Boltzmann Theory and DLVO Theory[A];第七屆全國液體和軟物質(zhì)物理學(xué)術(shù)會議程序冊及論文摘要集[C];2010年

3 ;A Fluctuating Lattice-Boltzmann Model for Direct Numerical Simulation of Particle's Brownian Motion[A];中國顆粒學(xué)會第六屆學(xué)術(shù)年會暨海峽兩岸顆粒技術(shù)研討會論文集（下）[C];2008年

4 方科;陳鋒;蘇雁軍;;一種環(huán)境水質(zhì)的格子Boltzmann建模研究[A];'2010系統(tǒng)仿真技術(shù)及其應(yīng)用學(xué)術(shù)會議論文集[C];2010年

5 赫萬恒;錢躍z

本文編號：1776821