對稱是自然界中的普遍現(xiàn)象,對稱模式表現(xiàn)在物理學(xué)、數(shù)學(xué)、藝術(shù)等多個領(lǐng)域中,音樂也不例外。童忠良的《近現(xiàn)代和聲的功能網(wǎng)》一書就對音樂中的對稱性進(jìn)行了有益的探索。本文從傳統(tǒng)和弦之間的五度關(guān)系擴(kuò)大到三度關(guān)系,從傳統(tǒng)的同主音調(diào)式滲透擴(kuò)大到同中音調(diào)式滲透,從重同名調(diào)對主調(diào)的滲透到重中音循環(huán)理論,以及它們所引起的由功能組擴(kuò)展到功能族、功能群直至功能網(wǎng)等幾個方面出發(fā),從數(shù)學(xué)的角度分析《近現(xiàn)代和聲的功能網(wǎng)》中的對稱性,從而探討音樂的對稱在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)形式,并為音樂中的一切現(xiàn)象與哲學(xué)、美學(xué)、數(shù)學(xué)等諸多領(lǐng)域得以交匯的研究提供一份有益的參考。 

【文章來源】：音樂創(chuàng)作. 2019,(05)北大核心

【文章頁數(shù)】：6 頁

【部分圖文】：

“五度—三度音列”對稱示意圖

942019年第5期《》一、中心對稱結(jié)構(gòu)童忠良先生在提出了中音和弦的概念：“介于五度關(guān)系的兩個和弦之間的和弦”的基礎(chǔ)上，通過對作品的深入分析，證明了和聲間三度關(guān)系的大量存在，從而列出了“五度—三度音列”圖。筆者利用數(shù)學(xué)分析，通過輔助虛線處理，可以看出該圖存在中心對稱，即一個圖形以一個點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)180度，與另一個圖形完全重合，這就意味著這兩個圖形通過這個點(diǎn)構(gòu)成中心對稱，這個點(diǎn)就叫中心對稱點(diǎn)�！拔宥取纫袅小眻D的中心對稱點(diǎn)在圖1中X軸Y軸相交的原點(diǎn)位置。圖1“五度—三度音列”對稱示意圖如圖所示，若以C為根音的大三和弦為中心，以大三度為一個單位，小三度為0.5個單位，那么，對稱中軸的左邊：-0.5＋（-1）＋（-0.5）＋……依次相加，得到9個單位。同理，對稱中軸右邊：1＋0.5＋1＋0.5＋……依次相加，也得到9個單位。從而可知，對以C為根音的大三和弦來說，其下屬方向有9個單位=（-9），其上屬方向也有9個單位=（+9），從而構(gòu)成以C為根音的大三和弦為中心對稱點(diǎn)的中心對稱結(jié)構(gòu)。沿著屬和弦、同名和弦延伸為重屬和弦、重同名和弦的思路，童忠良先生發(fā)展了中音理論，提出了重中音概念（即中音的中音），把和聲功能族、功能群再次擴(kuò)大到功能網(wǎng)。從中可看出許多中心對稱的關(guān)系，如圖2所示：圖2功能網(wǎng)對稱關(guān)系

2019年第5期《》95圖2中如果以大三度為1個單位，小三度為0.5個單位，以C大調(diào)為中心，右上方存在兩個大三度即2（1＋1）個單位，左下方同樣也存在兩個大三度即2（1＋1）個單位，這樣就形成了以C大調(diào)為中心對稱點(diǎn)的中心對稱結(jié)構(gòu)。同理，以C大調(diào)為中心左上方存在兩個小三度即1（0.5＋0.5）個單位，右下方也存在兩個小三度即1（0.5＋0.5）個單位，形成了以C大調(diào)為中心對稱點(diǎn)的中心對稱結(jié)構(gòu)。同樣，以功能網(wǎng)上的任何一個調(diào)為中心，也都能形成中心對稱結(jié)構(gòu)。二、軸對稱結(jié)構(gòu)童忠良先生用對稱模式的雙向思維方法擴(kuò)大了同名調(diào)的概念，提出了同中音調(diào)（即于主調(diào)的上中音與下中音相同的調(diào)）。筆者把由同名調(diào)而產(chǎn)生的對稱結(jié)構(gòu)分為兩種：軸對稱和循環(huán)對稱。軸對稱，即一個圖形沿著一條直線對折，對折后與另一圖形完全重合，這兩個圖形叫軸對稱圖形，這條對折線叫對稱軸。如果我們以五度調(diào)為1個單位，那么介于五度關(guān)系調(diào)之間的三度關(guān)系調(diào)為0.5個單位。以此為數(shù)學(xué)坐標(biāo)軸上的單位矢量，同時假設(shè)C大調(diào)為對稱中心軸，這樣可以得到G是上屬方向的一個單位，e是上屬方向的0.5個單位；F是下屬方向的1個單位，a是下屬方向的0.5個單位。依此類推，從而可知對于C大調(diào)來說，其上屬方向的3.5個單位是#c小調(diào)（=+3.5），其下屬方向的3.5個單位是c小調(diào)（=-3.5），兩個方向構(gòu)成了軸對稱，如圖3所示。圖3同名調(diào)軸對稱示意圖圖4宮角軸對稱示意圖宮角軸引起的對稱性也是非常有意思的。若分別以C宮系統(tǒng)的角、宮為軸，向上屬方向和下屬方向擴(kuò)展，便形成了以G宮系統(tǒng)和F宮系統(tǒng)為代表的孿生的五度宮調(diào)系統(tǒng)，以D宮


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