本文關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型課程，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

出口的污水濃度，使在符合國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的條件下總的處理費用最小。 工廠1 工廠2 工廠3

處理站1 處理站2 處理站3

江水

居民點1 居民點2 居民點3

先建立一般的數(shù)學(xué)模型，再求解以下的具體問題：

設(shè)上游江水流量為1000×1012l/min，污水濃度為0.8mg/l，三個工廠的污水流量均為5×1012l/min，污水濃度（從上游到下游排列）分別為100，60，50（mg/l），處理系數(shù)均為1萬元/（（1012 l/min）×(1mg/l)），3個工廠之間的兩段江面的自凈系數(shù)（從上游到下游）分別為0.9，0.6。國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的污染濃度不超過1mg/l。

（1）為了使江面上所有地段的水污染達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)，最少需要花費多少費用？

（2）如果只要求三個居民點上游的水污染達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)，最少需要花費多少費用？

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題目24：草原鼠患問題

在我國的內(nèi)蒙古大草原，由于各種人為因素對自然生態(tài)系統(tǒng)的破壞(如過度放牧、大量消滅草原上的狼群等)，造成草原鼠患問題嚴(yán)重，并由此引發(fā)了嚴(yán)重的生態(tài)問題。

老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它們食量巨大，每年都得在洞內(nèi)外囤積大量牧草。以一個大沙鼠的洞為例，里面經(jīng)常囤草25—40公斤之多。而且，老鼠的繁殖力強，在自然界堪稱獨一無二。老鼠對草原危害最大的莫過于它們挖掘洞穴的習(xí)性。由于挖掘造成的環(huán)境損失遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于單純的食草所造成的危害。所有鼠害發(fā)生的地方，，洞道縱橫，水土流失嚴(yán)重。有的甚至形成了大面積寸草不生的“鼠荒地”。

更糟糕的是至今我們尚未找到能有效控制進而消滅草原老鼠的辦法。也就是說，至少以目前的技術(shù)力量，我們還不能用人工種草的辦法永久地恢復(fù)自然植被。就像有句名言所說的那樣：大自然不可以被模仿和重復(fù)。而這才是我們之所以對鼠害之類憂心忡忡的真正原因。那么，我們還能做些什么呢？也許只有不停地滅鼠種草了。有科學(xué)家說，人類自打開始滅鼠的第一天起，就背上了一個日益沉重的包袱。因為不當(dāng)?shù)臏缰畏椒�，鼠害日益泛濫，而且越滅越多，因而也就不得不繼續(xù)滅下去了。但是，能否最終將老鼠趕出草原，目前尚難以作出定論。 控制草原鼠患，現(xiàn)在人們通常采用的有下面幾種方法:

(1) 滅鼠藥 現(xiàn)在所用的滅鼠藥在殺死老鼠的同時，也殺死了老鼠的天敵。因此，實際的情況是，撒滅鼠藥后老鼠的數(shù)量反而以幾何級數(shù)增長。改進的方法是，可以研制無公害的滅鼠藥，但這需要一定的時間和大量資金的投入。

(2) 引入老鼠的天敵 通過人工喂養(yǎng)和馴化老鼠的天敵，如鷹、狐貍、狼等， 將一定數(shù)量的老鼠的天敵引入鼠患嚴(yán)重的草原，利用它們控制老鼠的數(shù)量。這種方法在短期內(nèi)有效，但也有一定的問題：一是費用比較高，例如，喂養(yǎng)和馴化一只

銀狐的費用要上千元；二是引入的數(shù)量難以確定，數(shù)量太小，難以控制鼠患，數(shù)量太多就會引起新的生態(tài)問題。

(3) 人工種植牧草 鼠類是一種需要開闊視野的生物種，只要有茂密的牧草生長，它們就無法生存。它們的視線之內(nèi)如果毫無遮攔，便會肆意橫行。在草場植被密集的地方，老鼠并不容易打洞，而且在這樣的環(huán)境中，老鼠遇到天敵追捕時也難以及時躲避，所以數(shù)量不會激增。但是，據(jù)有關(guān)資料顯示，青藏高原上幾乎所有的人工種草都會在一定時間內(nèi)自行退化。

任務(wù)1、建立恰當(dāng)數(shù)學(xué)模型，對上述滅鼠方法的效果進行評估分析，要考慮到短期和長期的效果以及資金投入的問題；

任務(wù)2、對控制草原鼠患，恢復(fù)生態(tài)平衡，提出你認(rèn)為切實可行的建議；

任務(wù)3、通過網(wǎng)絡(luò)或其它途徑（如公開出版的文獻(xiàn)、研究論文等）搜集、收集實際數(shù)據(jù)，驗證你的模型及結(jié)果。

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題目25：洗盤子問題

在家里,每天做飯后總會有一大堆油膩膩的盤子需要清洗,為清洗這些盤子,你準(zhǔn)備了一大盆熱的肥皂水,熱水的溫度足夠洗掉盤子上的油膩而不燙手,隨著洗滌過程的繼續(xù),盆中的水會漫漫地冷下來,一直到無法在清洗這些盤子,假設(shè)每個盤子重0.5KG,盆內(nèi)水重15千克,盆內(nèi)最初溫度是60度最終無法清洗盤子的溫度是40度,盆內(nèi)水的表面積是0.1平方米,空氣溫度是20度,試建立模型分析使用這盆熱水可以洗多少個盤子,已知盤子的熱容量是600焦耳/千克,水的熱容量是4200焦耳/千克,水到空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)是100焦耳/米*秒

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題目26：企業(yè)季度生產(chǎn)計劃問題

某廠甲、乙兩種產(chǎn)品，第一季度的最大需求量及單位產(chǎn)品利潤和每月的庫存成本如表1所示。

表1 產(chǎn)品需求量、利潤及庫存成本

需求量 利潤（未計庫存成本）（元/單位產(chǎn)品） 每月庫存成本（元/單位產(chǎn)品）

一月 二月 三月

甲產(chǎn)品 250 540 700 3.0 0.2 乙產(chǎn)品 180 150 700 4.5 0.3 生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品都必須經(jīng)過由兩道工序，分別使用A、B兩類機器。A類機器有4臺，B類機器有5臺，每臺機器每月運轉(zhuǎn)180工時。生產(chǎn)單位甲產(chǎn)品需機器A0.9工時，機器 B1.0工時；生產(chǎn)單位乙產(chǎn)品需機器A0.5工時，機器B0.75工時。

該廠倉庫容量為100平方米，存貯每單位甲產(chǎn)品需占面積0.75平方米，每單位乙產(chǎn)品需占面積1.2平方米。該季度開始時無庫存量，計劃在本季度結(jié)束時甲、乙兩種產(chǎn)品各庫存40單位。分別求解以下兩個問題：

（1）假定一月和二月A、B兩類機器各有一臺檢修，三月份有一臺A類機器和兩臺B類機器檢修，A類機器檢修需100工時，B類機器檢修需150工時。該廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)計劃，才能使本季度獲利最大？

（2）規(guī)定A、B類機器在本季度內(nèi)需檢修的總臺數(shù)同（1），確定合理的檢修計劃，

使該廠在本季度獲利最大？

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題目27：一個游擊戰(zhàn)問題

戰(zhàn)爭作為人性的負(fù)面總是伴著社會的發(fā)展，它是一個復(fù)雜的問題，涉及兵員、武器、地理、士氣、指揮藝術(shù)，后勤、氣候等等的綜合作用。這樣的模型一般是很難建立的。但在一定合理假設(shè)的條件下，還是可以近似建模的。

比如說解放區(qū)的抗日戰(zhàn)爭，日軍憑借人數(shù)、武器和資源等的優(yōu)勢，常常對人民武裝進行打擊、掃蕩。而人民軍他總是憑借自己的地利優(yōu)勢，群眾基礎(chǔ)、靈活機動等來抗擊敵人的打擊，從而牽制和消滅敵人。假設(shè)有一次，由于叛徒的出賣。日軍獲知一支人數(shù)為 400人的游擊隊在某一個面積為60平方公里的山區(qū)活動。于是派出了人數(shù)為900人的部隊分三路進行包圍打擊。游擊隊在敵人進攻前也得到了敵人要來的情報。于是研究組織了應(yīng)敵之策。

假設(shè)你是一個指揮員或作戰(zhàn)參謀，請你分析建立一個模型，來預(yù)測這次戰(zhàn)斗，我方人員能否擺脫敵人的包圍，設(shè)計一個方案使我方能有效地打擊敵人。

【設(shè)計任務(wù)】

• 建立微分方程模型（參考戰(zhàn)爭預(yù)測等微分方程模型）；

• 求解模型的解析解或者數(shù)值解（如果可行的化，求解析解可以自己推導(dǎo)或者借助 matlab 符號求解函數(shù)；求數(shù)值解可以通過數(shù)值分析算法進行或者調(diào)用 mtlab 函數(shù) ode 系列函數(shù)）；

• 畫出圖形進行直觀的分析和展示；

• 寫出論文。

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題目28： 確定肥豬的最佳銷售時機

一般從事豬的飼養(yǎng)和銷售總希望獲得利潤，因此飼養(yǎng)某種豬是否獲利，怎樣獲得最大利潤，是飼養(yǎng)者必須考慮的問題。如果把飼養(yǎng)技術(shù)水平，豬的性質(zhì)等因素看成不變的，且不考慮市場的需求變化，那么影響獲利大小的一個主要因素是如何選擇豬的售出時機，即何時把豬賣出獲利最大。也許有人認(rèn)為，豬養(yǎng)的越大，售出后獲利愈大，其實不然，因為隨著豬的生長，單位時間消耗的飼養(yǎng)費用也就愈多，但同時其體重的增長速度卻不斷下降，所以飼養(yǎng)時間過長是不合算的。 考慮某個品種豬的最佳銷售時機的數(shù)學(xué)模型。

【設(shè)計任務(wù)】

• 分析問題，并搜集資料和數(shù)據(jù)

• 建立飼料消耗模型

• 建立肥豬的生長模型

• 建立確定最優(yōu)化模型（可以以利潤最大化作為優(yōu)化目標(biāo)，看看還有沒有其他思路）

• 建立其他需要的模型

選用合理的數(shù)據(jù)求解模型；可能用到的 Matlab 函數(shù)有：符號工具箱，最優(yōu)化工具箱函數(shù)，作圖函數(shù)等等。

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題目29： 渡口模型

【問題提出】

一個渡口的渡船營運者擁有一只甲板長 32 米，可以并排停放兩列車輛的渡船。他正在考慮怎樣在甲板上安排過河車輛的位置，才能安全地運過最多數(shù)量的車輛，并關(guān)心一次可以運多少輛車，其中有多少小汽車，多少卡車，多少摩托車，他觀察了數(shù)日，發(fā)現(xiàn)每次情況不盡相同，但他得到下列數(shù)據(jù)和情況：

（1）車輛隨機到達(dá)，形成一個等待上船的車列。

（2）來到渡口的車輛中，轎車占 40 ％，卡車占 55 ％，摩托車占 5 ％

（3）轎車車身長為 3.5 ～ 5.5 米，卡車車身長為 8 ～ 10 米。

這是一個遵循“先到先服務(wù)”的隨機排隊問題，涉及到排隊論的基本知識。這里試著用一個模擬模型解決船主的問題，主要是給出解決問題的思路。

【設(shè)計任務(wù)】請考慮以下問題：

• 應(yīng)該怎樣安排摩托車？

• 怎樣描述了一輛車的車身長度？

• 到達(dá)的車要加入甲板上兩列車隊的哪一列中去？

• 如何考慮“安全”問題？

請就以上問題建立數(shù)學(xué)模型，最終保證安全，并運用計算機進行模擬車輛到達(dá)、安排停車過程。

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題目30： 超市收費系統(tǒng)

• 目的與意義；

• 練習(xí)模擬模型的建立過程；

• 進一步熟悉模擬算法的設(shè)計、編程問題。

• 要求；

• 熟練應(yīng)用 Matlab的隨機變量的模擬函數(shù)；

• 加強離散系統(tǒng)模擬算法的分析和設(shè)計訓(xùn)練；

• 提高 Matlab的編程應(yīng)用技能。

一小超級市場有 4 個付款柜，每個柜臺為一位顧客計算貨款數(shù)的時間與顧客所購商品件數(shù)成正比（大約每件費時1s），20%的顧客用支票或信用卡支付，這需要1.5min，付款則僅需0.5min 。有人倡議設(shè)一個快速服務(wù)臺專為購買8個或8個以下商品的顧客服務(wù)，指定另外兩個為“現(xiàn)金支付柜”。

請你建立一個模擬模型，用于比較現(xiàn)有系統(tǒng)和倡議的系統(tǒng)的運轉(zhuǎn)。假設(shè)顧客到達(dá)平均間隔時間是 0.5min ，顧客購買商品件數(shù)按如下頻率表分布。 件數(shù)

9~19 20~29 30~39 40~49

相對頻率 0.12 0.10 0.18 0.28 0.20 0.12

【設(shè)計任務(wù)】

根據(jù)題目要求建立模型并求解。

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