本文關(guān)鍵詞：證明余弦定理

  更多相關(guān)文章： 經(jīng)典 證明 Ptolemy 定理 無(wú)字

    Ptolemy 定理是平面幾何中非常漂亮的定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)邊乘積之和等于對(duì)角線的乘積。具體地說(shuō)，如果把一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的四條邊順次記為 a 、 b 、 c 、 d ，把兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度記為 e 和 f ，那么一定有 a · c + b · d = e · f 。 Ptolemy 是一個(gè)非常重要的定理，，由它出發(fā)可以得出很多推論。例如，在圓內(nèi)接矩形上應(yīng)用 Ptolemy 定理，可以立即得到勾股定理。下面是另外兩個(gè)可以用 Ptolemy 定理來(lái)解決的問(wèn)題：證明余弦定理，以及構(gòu)造兩兩間的距離都是整數(shù)的點(diǎn)集。

     William Derrick 和 James Hirstein 在最近的 The College Mathematics Journal 上給出了下面這個(gè) Ptolemy 定理的無(wú)字證明，你能看明白嗎？

 
    左圖是一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，由于同弧所對(duì)的圓周角相等，因而圖中會(huì)產(chǎn)生四對(duì)相等的角，我們用 α 、 β 、 γ 、 δ 來(lái)標(biāo)記。由于圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，因此有 α + β + γ + δ = 180° �，F(xiàn)在，把陰影三角形放大到原來(lái)的 f 倍，這個(gè)三角形的三邊將會(huì)變?yōu)?a · f 、 b · f 、 e · f 。把紅色三角形放大到原來(lái)的 b 倍，于是三條邊的長(zhǎng)度將會(huì)變?yōu)?b · a 、 b · d 、 b · f 。注意到兩個(gè)放大后的三角形都有一條長(zhǎng)為 b · f 的邊。同樣地，把藍(lán)色三角形放大 a 倍，三邊長(zhǎng)將變?yōu)?a · b 、 a · c 、 a · f ，它和放大版的陰影三角形都有一條長(zhǎng)度為 a · f 邊。因此，我們可以像右圖那樣，把三個(gè)放大版的三角形拼到一起。由于 α + β + γ + δ = 180° ，因此右圖中上面那三個(gè)點(diǎn)是共線的，整個(gè)圖形是一個(gè)四邊形。觀察四邊形四個(gè)內(nèi)角的關(guān)系可以很快看出，這個(gè)四邊形是一個(gè)平行四邊形。因而，它的上下兩條對(duì)邊應(yīng)該相等，于是有 a · c + b · d = e · f 。

 
來(lái)源：