本文關(guān)鍵詞：證明余弦定理，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

篇一 : 1.1.2 余弦定理

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余弦定理ppt 1.1.2 余弦定理

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篇二 : 1.1.2 余弦定理

1.1.2 余弦定理

1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方 法； 2.會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.(難點)

問題1

運用正弦定理能解怎樣的三角形？

①已知三角形的任意兩角及其一邊；

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角.

問題2

如果已知三角形的兩邊及其夾角，能解這個三

角形嗎？ 根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、 形狀完全確定的三角形. 從量化的角度來看，如何從已知的兩邊和它們的夾 角求三角形的另一邊和兩個角？ 這就是我們這節(jié)課要講的內(nèi)容.

如何由已知兩邊和它們的夾角求三角形的另一邊？

即：如圖，在△ABC中，設(shè)BC=a, AC=b, AB=c.已知a, b 和∠C，求邊c.
用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未 知，所以較難求邊c. 由于涉及邊長問題，從而可以 考慮用向量來研究這個問題. C
b

A

c a
B

.

，
， , , .
? b

A
? c ? a

C

B

一、余弦定理：
三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減 去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即

注：利用余弦定理，可以從已知的兩邊及其夾角求出三角

形的第三條邊.

這個式子中有幾個量？從方程的角度看 已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一 角？ 式子中共有4個量.已知其中三個量，可以求出第四個量， 當(dāng)然能由三邊求出一角.

二、余弦定理的推論：
,

.

注: 由上述推論, 可以由三角形的三條邊求出三角形的 三個角.

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)
系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān) 系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余
弦定理的特例.

余弦定理及其推論的基本作用是什么？
①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其他角.

例1

在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41° ，解三

角形（角度精確到1°，邊長精確到1 cm）. 解：方法一： 根據(jù)余弦定理， a2=b2+c2-2bccosA =602+342-2×60×34×cos41o ≈1 676.82， ∴a≈41(cm).

由正弦定理得，

因為c不是三角形中最大的邊，所以C是銳角，利用計算 器可得C≈33°，B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.

方法二： 根據(jù)余弦定理， a2 +c2 =b2 -2bccosA =602 -2×60×34×cos41o≈1 676.82， +342 ∴a≈41(cm). 由余弦定理得

所以利用計算器可得C≈33°，
B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.

思考:在解三角形的過程中，求某一個角時既可用正弦 定理也可用余弦定理，兩種方法有什么利弊呢？

注意：一般地，在“知三邊及一角”要求剩下的兩個角
時，應(yīng)先求最小的邊所對的角.

例2

在△ABC中，已知a=134.6 cm，b=87.8 cm，c=161.7 cm，

解三角形（角度精確到1′）. 解：由余弦定理的推論得：

，

；
， ， .

思考：在已知三邊時，一般先利用余弦定理求哪個角？

然后用正弦定理還是繼續(xù)用余弦定理求角？
在已知三邊時，一般先利用余弦定理求兩個較小的 角（大邊對大角,小邊對小角），然后再由三角形內(nèi)角和 求第三角.

解三角形的四種基本類型
已知條件 定理選用 正弦定理 一般解法 由A+B+C=180°求角A,由正弦定理 求出b與c. 由余弦定理求出第三邊c，再由正弦 定理求出剩下的角. 由正弦定理求出角B,再求角C,最后 求出c邊.可有兩解,一解或無解. 先由余弦定理求出其中兩個角,再利用 內(nèi)角和為180°求出第三個角.

一邊和二角
(如a,B,C) 兩邊和夾角

余弦定理

(如a,b,C)
兩邊和其中一 邊的對角 (如a,b,A) 三邊(a,b,c) 正弦定理

余弦定理

1.在△ABC中，已知下列條件，解三角形(角度精確到0.1o, 邊長精確到0.1 cm): (1) a＝2.7 cm，b＝3.6 cm，C＝82.2o；

(2) b＝12.9 cm，c＝15.4 cm，A＝42.3o.

2.在△ABC中，已知下列條件，解三角形(角度精確到0.1o, 邊長精確到0.1 cm): (1) a＝7 cm，b＝10 cm，c＝6 cm；

(2) a＝9.4 cm，b＝15.9 cm，c＝21.1 cm.

1.余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾
股定理是余弦定理的特例.

2. 余弦定理的應(yīng)用范圍：
①已知三邊求三角； ②已知兩邊及它們的夾角，，求第三邊.

自安于弱，而終于弱矣；自安于遇，而終
于愚矣。 ——呂祖謙

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