本文關(guān)鍵詞：證明余弦定理，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

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角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三

邊所對(duì)的角是銳角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣”．還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理

的各種變形式,并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn),在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá)到求解、求

證目的. 啟發(fā)學(xué)生在證明余弦定理時(shí)能與向量數(shù)量積的知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系,在應(yīng)用向量知識(shí)的同時(shí),注

意使學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識(shí)之間的聯(lián)系.

教法與學(xué)法

1．教法：采取啟發(fā)式教學(xué)方法，在教學(xué)中提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情景引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)觀察、思考、類(lèi)

比、討論、總結(jié)、證明，在主動(dòng)探究中汲取知識(shí)，提高能力。

2．學(xué)法：從學(xué)生原有的知識(shí)和能力出發(fā),在教師的帶領(lǐng)下，通過(guò)合作交流,共同探索,逐步解決

問(wèn)題.

教具：計(jì)算機(jī)，多媒體投影，黑板

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

(一)創(chuàng)設(shè)情境 引入課題

1. 問(wèn)題提出

【師】運(yùn)用正弦定理能解怎樣的三角形？

【生】①已知三角形的任意兩角及其一邊；

②已知三角形的任意兩邊和其中一邊的對(duì)角.

【師】那么，已知兩邊及其夾角，怎么求出此角的對(duì)邊呢？已知三條邊，又怎么求出它的

三個(gè)角？

如果已知三角形的兩邊及其夾角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、

形狀完全確定的三角形.

從量化的角度來(lái)看，如何從已知的兩邊和它們的夾角求三角形的另一邊和兩個(gè)角呢？

2、課堂探究：

【師】已知三角形兩邊和它們的夾角，求三角形的另一邊？

如圖，在△ABC中，設(shè)BC=a, AC=b, AB=c.已知a, b和∠C，求邊c？

【板書(shū)/PPT】

??如圖，設(shè)CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，則 b c?2???????c?c?a?ba?b??????? ?a?a?b?b?2a?b?2?2?? ?a??2a?b???????????????????

從而 c2?a2?b2?2abcosC

同理可證 a2?b2?c2?2bccosA

b2?a2?c2?2accosB

【師】于是得到以下定理

(二)余弦定理【板書(shū)/PPT】

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的

余弦的積的兩倍。即 a2?b2?c2?2bccosA

b2?a2?c2?2accosB

c2?a2?b2?2abcosC

思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三

邊求出一角？

（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

b2?c2?a2 cosA?a2?c2?b2 cosB?b2?a2?c2 cosC?

[理解定理]

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？

（由學(xué)生總結(jié)）若?ABC中，C=900，則cosC?0，這時(shí)c2?a2?b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

(三)例題解析【板書(shū)/PPT】

例1：如圖所示，有兩條直線AB和CD相交成80°角，交點(diǎn)是Ｏ.甲、乙兩人同時(shí)從點(diǎn)Ｏ分別沿OA,OC方向出發(fā)，速度分別是4km/h,4.5km/h.3小時(shí)后兩人相距多遠(yuǎn)（結(jié)果精確到0.1km）

?

【師】分析：經(jīng)過(guò)3小時(shí)，甲到達(dá)點(diǎn)P，OP=4×3=12(km),乙到達(dá)點(diǎn)Q，OQ=4.5×3=13.5(km).問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在△OPQ中，已知OP=12km，OQ=13.5km,∠POQ=80°，求PQ的長(zhǎng).

解： 經(jīng)過(guò)3小時(shí)后，甲到達(dá)點(diǎn)P，OP=4×3=12（km）,乙到達(dá)點(diǎn)Q，OQ=4.5×3=13.5(km). 由余弦定理，知

PQ???16.4(km)

答：3小時(shí)后兩人相距約16.4km.

【師】同學(xué)們，我們來(lái)練一下

【板書(shū)/PPT】

課堂練習(xí)：

1. b=8, c=3, A=60°,a=________

解析：a?

2. a=°,b=________

解析：b【師】請(qǐng)看這題

變式 已知△ABC中，a = 8, b = 4, B=30? , 求邊長(zhǎng)c.

asinB

解法一：由正弦定理，得：sinA????A1?45?,A2?135?.

A1?45?，C1?180??(A1?B)?180??(45??30?)?105?.

sinC1 ?c1?b

sin?B?4.

A2?135?. C2?180??(A2?B)?180??(135??30?)?15?

.

sinC2 ?c2?b

sinB?4.

解法二：由余弦定理，得b2?c2?a2?

2cacosB

?2?c2?82?2?8?c?cos30?

.

c2??32?0.

解之，得：c1?

4,c2?4.

【師】1° 解法一中，要注意C有兩個(gè)結(jié)果，避免遺漏.

2° 解法二是利用余弦定理，直接求出c,更加簡(jiǎn)捷，值得提倡.

【師】同學(xué)們來(lái)看一看例題2

【板書(shū)/PPT】

例2:右圖是公元前約400

.試計(jì)算圖中線段BD的長(zhǎng)度及∠DAB的大�。ㄩL(zhǎng)度精確到0.1,角度精確到1°）

解：在△BCD中，BC=1，CD=1，∠BCD=135°.

因?yàn)锽D2?BC2?CD2?2BC?CDcos?

BCD

?12?12?2?1?1cos135??2

所以BD?1.8.

在△ABD中，

AB=1,BD?AD?AB2?AD2?BD2 ∵ cos?DAB?

?2AB?AD?0.1691

∴?DAB?80?

【師】同學(xué)們，我們來(lái)練一下

【板書(shū)/PPT】

課堂練習(xí)：

1. a=20, b=29, c=21,B=________ a2?c2?b2

解析：cosB?=0 ∴B=90° 2ac

2. a=2, b=

1 ，A=______ b2?c2?a2解析：cosA?

= ∴A=45° 2bc2

3. a=9, b=10, c=15.A=____,B=_____,C=_____ b2?c2?a2a2?c2?b2

解析：cosA?≈0.58 ， cosB?≈0.63 2bc2ac

∴A=36° B=40° C=104°

【師】同學(xué)們來(lái)看一看例題3

【板書(shū)/PPT】

例3 在△ABC中，已知(a?b?c)(b?c?a)?3bc, 求A.

解：由(a?b?c)(b?c?a)?3bc, 得(b?c)2?a2?3bc,

即b2?c2?a2?bc.

?cosA?b?

2cbc?a?2bcbc?2,222

?A?60?.

【師】同學(xué)們，我們來(lái)練一下

【板書(shū)/PPT】

練習(xí) 在?ABC中,

已知a2?b2?c2 ,求角C. a2?c2?b2解析：∵cosB?

∴C=45° 2ac

【師】同學(xué)們來(lái)看一看例題4

【板書(shū)/PPT】

例4．在△ABC中已知a＝2bcosC，求證：△ABC

證1：欲證△ABCa＝bsinA sinB

∴2bcosC＝bsinA，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinsinB

∴sinBcosC－cosBsinC＝0，

即sin（B－C）＝0，∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ

∵B、C是三角形的內(nèi)角，∴B＝C

證2：根據(jù)射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，

又∵a＝2bcosC∴2bcosC＝bcosC＋ccosB∴bcosC＝ccosB，即

bsinBsinBcosB?.∴?,即tanB＝tanC csinCsinCcosCbcosB?. ccosC又∵

∵B、C在△ABC中，∴B＝C∴△ABC

a2?b2?c2aa2?b2?c2a及cosC?,∴?, 證3：∵cosC＝2ba2b2ab2b

化簡(jiǎn)后得b2＝c2∴b＝c ∴△ABC【師】同學(xué)們，我們來(lái)練一下

【板書(shū)/PPT】

練習(xí):根據(jù)所給條件，判斷?ABC的形狀。

（1）acosA?bcosB； （2）abcAb?c??；（3）cos2? cosAcosBcosC22c

解：（1）由acosA?bcosB得2RsinAcosA?2RsinBcosB，所以sin2A?sin2B，

所以2A?2B或2A???2B，所以A?B或A?B?

所以?ABC是等腰三角形或直角三角形。

（2）由?2， abc2RsinA2RsinB2RsinC????得，即 cosAcosBcosCcosAcosBcosC

tanA?tanB?tanC，

又A,B,C?(0,?)，所以A?B?C，所以?ABC是等邊三角形。

b2?c2?a2b2?c2?a2b1?cosAb?cb??， （3），cosA?，又因?yàn)閏osA?，22cc2bc2bcc

得a2?b2?c2，所以?ABC是直角三角形。



(四)總結(jié)反思，深化認(rèn)識(shí)

1. 余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

2. 余弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知三邊求三角；

②已知兩邊及它們的夾角，求第三邊.

當(dāng)堂檢測(cè)

1. 在?ABC中，已知b?1,c?2,A?60?，則a?____

解析：由余弦定理得

a?

2.?ABC的三邊之比為3:5:7，求這個(gè)三角形的最大角.

解析：∵三角形的三邊之比為3:5:7，所以可以設(shè)三邊分別為3a,5a,7a.由正弦定理可得，， 7a所對(duì)的角最大,設(shè)所對(duì)的角為A，則由余弦定理可得：

32?52?721cosA?=? ，A=120° 22?3?5

3.?ABC中，a=2，

b=C=15°，解此三角形.

解析：∵c2?a2?

b2?2abcosC?8?

∴c?a2?c2?

b2 ∴cosB?∴B＝135° ?2ac2

∴ A＝ 180°－(B＋C) ＝ 30

作業(yè)布置：

①課后閱讀：課本第9頁(yè)[探究與發(fā)現(xiàn)]

②課時(shí)作業(yè)：第11頁(yè)[習(xí)題1.1]A組第3（1），4（1）題。

板書(shū)設(shè)計(jì)

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本文編號(hào)：237241