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第２ｌ卷第３期

２００９年６月六盤水師范高等�？茖W(xué)校學(xué)報ＪｏｕｍａｌｏｆＬｉｕｐａｎｓｈｕｉＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅＶ０１．２１ＮＯ．３Ｊｕｎｅ２００９

用向量法證明海倫公式

杜云

（六盤水師范學(xué)院數(shù)學(xué)系；貴州六盤水５５３００４）

摘要：從數(shù)與形的角度對向量進(jìn)行再認(rèn)識，通過應(yīng)用向量方法證明海倫公式。毒進(jìn)一步闡明了向量是溝通代數(shù)與幾何的天然橋梁，是一個重要的數(shù)學(xué)模型，它能為解決問題提供新的方法和視角。

關(guān)鍵詞：向量；幾何；海倫公式；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號：Ｇ４２１文獻(xiàn)標(biāo)識碼：Ａ

ＴｏｐｒｏＶｅ文章編號：１６７１—０５５Ｘ（２００９）０３—００６３一０３Ｈｅｍｎ，ＳＦｏｍｌｕｌａ啊ｔＩｌＵ地Ⅵ圮ｔｏｒ

ＤＵＹｕｎ?

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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｖｅｃｔｏｒ；ｇｅｏｍｅｎｙ；Ｈｅｒｏｎ，ｓＦｏ硼ｕＩａ；ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎａｌｇｅｂｒａａｎｄｇｅｏｍｅⅡｙ

向量是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一。它既是幾何的研究對象，又是代數(shù)的研究對象，是溝通代數(shù)、幾何的橋梁；有著極其豐富的物理背景和應(yīng)用背景，是重要的數(shù)學(xué)模型；具有良好的運算通性、幾何的直觀性、表述的簡潔性和處理問題的一般性，，對各種數(shù)學(xué)問題融會貫通，是一種成熟的、廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具。適當(dāng)?shù)匕严蛄糠椒ㄓ糜诟鲾?shù)學(xué)分支，既為我們解決這些數(shù)學(xué)問題提供了新的方法、增加新的視角，又?jǐn)U充了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神的一種良好方法和有效途徑。

隨著數(shù)學(xué)課程改革的深入，向量不僅僅在近代幾何、現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有廣泛的運用，而且在中學(xué)初等幾何、三角函數(shù)等問題中也體現(xiàn)出不可替代的作用，用向量方法不僅使這些問題簡單化，更重要的是為學(xué)生提供了一種解決問題的有效方法。通過應(yīng)用向量來解決平面幾何、立體幾何和三角函數(shù)中的相關(guān)問題，讓學(xué)生感受到向量作為一個成功的數(shù)學(xué)模型，是由人們在生產(chǎn)、生活中不斷抽象、升華、提煉而成的，能很好地激發(fā)剛踏入大學(xué)校門的大學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們掌握正確的學(xué)習(xí)和研究的方法。１對向量的再認(rèn)識

向量是一個具有幾何和代數(shù)雙重身份的概念，同時向量代數(shù)所依附的線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一個完整的體系，具有良好的分析方法和完整結(jié)構(gòu)。通過向量的運用對傳統(tǒng)問題的分析，可以幫助學(xué)生更好地建立代數(shù)與幾何的聯(lián)系，也為中學(xué)數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過渡奠定直觀的基礎(chǔ)．

向量的原型是力，它是物理對象，用有向線段表示力，使它成了幾何對象；引入坐標(biāo)系后向量又變成了有序?qū)崝?shù)，從而又變成了代數(shù)對象；向量溝通了物理與數(shù)學(xué)，并具有幾何和代數(shù)雙重身份。在數(shù)學(xué)中我們習(xí)慣用“數(shù)”表示代數(shù)，“形’’表示幾何，向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性與和諧性。

隨著人們對向量認(rèn)識的深化，向量從３維發(fā)展到ｎ維。例如，把所有實系數(shù)多項式的全體看成一個多項式空間，這里的多項式都可看成一個向量。在這種情況下，要找出起點和終點甚至畫出箭頭表示方向是辦不到的。這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多，可以是任意數(shù)學(xué)對象或物理對象，這樣，就通過向量把線性代數(shù)方法應(yīng)用到廣闊的自然科學(xué)領(lǐng)域中去了。因此，向量空間的概念，已成了數(shù)學(xué)中最基本的概念和線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它的理論和方法在自然科學(xué)的各領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。而向量及其線性運算也為“向量空間”這一抽象的概念提供出了一個具體的模型。

例如，對于柯西不等式：０Ｉ軌＋ｎ２％＋…＋口。以）２≤＠；＋口；＋…＋口：）（６１２＋易；＋…＋易：）收稿日期：２００９—０３一０３

作者簡介：杜云（１９８２一），男，貴州盤縣人，助教，研究方向：高等代數(shù)與解析幾何。一６３—

則ｃ。ｓ＜咖≥下』絲竺絲筆竺些√口？＋口；＋…＋口：√易？＋易；＋…＋６：

對于兩個ｎ維向量的夾角應(yīng)考慮ｌｃｏｓ＜ａ，６＞ｌ≤ｌ，可以利用ｎ維向量的數(shù)量積把二者統(tǒng)～起來，設(shè)口＝（口ｌ＋口２＋…＋ａ。），６＝（易ｌ＋易２＋…＋６。），

這就是著名的柯西不等式，當(dāng)，ｌ≤３時，可以用有向線段（向量）的數(shù)量積公式證明，非常直觀、方便。當(dāng)，ｌ≥４時，不能用向線段來證明，我們可以用純代數(shù)的方法來證明它成立，這也從代數(shù)的角度支持了ｎ維向量的合理性，也充分說明了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性和和諧性。

另一方面，向量是重要的數(shù)學(xué)模型，用Ｖ表示向量的集合，則Ｖ對于向量的加法運算構(gòu)成交換群。（Ｖ、Ｒ）對于Ｖ中向量的加法、實數(shù)域Ｒ中的實數(shù)與向量的乘法（數(shù)乘）運算構(gòu)成線性空間。Ｖ中向量的數(shù)量積運算可以刻畫向量的長度，給Ｖ中的向量賦以長度后，（ｖ、Ｒ）對于向量的加法、實數(shù)與向量的乘法運算構(gòu)成線性賦范空間。群、線性空間、線性賦范空間都是重要的數(shù)學(xué)模型，也是抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析的重要研究對象。因此，向量為理解抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析提供了基本的數(shù)學(xué)模型。

把平面和空間看成是一個向量場，還可以培養(yǎng)學(xué)生對結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的認(rèn)識，而結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的主要方向。利用參數(shù)方程的概念，可以把曲線看作向量函數(shù)的軌跡，可以使學(xué)生方便地運用微積分于幾何的研究和學(xué)習(xí)，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)微分幾何、泛函分析等打基礎(chǔ)．這里也可以把向量理解為現(xiàn)代數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接的組成部分之一。下面介紹向量在平面幾何中的一種應(yīng)用——用向量法證明海倫公式。

２海倫公式

在利用三角形的三個邊求面積的問題上，古希臘數(shù)學(xué)家海倫（Ｈｅｒｏｎ）給出的公式：ｓ△＝丫頁歹＝萬歷＝歷兩，其中ａ，ｂ，ｃ是三角形三邊的長，ｐ＝些掣，ＩＳ△即為三角形Ｚ

的面積。這就是著名的海倫公式，傳說是古代的敘拉古國王希耶隆二世發(fā)現(xiàn)的公式，它也叫做秦九韶——誨倫公式。這是因為，我國南宋時期的數(shù)學(xué)泰斗秦九韶編撰的《數(shù)書九章》一書的卷五中曾記載過“三斜求積術(shù)”，所謂“術(shù)”就是方法，它就是根據(jù)三角形三邊求三角形的面積的問題。本文日：“問有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里。中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知為田幾何”答日：“面積二百一十五頃”其術(shù)文是：“以小斜冪并大斜冪，減中斜冪，余，半之。同乘于上，以小斜冪乘大斜冪，減上。余，四約之為實，開平方，得積�！比粢源笮庇洖椋�，中斜記為６，小斜記為ｃ，秦九韶的方法相當(dāng)于下面的一般公式：ｓ△：１辟【口：ｆ：一（塵掣）ｚ】這里口≥６≥ｃＹ４Ｚ

它雖然與海倫公式形式上不一樣，但兩者是完全等價的，實質(zhì)是一樣的。故海倫公式也稱之為秦九韶——海倫公式。下面我們就運用向量這一有力工具來證明秦九韶——海倫公式。

３海倫公式的向量法證明

例ｌ設(shè)△ＡＢｃ三邊長分別為ｄ，６，ｃ，ｐ是半周長，即ｐ：生掣

２

則?叉＝√ｐ（ｐ一口）（ｐ一易）（ｐ—ｃ），

一“一證明：如圖ｌ，設(shè)麗＝４，歷＝６，否＝ｃ，Ｉ麗ｌ＝口，陋ｌ＝ｃ，Ｉ蘊ｌ＝６，

由口拍Ｈ＝Ｏ，可知（口＋６）２司２Ａ

利用數(shù)量的交換律與分配律得４２柏２＋２口．６號２

即有４?易＝丟（孑�？冢惨晃鳎玻�。Ｃ

另一方面，由向量的數(shù)量積的概念可知

Ｂ圖ｌ

口礓２一（４?６）２＝口２６２（１一ｃｏｓ２ｃ）＝口２易２ｓｉＩｌ２ｃ＝４ｓ：

故４ｓ：＝口２易２一三（ｃ２一口２—６２）２（１）

這就是海淪公式，即用△ＡＢＣ三邊長分別為口，６，ｃ來表示△ＡＢＣ的面積。下面把（１）式代為所要的形式。

４ｓ：＝如２一扣彳∥）２＝三【坳－（ｃ２彳∥）】【２拼（＾口２－∽】＿三（口＋易㈦又因臚掣，有４《：４ｐ（ｐ一口）（ｐ一易）（ｐ—ｃ）（口＋６一ｃ））（ｃ＋口一易）（ｃ一口＋６）

即ｓ：＝ｐ（ｐ一口）（ｐ一易）（ｐ—ｃ）

所以ｓ△＝√ｐ（ｐ一口）（ｐ一易）（ｐ—ｃ）

上述證明中關(guān)鍵是將三角形的面積用向量來表示，然后利用向量的運算律將其化簡，這樣就使幾何問題完全代數(shù)化了。由于向量運算的規(guī)律本身就包含著幾何定理的內(nèi)容，因此利用向量的運算律進(jìn)行向量的代數(shù)運算，實際上就是利用基本的幾何定理來進(jìn)行推理，向量的代數(shù)運算本身就是一種幾何推理，這樣向量就把代數(shù)與幾何，數(shù)與形自然地結(jié)合在一起了，因此說向量是溝通代數(shù)與幾何的一座天然的橋梁。

參考文蚨：

【１】王培甫，張金蘭．向量及其應(yīng)用【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００５

【２】秦九韶．?dāng)?shù)書九章新釋【Ｍ】．合肥：安徽科學(xué)技術(shù)出版社，１９９２

【３】胡銀偉．向量的由來【Ｊ】．?dāng)?shù)學(xué)愛好者（高一秈，２００７（３）：５７

【４】呂林根，許子道．解析幾何：第四版【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００６—６５—

用向量法證明海倫公式

作者：

作者單位：

刊名：

英文刊名：

年，卷(期)：

被引用次數(shù)：杜云， DU Yun六盤水師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,貴州,六盤水,553004六盤水師范高等專科學(xué)校學(xué)報JOURNAL OF LIUPANSHUI TEACHERS COLLEGE2009，21(3)0次

參考文獻(xiàn)(4條)

1.王培甫.張金蘭 向量及其應(yīng)用 2005

2.秦九韶 數(shù)書九章新釋 1992

3.胡銀偉 向量的由來 2007(03)

4.呂林根.許子道 解析幾何 2006

相似文獻(xiàn)(10條)

1.期刊論文 陸金菊.Lu Jinju 試論向量在幾何中的應(yīng)用 -山西廣播電視大學(xué)學(xué)報2010,15(1)

向量在解決數(shù)學(xué)問題中有著廣泛的用途.利用向量知識解決幾何問題可以將"定性"研究轉(zhuǎn)變?yōu)?quot;定量"分析,使復(fù)雜問題簡單化.從而,使學(xué)生掌握"數(shù)形"結(jié)合的方法,提高解決問題的能力.

2.期刊論文 徐永紅.洪文學(xué).高直 模式特征的幾何代數(shù)多向量表示方法 -燕山大學(xué)學(xué)報2010,34(2)

模式表示是模式識別的一個基本問題.傳統(tǒng)統(tǒng)計模式識別理論中模式特征一般表示為一個數(shù)值向量,并被視作n維歐式空間中的一個點.這種表示方法只利用了一階特征,容易丟失模式特征間的關(guān)聯(lián)信息和高階結(jié)構(gòu).本文首先闡述了幾何代數(shù)的公理化定義和一些基本概念,然后將傳統(tǒng)的模式特征向量表示推廣為幾何代數(shù)空間的多向量表示,接著討論了該表示的兩種特例,最后闡述了基于該多向量表示進(jìn)行特征提取和分類的一般思想和需要進(jìn)一步研究的問題.

3.期刊論文 丁自瑞.Din Zirui 向量在幾何中的應(yīng)用 -保山師專學(xué)報2005,24(5)

向量,包括平面向量和空間向量,是高中數(shù)學(xué)新教材的主要內(nèi)容之一.隨著課改的深入,高考命題中向量將是不可缺少的重要命題點,在教學(xué)中我們看到,向量在幾何中的用途是很大的,向量在處理長度、距離、夾角、垂直、平行等幾何問題中占明顯優(yōu)勢,向量的使用大大降低了某些題目的難度,簡化了運算,它是解決幾何問題的有力工具.

4.學(xué)位論文 陳雪梅 中學(xué)向量課程與教學(xué)的研究 2007

向量是高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。向量作為一種不同于數(shù)的量，有自己獨特的運算結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)，學(xué)習(xí)向量有助于發(fā)展學(xué)生對“數(shù)、量和運算”的認(rèn)識。向量幾何提供了一種認(rèn)識空間和圖形的新方法，使學(xué)生初步領(lǐng)略機(jī)械化的現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想。向量是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念之一，可以使師生從一種新的角度詮釋許多初等數(shù)學(xué)知識，并為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中線性代數(shù)理論奠定基礎(chǔ)。

近幾年，從數(shù)學(xué)角度探索向量教與學(xué)的研究多是探討技術(shù)進(jìn)入數(shù)學(xué)課程后怎樣影響學(xué)生數(shù)學(xué)概念的發(fā)展以及解題途徑的產(chǎn)生。向量概念包括方向和大小兩個維度，有幾何圖像和代數(shù)坐標(biāo)等多種表征方式。這給教學(xué)和學(xué)生的概念理解都帶來一定困難。向量進(jìn)入我國高中數(shù)學(xué)課程后，引起廣大師生的極大關(guān)注和興趣。但國內(nèi)數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域?qū)ο蛄拷虒W(xué)中許多重要而基礎(chǔ)的問題一直缺少實證研究。例如普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中要求學(xué)生“理解平面向量概念”，“能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系。能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理�！�，“體會向量方法在研究幾何問題中的作用”，等等。因此，我們試圖通過對向量教學(xué)中四個基本問題的探討來反映當(dāng)前的現(xiàn)狀和問題。

我們首先以SOLO，APOS等教學(xué)理論為基礎(chǔ)檢驗學(xué)生對向量概念(幾何圖象和代數(shù)坐標(biāo))的理解水平，以及與向量概念有關(guān)的錯誤類型。我們選擇302名高二學(xué)生為被試，利用測試卷、訪談、個案研究作為研究工具。研究發(fā)現(xiàn)，對于檢驗向量概念的測試題，有約占總數(shù)22％的學(xué)生在幾何圖像方面達(dá)到水平4，約占總數(shù)3％的學(xué)生在代數(shù)符號方面達(dá)到水平4，只有約2％的學(xué)生在幾何圖像和代數(shù)符號兩個方面都達(dá)到靈活協(xié)調(diào)階段。大多數(shù)學(xué)生沒有建構(gòu)自由向量概念。學(xué)生更傾向于應(yīng)用向量的幾何圖像表征處理問題。把向量看作一段距離或一個數(shù)是向量錯誤的主要類型。

其次，我們檢驗了用向量法處理立體幾何度量與位置關(guān)系問題的教學(xué)效果。以測試卷和調(diào)查表為工具，我們對368名高三學(xué)生怎樣處理能用兩種方法(綜合法與向量法)解決的立體幾何(位置關(guān)系與角的度量)問題以及學(xué)生對兩種方法特征的認(rèn)識進(jìn)行了研究。研究結(jié)果表明：同時用兩種方法處理問題的學(xué)生(EV型)人數(shù)最多，僅使用綜合法(E型)的人數(shù)略高于僅使用向量法(V型)的人數(shù)。但V類型學(xué)生的解法似乎更有效，成功率高于E類型學(xué)生。而且EV類型學(xué)生的得分結(jié)果也表明，向量方法的正確率高于綜合法。

我們還分析了兩種錯誤類型——一般性錯誤與向量錯誤。對E類型和EV類型學(xué)生來說，一般性錯誤主要出現(xiàn)在邏輯推理方面，其次是技術(shù)性錯誤，誤用題目信息，誤用定理或定義。對于運用向量方法的學(xué)生，V類型學(xué)生和EV類型學(xué)生(應(yīng)用向量法部分)的一般性錯誤類型都是數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換。向量坐標(biāo)計算錯誤是向量錯誤的主要類型。對于兩種方法(綜合法與向量法)特征的認(rèn)識，研究表明學(xué)生認(rèn)為綜合法的最主要優(yōu)點是：綜合法是解決立體幾何問題的基本方法(向量只能處理個別問題)。綜合法的最主要缺點是不會做輔助線以及找不到要求的線或角。學(xué)生認(rèn)為向量法的最主要優(yōu)點是方法簡潔有效，向量法的主要缺點是計算繁瑣易出錯。

第三，我們以皮亞杰的圖式理論為基礎(chǔ)，從知識關(guān)聯(lián)性的角度研究了教師的向量概念。我們以測試卷、訪談、個案研究為工具，對23名教師進(jìn)行了調(diào)查。結(jié)果表明：大多數(shù)教師不能以一種系統(tǒng)的觀點去看待向量概念及其一些變換，例如，他們對向量概念的理解僅限于教材中的定義——“向量是既有大小又有方向的量”。他們雖然能判斷～個線性方程組有無解，但不能表示出解空間的結(jié)構(gòu)。他們認(rèn)為復(fù)數(shù)、矩陣與向量概念有許多相似，但看不清幾個概念之間的關(guān)系。

第四，我們通過對上海、沈陽和石家莊三地1069位教師的問卷調(diào)查和其后三位教師的訪談，調(diào)查高中教師對向量在高中數(shù)學(xué)課程中作用的態(tài)度，教師相關(guān)教學(xué)知識的發(fā)展途徑，教師希望進(jìn)一步培訓(xùn)的內(nèi)容，等等。結(jié)果表明：立體幾何簡化論和解題方法的多樣性是大多數(shù)教師對向量進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課程的基本認(rèn)識。

最后，我們通過反思和整合各項研究結(jié)果，得出如下結(jié)論：(1)教材和教學(xué)沒有重視培養(yǎng)學(xué)生的自由向量概念。(2)立體幾何用兩種方法(綜合法和向量法)處理沒有引起學(xué)生的思維沖突，但仍受歐氏幾何影響較深。(3)大多數(shù)教師具有的向量知識以程序性經(jīng)驗為主。(4)囿于自身經(jīng)驗積累和反思，以及同水平經(jīng)驗分享的知識發(fā)展途徑影響了教師教學(xué)內(nèi)容知識(向量概念)的進(jìn)一步發(fā)展。據(jù)此，我們對向量教學(xué)、教材編寫以及教師培訓(xùn)提出若干建議：(1)教材應(yīng)明確提出自由向量概念。(2)改進(jìn)向量定義的敘述方式。(3)教學(xué)應(yīng)展現(xiàn)向量概念從不同的物理情境到數(shù)學(xué)概念的抽象過程，突出自由向量的概念本質(zhì)。(4)加強(qiáng)向量的代數(shù)坐標(biāo)表示及運算的教學(xué)。(5)探索和推廣新的教師教育發(fā)展模式勢在必行。

5.期刊論文 婁祖安 用向量法證明與動點有關(guān)的幾何問題 -考試周刊2009,""(39)

隨著向量知識進(jìn)入高中教材,用向量法解幾何問題已經(jīng)成為教師關(guān)注的熱點問題.本文從與動點有關(guān)的幾何問題入手,略舉數(shù)例,探討直接用向量基本性質(zhì)和運算律的簡便方法證明幾何問題的思路和技巧.

6.學(xué)位論文 黃光華 高中生對平面向量的認(rèn)知特點及教學(xué)啟示 2006

本文通過對高中三個年級的數(shù)學(xué)高成績組和低成績組的15名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查、訪談以及個案觀察，闡述了中學(xué)生對平面向量及其一些概念(模)的認(rèn)知過程。結(jié)果顯示，學(xué)生對平面向量及其一些概念(模)的理解呈現(xiàn)三個側(cè)面：(1)代數(shù)意義上的理解；(2)幾何意義上的理解；(3)整體意義上的理解。借助認(rèn)知心理學(xué)的理論，本文詳細(xì)分析了兩組學(xué)生在三種理解上的認(rèn)知特點及其影響因素。調(diào)查顯示：平面向量是認(rèn)知的難點，影響學(xué)生學(xué)習(xí)平面向量整篇文章可從四個方面加以分析：(1)實數(shù)的相關(guān)知識對平面向量表示形式的影響；(2)平面向量的學(xué)習(xí)是學(xué)生認(rèn)知的重組和深化；(3)教師的教學(xué)觀點、教學(xué)方法對平面向量表示形式的影響；(4)教材體系的編排對學(xué)生學(xué)習(xí)平面向量的影響。研究者還通過個案觀察調(diào)查了帶有不同思維傾向的學(xué)生(“代數(shù)型”、“幾何型”、“平衡型”)在平面向量認(rèn)知中的現(xiàn)狀，并分析了其特點：“代數(shù)型”傾向于抽象思維；“幾何型”傾向于形象思維；“平衡型”是抽象思維和形象思維均衡發(fā)展。

7.期刊論文 王燕 向量在幾何題中的應(yīng)用 -科技信息（學(xué)術(shù)版）2008,""(28)

在新版的高職教材中,引入了平面向量和空間向量的概念.向量的出現(xiàn)為同學(xué)解決幾何問題提供了更多、更簡單的方法.本文主要從平行、垂直兩種位置關(guān)系,角度、長度兩種度量問題,一共四個方面討論了向量在幾何題目中的應(yīng)用.

8.期刊論文 劉華 "平面向量"的教學(xué)感悟 -商情2009,""(2)

"平面向量"進(jìn)入高中教材,適應(yīng)了當(dāng)今的課程改革.高中幾何改革的趨勢是幾何問題的代數(shù)化,向量就為用代數(shù)方法研究幾何問題提供了強(qiáng)有力的工具,對于它,我們不僅作為一種知識去學(xué)習(xí),還要作為一種解題思想去理解,作為一種解題工具去應(yīng)用,這一點在新教材中尤為明顯.本文結(jié)合自己的教學(xué)實踐談?wù)剬?quot;平面向量"的教學(xué)體會.

9.期刊論文 黃丹妹 構(gòu)造向量解一類幾何問題 -廣西輕工業(yè)2007,23(6)

向量是研究空間解析幾何,特別是研究平面和空間直線相關(guān)問題的重要工具,而且在數(shù)學(xué)的其他分支、其他學(xué)科也有重要價值.本文將通過構(gòu)造向量,利用向量的相關(guān)知識解答一類幾何問題,以感受向量在研究中學(xué)數(shù)學(xué)問題中的重要價值.

10.學(xué)位論文 楊巧玲 向量型Sturm-Liouville問題的特征值重數(shù) 2008

本文主要是研究向量型Sturm-Liouville問題的特征值重數(shù)問題.文章首先證明在滿足一定的條件下，當(dāng)n≥2時，向量型Sturm-Liouville問題有有限個幾何重數(shù)為n，的特征值.然后得到結(jié)論，當(dāng)n=2時，對于滿足一定條件的Q（x），可以找到一個依賴于Q（x）的序數(shù)mQ，使得當(dāng)上述向量型Sturm-Liouville問題的特征值的序數(shù)超過mQ時，問題的特征值都是單的.應(yīng)用這些結(jié)論可以推導(dǎo)出兩個勢問題的譜有有限個公共元素，并且可以估計出兩個譜交集元素的個數(shù).最后證明向量型Sturm-Liouville問題的特征值的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)之間的關(guān)系，也就是，若向量型Sturm-Liouville問題的特征值的幾何重數(shù)為2，則問題的代數(shù)重數(shù)也為2.

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下載時間：2010年8月6日

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