本文關(guān)鍵詞：微分中值定理證明不等式，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

目 錄

摘 要 ......................................................................................................................... 1

關(guān)鍵詞 ......................................................................................................................... 1

Abstract ...................................................................................................................... 1

Keywords ................................................................................................................... 1

0 前 言 .................................................................................................................... 1

1 知識準備….............................................................................................................1

2 利用羅爾中值定理證明 .................................................................................... 2

3 利用拉格朗日中值定理證明........................................................................... 3

4 利用柯西中值定理證明不等式 ...................................................................... 5

5 利用泰勒中值定理證明 .................................................................................... 7

6 綜合利用微分中值定理證明不等式........................................................ ...10

參考文獻……………………………...………….…….....................................…...11

利用微分中值定理證明不等式

摘 要:微分中值定理是證明不等式的一種重要的方法,本文討論了各個中值定

理在證明不等式中的不同用法以及綜合利用微分中值定理證明不等式.

關(guān)鍵詞:微分中值定理;不等式

Using differential mean value theorem

proving inequality

Abstract:Useing the mean value theorem to prove that inequality is a kind of important method , this paper discusses various of mean value theorems to proof inequality in the different usage, and proving inequality by useing comprehensive utilization differential mean value theorem.

Key Words:differential mean value theorem;inequalities

0前言

不等式是數(shù)學中的重要內(nèi)容,也是數(shù)學中的重要的方法和工具.在微分學中,微分

中值定理,函數(shù)單調(diào)性判定定理及極值等重要的結(jié)論都可以用來證明不等式.本文通過幾個具體的例子來具體說明微分中值定理在證明不等式中的運用,以及不同的微分中值定理在解決證明不等式的區(qū)別.

1知識準備

微分中值定理是數(shù)學分析中非常重要的基本定理.微分中值定理是指羅爾中值定

理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理.微分中值定理在數(shù)學分析及高等數(shù)學中的地位是不容置疑的,且在解題中的應用也是十分廣泛的.在這里我們就利用微分中值定理證明不等式的方法作一簡述.首先我們要先介紹一下微分中值定理:

定理1 羅爾中值定理:如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù),在開區(qū)間?a,b?內(nèi)

可導,且滿足f(a)?f(b),那么在?a,b?內(nèi)至少存在一點?,使得f?(?)?0.

定理2 拉格朗日中值定理:如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù),在開區(qū)間

?a,b?內(nèi)可導, 那么在?a,b?內(nèi)至少存在一點?,使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a).

當函數(shù)f(x)在?a,b?內(nèi)的變化范圍已知時,有m?f?(x)?M,于是可以利用拉格

朗日定理來證明m(b?a)?f(b)?f(a)?M(b?a)一類的不等式.

定理3 柯西中值定理:如果函數(shù)f(x),g(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù),在開區(qū)間?a,b?內(nèi)

可導,且g?(x)在?a,b?內(nèi)每一點均不為零,那么在?a,b?內(nèi)至少存在一點?,使得

f(b)?f(a)f?(?). ?g(b)?g(a)g?(?)

定理4 泰勒中值定理:如果函數(shù)f(x)在含有點x0的區(qū)間D上有直到(n?1)階的導數(shù),則函數(shù)f(x)在D內(nèi)可表示成一個多項式Pn(x)與一個余項式Rn(x)的和:

f??(x0)fn(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)?...?(x?x0)n?Rn(x). 2!n!

fn?1(?)其中Rn(x)?(x??)n?1,??(x0,x). (n?1)!

注:當n?0時,即為拉格朗日中值定理,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理

的推廣.這個公式又稱為帶有朗格朗日型余項的泰勒公式.

在微分學中,微分中值定理在證明不等式中起著很大的作用,我們可以根據(jù)不等

式的兩邊的代數(shù)式選取不同的函數(shù)f(x),應用微分中值定理得出一個等式之后,對這個等式根據(jù)x取值范圍的不同進行討論,得到不等式,以下通過例子來說明微分中值定理在證明不等式的應用.

2利用羅爾中值定理證明不等式

羅爾中值定理的幾何意義:在滿足定理條件下,在曲線y?f(x)上必有一點,使得

過該點P(?,f(?))的切線平行于x軸.

在一般情況下,利用羅爾中值定理很容易證明關(guān)于方程的根的問題,但是僅用羅

爾中值定理卻很難證明不等式,所以在利用羅爾中值定理證明時要綜合利用其他的微

分中值定理,這類內(nèi)容會放在第六部分詳細介紹, 這里就不再贅述. 3利用拉格朗日中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理的幾何意義:在滿足定理條件下,在曲線y?f(x)上必有一點P(?,f(?)),使得過該點的切線平行于曲線兩端點的連線(a,f(a)),(b,f(b))兩點的弦.我們在證明中引入的輔助函數(shù)F(x)?f(x)?f(a)?

y?f(x)與弦線之差. f(b)?f(a)(x?a),正是曲線b?a

拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣,當f(a)?f(b)時,本定理即為羅爾中值定理的結(jié)論,這表明羅爾中值定理是朗格朗日定理的一個特殊情形y?f(x).

拉格朗日中值定理的其它表示形式:

(1) f(b)?f(a)?f?(?)(b?a),a???b;

(2) f(b)?f(a)?f?(a??(b?a))(b?a)(0???1);

(3) f(a?h)?f(a)?f?(a??h),0???1.

值得注意的是:拉格朗日中值定理無論對于a?b,還是a?b都成立.而?則是介于a與b之間的某一定數(shù),而(2),(3)兩式的特點,在于把中值點?表示成了a??(b?a),使得不論a,b為何值,?總可為小于1的某一整數(shù).

例1 (1)如果x?0,試證x?ln(1?x)?x; 1?x

(2)求證: arctg??arctg?????.

證明 (1)令f(x)?ln(1?x),f(x)在區(qū)間?0,x?(x?0)上連續(xù),在?0,x?(x?0)內(nèi)可導,應用拉格朗日中值定理,則有l(wèi)n(1?x)?ln(1)?x,??(0,x). 1??

由于在閉區(qū)間?0,x?上,有xxx?ln(1?x)?x(x?0). ??x,所以1?x1?x1??

(2)當???時,顯然等號成立.

當???時,不妨設???.設f(x)?arctgx,x???,??,

由拉格朗日中值定理得,arctg??arctg?1? ,??(?,?). ???1??2

  本文關(guān)鍵詞：微分中值定理證明不等式，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。