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Riemann Zeta函數(shù)零點猜想與證明

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摘要：介紹Riemann猜想（RH）；探討利用Jacobi函數(shù)方程關(guān)系和Schwarz 反射原理，給出黎曼澤塔函數(shù)（Riemann zeta function）零點滿足的方程，進而推得零點均落在實部為1/2的臨界線上。如此，黎曼猜想/假設(shè)可以稱作黎曼定理，所有與之等價的命題和以黎曼假設(shè)作為前提條件而成立的結(jié)論都成立。關(guān)鍵詞：黎曼猜想，Jacobi函數(shù)方程，反射原理。

1. 引言

Riemann 猜想（RH）源于 Dirichlet 級數(shù)函數(shù)，

?(s)??1?1ns Res>1 （1-1）

文獻【3】和[7]都列出了有關(guān)Riemann猜想的重大歷史事件。1737年，Euler

即對所有的大于1的實數(shù)s，

?(s)??1?給出了著名的乘積公式， 1??(1?p?s)?1 （1-2），snp

其中，公式中的 n 為自然數(shù)， p 為素數(shù)。這一公式是 Euler 在一篇題為

的論文中提出并加以證明的。

1792年，高斯提出了后來被稱為素數(shù)定理的結(jié)論。1859年，Riemann在他那篇著名的論文中【1】，將（1-

1）解析延拓到除s=1外的整個復(fù)平面上，提出了 Riemann

“對無窮級數(shù)的若干觀察”

猜想：Riemann

函數(shù)的所有非平凡有零點都在臨界線Res=1/2上。ζ

由 Euler 乘積公式（1-2）可以得到Riemann ζ 函數(shù)在 Re(s)>1 的區(qū)域內(nèi)沒有零點。1896年，Hadamard 和Poussion 分別獨立證明了素數(shù)定理。素數(shù)定理等價于Riemann

函數(shù)在Re(s)=1 上沒有零點。

1914年，丹麥數(shù)學(xué)家玻爾與德國數(shù)學(xué)家蘭道證明了包含臨界線的無論多么窄的帶狀區(qū)域都包含了黎曼ζ函數(shù)的幾乎所有非平凡零點。同一年，英國數(shù)學(xué)家哈代證明了黎曼ζ函數(shù)有無窮多個非平凡零點位于臨界線上。

1942年，挪威數(shù)學(xué)家賽爾伯格證明了有正百分比的非平凡零點在臨界線上。列文森在1974年證明了至少有34%的零點位于臨界線上。直到1989年，美國數(shù)學(xué)家康瑞(Brian

Conrey)證明了至少有40%的零點位于臨界線上。RH猜想之所以重要，是因為RH

有諸多重要等價命題和以其作為假設(shè)而成立的重要結(jié)論，文獻[7]中給出了32個重要等價命題；李修賢2012年在學(xué)位論文“黎曼猜想與素數(shù)分布”中專門羅列了34個與黎曼猜想等價結(jié)論【8】。黎曼猜想的各種等價結(jié)論和基于黎曼假設(shè)下而成立的結(jié)論使人們有理由相信黎曼猜想的正確性，人們更愿意稱Riemann猜想為Riemann假設(shè)。

關(guān)于數(shù)值計算驗證或曰試圖舉出反例的工作，極大促進了RH的相關(guān)研究。1932年，數(shù)學(xué)家西格爾從黎曼的手稿中獲得了重大發(fā)現(xiàn)——計算黎曼ζ函數(shù)非平凡零點的方法稱為黎曼-

西格爾公式。至1969年，350萬個零點得到驗證，全部位于臨界線上，無疑大大增強了數(shù)學(xué)家們對黎曼猜想的信心。到2004年，Gourdon用計算機驗證，黎曼ζ函數(shù)的前10的13次方個零點都

ζ

落在黎曼猜想的直線上�，F(xiàn)在十多萬億個零點的計算大關(guān)已經(jīng)突破，并且與日俱增。

Riemann 猜想的提出已經(jīng)過去一個半世紀多，

RH不愧是一只下金蛋的天鵝。然而，猜想是否成立，一直未得到肯定。RH被公認為是“外行不懂，專家證明不了的世界難題”[7]。

黎曼那篇提出了黎曼猜想的著名論文“論小于給定數(shù)的素數(shù)分布”【1】中已經(jīng)意識到猜想是成立的，特別，他還指出了Riemann ξ

函數(shù)關(guān)于Re(s)=1/2是偶函數(shù)的結(jié)論。令人惋惜的是黎曼提出RH七年后，就撒手人寰�？疾炖杪孪胩岢龅脑颊撐摹�1】發(fā)現(xiàn)，黎曼通過Jacobi函數(shù)方程變形，給出了Riemann ξ

函數(shù)的解析延拓表達（【1】，【4】P21）。Edwards [2], A.

A. Karatsuba [4] 都提及theta函數(shù)和Jacobi

函數(shù)方程在處理黎曼澤塔函數(shù)方面較Cauchy

積分公式更為便利。Jacobi

函數(shù)方程與黎曼澤塔函數(shù)關(guān)系密切，前者自變量的倒數(shù)與后者的共軛變量對應(yīng)。黎曼本人原意就是要去證明黎曼猜想，只是未能如愿，才以猜想的形式給出了著名的RH。倘若，黎曼當時就沿著此路給出RH之證明，或者后來人及時補上其證明，，RH或許不會如此出名。后來，RH的諸多重要等價問題和基于黎曼猜想的重要結(jié)果說明了該黎曼猜想的重要性，而等價問題的難以證明，則說明，除了黎曼當初猜想的基于雅克比變換的思路外，還沒有發(fā)現(xiàn)有更能有效的證明RH的特別思路和其他好方法�，F(xiàn)在可以說，RH的極限情形和具體零點計算，是黎曼猜想RH的依據(jù)，Jacobi函數(shù)方程變形才是證明RH的有效方法。

2．以Theta 級數(shù)表達的黎曼Zeta 函數(shù)解析延拓

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