JG/T180-2005《未增塑聚氯乙烯（PVC-U）塑料門》和JG/T140-2005《未增塑聚氯乙烯（PVC-U）塑料窗》兩項標準，已于2006年1月1日起實施。在兩項標準中都有一個附錄D（資料性附錄）——建筑外窗抗風(fēng)壓強度、撓度計算方法，它替代了原標準GB7106—88附錄A建筑外窗抗風(fēng)壓強度、撓度計算方法。

在標準附錄D中第D.5條，均給出了兩個集中荷載圖示及計算公式：

                        a                              b

                                   圖D.13

注1：a圖集中荷載作用于跨中時撓度按fmax=（P·L3）/（48×E·I）計算

注2：b圖集中荷載作用于任意點時撓度按fmax=｛P·L1·L2（L＋L2）·[3×L1·（L＋L2）]1/2｝/（27×E·I·L）。

從集中荷載作用于簡支梁形式上看，我們不難想象，即然圖b為集中荷載作用于任意點時的情況，當然它也適用于荷載作用于中點時的情況，即包含當L1=L2= L/2時的情況，兩公式應(yīng)當有一定的內(nèi)在聯(lián)系。

從簡單的道理上說，注2公式即然是集中荷載作用于簡支梁任意點時的撓度公式，那么，當L1=L2= L/2時，任意點集中荷載撓度公式應(yīng)當變?yōu)榧泻奢d作用于跨中時的撓度公式：

fmax=（P·L3）/（48×E·I）。（見注1）。

說明一下：b圖集中荷載作用于任意點時正確的最大撓度公式應(yīng)為：

fmax=｛P·L1·L2（L＋L2）·[3×L1·（L＋L2）]1/2｝/（27×E·I·L）。

公式應(yīng)用時應(yīng)注意開方根次為1/2。

下邊我們按這種思路驗證一下。

將L1=L2= L/2代入注2公式得：

fmax=｛P·L1·L2（L＋L2）·[3×L1·（L＋L2）]1/2｝/（27×E·I·L）。

     =｛P·L/2·L/2（L＋L/2）·[3×L/2·（L＋L/2）]1/2｝/（27×E·I·L）

=｛P·L2/4·（3L/2）·[9×L2/4]1/2｝/（27×E·I·L）

=｛P·（3L2/8）·[3×L/2] ｝/（27×E·I）

=  P·（9L3/16）/（27×E·I）

=（P·L3）/（48×E·I）

通過以上驗算，首先從形式或公式格式上說明了注2公式對注1公式的可包容性。

為了從根本上找出兩公式的內(nèi)在聯(lián)系，我們通過受力圖試將該公式做一推導(dǎo)，并通過推導(dǎo)，進一步找出公式的簡化規(guī)律，力求用一個通用公式表示它們。

如下圖，一簡支梁上有一集中力P作用，求梁支梁的最大撓度。

由材料力學(xué)，對于簡支梁來說，，如果全梁各截面的彎矩可用一個彎矩方程Mx來表示，則梁的撓度微分方程也只要用一個就可求出整個梁的撓曲線方程。而如果全梁各截面的彎矩不可用一個彎矩方程Mx來表示，則梁的撓度微分方程就不能用一個去求出整個梁的撓曲線方程�；蛘哒f，復(fù)雜的撓曲線是由若干段不同方程生成的曲線組成的。實際中我們發(fā)現(xiàn)，確有人直接取想象中的最大撓度所在截面的撓度微分方程一步求出整個梁的撓曲線方程，出現(xiàn)這種情況，其根源是對材料力學(xué)的理解得不夠透徹。這段話雖然有點繞，但一定要慢慢細品。我們將要推導(dǎo)的受任意集中荷載簡支梁的撓曲線方程，就是由兩段組成的。

一、推導(dǎo)過程如下：

求解此梁的撓度，根據(jù)上述的說明，應(yīng)將其分為兩段（以力P的作用點為界）。

對于梁的左段，即當0≤X1≤L1時，其彎矩方程為：

Mx1=（P·L2/L）·X；設(shè)f1為梁左段的撓度，則由材料力學(xué)。

E·I·f1／／=（P·L2/L）·X

積分得E·I·f1／=（P·L2/L）·X2/2＋C1--------------------------------（1）

二次積分：E·I·f1=（P·L2/L）·X3/6＋C1X＋D1--------------------（2）

由于X1等于零時簡支梁的撓度f1等于零（邊界條件），將X1=0代入（2）得D1=0

對于梁的右段，即當L1≤X2≤L時，其彎矩方程為

MX2=（P·L2/L）·X－P·（X－L1）；設(shè)f2為梁右段的撓度，則由材料力學(xué)

E·I·f2／／=（P·L2/L）·X－P·（X－L1）

積分得E·I·f2／=（P·L2/L）·X2/2－[P（X－L1）2/2]＋C2-----------------------（3）

二次積分：E·I·f2=[（P·L2/L）·X3/6]－[P·（X－L1）3/6]＋C2X＋D2------------（4）

公式（1）、（2）用于梁的左段，公式（3）、（4）用于梁的右段，積分常數(shù)C1、D1、C2、D2的確定需利用邊界條件及在兩段連接處（分界點）撓度相等（撓曲線的連續(xù)條件）和傾角相等（撓曲線的平滑條件）的條件，

①在X=0處，f1=0；

②在X=L1處，f1／= f2／（f1／、 f2／為撓曲線的傾角）；

③在X=L1處，f1= f2；

④在X=L處，f2=0；

由以上四條件求得（過程略）：C1= C2= -[（P·L2）/6 L]·（L2－L22）；D1=D2=0。

代入公式（1）、（2）、（3）、（4）整理即得：

對于左段   0≤X≤L1

E·I·f1／=（P·L2/L）·X2/2＋C1--------------------------（1）

          = P·L2/6L ·[3X2－（L2－L22）] --------------------------（5）

E·I·f1=（P·L2/L）·X3/6＋C1X＋D1--------------------（2）

= （P·L2/6×L）·[X3－X（L2－L22）]  ----------------------------（6）

對于右段  L1≤X≤L

E·I·f2／=（P·L2/L）·X2/2－[P·（X－L2）2/2]＋C2--------------------（3）

= （P·L2/6×L）·[3X2－（L2－L22）]-[ P/2·（X－L1）2]---------------（7）

E·I·f2=[（P·L2/L）·X3/6]－[P·（X－L1）3/6]＋C2X＋D2-----------------（4）

= （P·L2/6L）·[X3－X（L2－L22）] -[P/6·（X－L1）3]---------------（8）

由公式（5）、（6），能求左段各截面的傾角和撓度，由公式（7）、（8）兩式，能求右段各截面的傾角和撓度。當然，推導(dǎo)計算時要注意X的取值范圍，我們在這里強調(diào)X的取值范圍，是因為發(fā)現(xiàn)有一篇文章在求簡支梁撓度方程的積分常數(shù)時，比如C1 ，居然用X= L時f1=0去求解，而且還堅持認為：即然是變量，有何值不存在？按我們對公式的推導(dǎo)要求，只能�、僭赬=0處，f1=0；④在X=L處，f2=0；去求解相關(guān)積分常數(shù)；用X= L時f1=0去求解積分常數(shù)C1是沒有意義的，也是錯誤的，因為X= L時，對“函數(shù)”式E·I·f1=（P·L2/L）·X3/6＋C1X＋D1來說不等于零，該“函數(shù)”在這里是一特定曲線和曲線段，這樣做只能是證明作者對函數(shù)概念的模糊。

二、下面接著推導(dǎo)

梁的最大撓度是在傾角f /為零之處（從概念上說，不能認為梁的最大撓度在最大彎矩處），若L1＞L2，則最大撓度顯然在左段內(nèi)，命左段的傾角方程（5）f /等于零，即得最大撓度所在之位置，于是命：

P·L2 /6L·[3X2－（L2－L22）] =0

則：3X2－（L2－L22）= 0

得：X=[（L2－L22）/3]1/2  --------------------------------------（9）

將（9）式代入（6）式即得最大撓度

fmax= -[P·L2·（L2－L22）3/2]/ [9×31/2×L·E·I] --------------------------（10）

展開即得：

fmax=-｛（P·L1·L2·（L＋L2）·[3×L1·（L＋L2）]1/2）｝/（27×E·I·L）。

當然對于公式的推導(dǎo)過程，非專業(yè)人士可能不十分清楚，但是我們這樣做，是給大家一個說明，該公式是有推導(dǎo)基礎(chǔ)的，不是僅靠驗證修改來證明的。

由公式的推導(dǎo)，筆者有以下進一步的建議，那就是，將計算撓度都歸為撓曲軸的中點撓度，在此較具體詳細地論證一下。所謂中點撓度公式，即不論簡支梁所受的載荷形式如何，如三角形載荷、梯形載荷、復(fù)合形載荷、任意點集中載荷等等，我們求其撓度時，都用中點撓度代表最大撓度。原因如下：

（1）在上述集中載荷撓度公式的推導(dǎo)過程中，我們已經(jīng)知道，最大撓度點的位置是：

X=[（L2－L22）/3]1/2  ------------------------------------------（9）

可以發(fā)現(xiàn)，在極限情況下，當P作用點接近于右支座時，即L2→0，將其代入（9）式得：X=L/31/2=0.577L。就是說，當載荷不在梁的中點時，最大撓度的位置實際上也很靠近中點，在極限情況下，最大撓度所在位置到中點的距離也只有0.077L。也可以說，非極限情況時，最大撓度所在位置基本就是中點。

（2）簡支梁的撓曲線是一條平滑曲線，底部趨于平直，由于梁中點靠近最大撓度位置，故中點撓度的大小與最大撓度也十分相近（見后面計算比較）。在工程中為了簡化計算，便常以中點的撓度作為最大撓度。

（3）塑料門窗的抗風(fēng)壓強度計算中，主受力桿件往往受多個力圖作用，總撓度是由多個撓度因子相加而得，它們的最大撓度值有的就是中點撓度，比如中心對稱梯形載荷；有的不是中點撓度，比如任意點集中載荷，就是說它們的最大撓度值不在一條直線上。而根據(jù)力圖相加原理，相加力圖必須在一條直線上。由此我們認為，從理論上說，多個撓度因子相加，只有中點撓度因子是在同一直線上，相加才有意義。

（4）對于復(fù)合荷載圖形撓度公式的推導(dǎo)，求最大撓度點X時，往往需要解高次方程，增加了解題難度（見后面例題）。

因此最合理的撓度和值應(yīng)是各撓度因子的中點撓度之和。

有了這種思路，我們首先就可以將前面的兩個集中荷載公式歸納為一個通用公式，并用中點撓度表示之，因為任意點集中載荷包容了作用于跨中的集中荷載，或者說作用于跨中的集中荷載只是任意點集中載荷當L1=L2= L/2時的特殊情況。

將X= L/2代入左段撓度公式

E·I·f1= [（P·L2）/（6×L）]·[X3－X（L2－L22）]  ----------------（6）

得梁的中點撓度為：fL/2= -[（P·L2）/（48×E·I）]·（3L2－4L22）（L2指小端）-----（11）

這樣我們就避開了解方程求最大撓度點X了，而直接指定X= L/2。非常簡便。

我們再看該公式的包容性：當L2= L/2時，代入公式（11），得：

fL/2=-[（P·L/2）/（48E·I）]·（3L2－4·L2/4）= -P·L3/48E·I（變成集中荷載作用于跨中時的撓度公式）

因此我們只要記住一個“梁承受任意點集中載荷時的中點撓度公式”：

fL/2=- [（P·L2）/（48E·I）]·（3L2－4L22）（L2指小端）--------（11）

就可以解決梁承受集中載荷時的各種情況的計算，包括對稱荷載。避免了集中荷載作用于任意點時撓度公式的復(fù)雜性、不好記憶性、L1與L2的不易分辨性，由于公式的簡化，也會減少印刷、校對的失誤。

我們先看一下簡支梁承受對稱載荷時的撓度計算公式，如下圖：

求上圖簡支梁的撓度（兩力P對稱，大型窗結(jié)構(gòu)力圖中常見），對每一個集中力P產(chǎn)生的撓度若按“集中荷載作用于任意點時的最大撓度公式”（注2）計算，顯然很復(fù)雜。而且最大撓度一左一右，相加也不合理。如果我們按中點撓度公式計算每一個集中力P產(chǎn)生的撓度，則有：

梁的中點撓度為：

fL/2= -[（P·L2）/（48×E·I）]·（3L2－4L22）----------------（11）

兩力產(chǎn)生的撓度相加得：

f L/2= -[（P·L2）/（24×E·I）]·（3L2－4L22）----------------（11—1）

此公式和通過推導(dǎo)得出的“簡支梁承受雙對稱集中荷載作用于時產(chǎn)生的最大撓度公式”是一致的（見有關(guān)文獻資料，本文推導(dǎo)從略）。這也說明我們的方法是非常簡便的有效的。

下面我們再以一個常見的窗形來分析計算，進一步闡述中點撓度理論的實用性。

 （圖a）                    （圖b）                      （圖c）

已知：如（圖a）窗形，并設(shè)風(fēng)荷載為Wk=3000Pa，

主受力構(gòu)件彈性模量：E=2.1×1011 N/㎡

主受力構(gòu)件截面慣性矩：I=3.15cm4

求：該窗的主受力桿件（橫中梃）的最大撓度f 。        

解：從窗的受力分析（圖b）可以看出，該窗受多種力圖作用，是一個典型窗。計算橫中梃的撓度可以有三種方法。

1.     簡化計算法

所謂簡化計算法，就是將受力圖（見圖c）中陰影部分近似綜合為矩形載荷，按矩形荷載作用下的撓度公式fmax=（5×Q·L3）/（384E·I）求出f矩 ，再按任意點集中荷載作用下的撓度公式求出f集中，然后相加f總=f矩＋f集中 。計算如下：

力圖面積總合：S=0.39（梯形）＋0.09（△小）＋0.25（△大）=0.73m2

f矩=（5×Q·L3） /（384×E·I） =（5×0.73×3000×1.63）/（384×2.1×1011×3.15×10-8）=0.01765684m

集中力P=3000×0.23=690N

f集中= {P·L1·L2·（L＋L2）[3×L1·（L＋L2）]1/2}/（ 27E·I·L）

={690×1×0.6×（1.6＋0.6）[3×1×（1.6＋0.6）]1/2}/（27×2.1×1011×3.15×10-8×1.6）=0.0081880671m

f總=f矩＋f集中=0.01765684m＋0.0081880671m=0.025844907m=25.84mm

這種計算方法矩形荷載作用下的撓度是中點撓度（也是最大撓度），任意點集中荷載作用下的撓度是最大撓度（不在中點），理論上說，相加是不合理的，計算結(jié)果誤差也是較大的。撓度狀態(tài)見下圖：

2.     單元力圖分別求解法

根據(jù) 受力圖（見圖c），該窗受以下幾個力圖作用：中心對稱梯形、偏置三角形（小）、偏置三角形（大）、任意點集中荷載。按相關(guān)公式（有些需

要推導(dǎo)設(shè)計）分別求出它們對橫中梃產(chǎn)生的撓度，然后相加f總=f梯＋f集中＋f△�。玣△大。由于計算基于受力的實際狀態(tài)，而不是第一種方法將載荷近似綜合為矩形，因此更趨合理，精度更高。示意如下：

            圖d                       圖 e               圖f

   圖中，1表示小三角形載荷形成的撓曲線，2表示大三角形載荷形成的撓曲線，3表示任意點集中載荷形成的撓曲線，4表示梯形載荷形成的撓曲線（位置、比例僅供參考）。

   由圖d可以看出，各分力所謂“最大撓度”相加的不科學(xué)性，而且分力圖越多其不合理性越明顯。我們推薦圖e的相加方法，即各力圖中點撓度相加的方法，如圖f，ab、ac、ad、ae分別代表f△小、  f△大、f集中、f梯。中點撓度在同一直線上，其和值f總符合力圖相加原理。

   根據(jù)中點撓度相加原理，按題中開始給出的已知條件，我們求出各力圖的中點撓度： f△小=1.821mm，f△大=7.300mm，f集中=8.136mm，f梯=10.966mm；f總= f△�。玣△大＋ f集中＋f梯=28.223mm（計算公式和計算過程從略，讀者若有興趣，另討論）。

比較兩種計算方法，集中力產(chǎn)生的中點撓度f集中和最大撓度f集中相差無幾（8.136mm，8.188mm），而矩形荷載由于是近似荷載，它與實際荷載形式產(chǎn)生的撓度相差就比較大[17.65684mm；20.087mm=（1.821mm+7.300mm+10.966mm）]

3.     第三種方法，綜合求解法——直接公式設(shè)計求解法

為了塑料門窗抗風(fēng)壓強度計算的規(guī)范，行業(yè)標準JG/T140-2005《未增塑聚氯乙烯（PVC-U）塑料窗》和JG/T180-2005《未增塑聚氯乙烯（PVC-U）塑料門》附錄D（資料性附錄）給出了建筑外窗抗風(fēng)壓強度、撓度計算方法，方法中給出了一些常用公式或歸類計算原則。但有些典型的、特殊的力圖的計算往往需要更精確的方法和公式，這時就需要我們對計算方法進行設(shè)計（比如上述第二種計算方法中偏置三角形荷載撓度的計算公式），借此機會，通過直接公式設(shè)計求解法進一步說明中點撓度計算方法的合理性。

通過推導(dǎo)（篇幅所限，本文暫略去推導(dǎo)過程，另有機會再詳細發(fā)表該典型窗的計算分析、以上幾種計算公式及綜合公式的推導(dǎo)過程），該窗型所受的復(fù)合力圖（見圖C，含集中力載荷）產(chǎn)生的最大撓度公式為：（0.6≤X≤1.1段）

E·I·f=－25 X5＋37.5X4＋17.5X3＋294.75X2－525.015625X＋28.54575-------（12）

最大撓度位置是f/=0時的X解：

E·I·f／=－125 X4＋150X3＋52.5X2＋589.5X－525.015625=0

求解X顯然是很復(fù)雜的，而根據(jù)中點撓度理論，我們可直接取中點X=0.8m時的撓度做為所求撓度（不能因為中點附近撓度相差無幾就隨便指定，比如指定X=0.7），將X=0.8代入（12）則

f0.8=1/[E·I·（-8.192+15.36+188.64+8.96-420.0125+28.54575）]

  ≈－0.02822m=－28.22mm（負號僅代表方向，計算中可以不用）

計算結(jié)果和第二種方法等同。

“真正的”最大撓度在0.6m～1.1m之間（見圖b）。

我們先看一下邊界點X=0.6m和X=1.1m處的撓度。

X=0.6m時代入上式得：

f0.6=1/[E·I·（-1.944+4.86+3.78+106.11-315.009397+28.54575）]

  ≈－0.026252097m=－26.25mm

同理可得X=1.1m時，f1.1=-23.30mm

我們還可以繼續(xù)求出f0.7=-27.80mm；f0.9=-27.61mm 。

綜合比較幾個位置點：0.6 m、0.7m、0.8m、0.9m、1.1m，它們的撓度值分別為： 26.25mm、27.80mm、28.22mm、27.61mm、23.30mm。通過這組數(shù)字，我們繪制出如下曲線狀態(tài)圖：

此時再進一步分析，“最大撓度點”更近于在0.7m～0.8m之間，但最大不會超過28.5mm（測量值28.23mm，位置近似在0.792m處）。以0.792代入上述公式（12），經(jīng)計算得最大撓度值為28.227 mm，中點撓度計算結(jié)果等于28.22 mm。所以我們以中點撓度代表最大撓度有充分的精確性、經(jīng)濟性、簡便性和可操作性。因此，通過這個典型例題，鄭重向大家推薦用簡支梁的中點撓度代替它的最大撓度。反過來說，有些單位和個人在進行公式（受力簡支梁的撓度）設(shè)計時，由于最大撓度點的位置計算方法模糊以及對一般撓曲線是分段的，每段的方程式是不同的，或者說一般撓曲線的全程不能用一個公式表示的概念理解不深，導(dǎo)至公式設(shè)計錯誤。如果公式用于自己校核塑料門窗的抗風(fēng)壓強度，計算書將是無效的；如果設(shè)計的公式用于推廣應(yīng)用，將導(dǎo)至用戶的使用設(shè)計錯誤，會帶來更大的危害。而中點撓度計算法，由于不用解高次方程求解最大撓度點，使方程設(shè)計與計算過程簡便合理，不但避免了可能出現(xiàn)的錯誤，計算結(jié)果還是合理精確的，“手工”計算或編程計算都是適宜的。

在上述論述和計算過程中難免有不妥、不精確之處，敬請業(yè)內(nèi)專家指正。如若大家有興趣，歡迎聯(lián)系、討論、研究。