本文關(guān)鍵詞：高斯分布，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

高斯模糊是一種圖像模糊濾波器，它用正態(tài)分布計(jì)算圖像中每個(gè)像素的變換。

N 維空間正態(tài)分布方程為

在二維空間定義為

其中 r 是模糊半徑 (r2 = u2 + v2)，σ 是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

在二維空間中，這個(gè)公式生成的曲面的等高線是從中心開(kāi)始呈正態(tài)分布的同心圓。分布不為零的像素組成的卷積矩陣與原始圖像做變換。每個(gè)像素的值都是周圍相鄰像素值的加權(quán)平均。原始像素的值有最大的高斯分布值，所以有最大的權(quán)重，相鄰像素隨著距離原始像素越來(lái)越遠(yuǎn)，其權(quán)重也越來(lái)越小。這樣進(jìn)行模糊處理比其它的均衡模糊濾波器更高地保留了邊緣效果，參見(jiàn)尺度空間實(shí)現(xiàn)。

理論上來(lái)講，圖像中每點(diǎn)的分布都不為零，這也就是說(shuō)每個(gè)像素的計(jì)算都需要包含整幅圖像。在實(shí)際應(yīng)用中，在計(jì)算高斯函數(shù)的離散近似時(shí)，在大概3σ距離之外的像素都可以看作不起作用，這些像素的計(jì)算也就可以忽略。通常，圖像處理程序只需要計(jì)算(6σ + 1) * (6σ + 1)的矩陣就可以保證相關(guān)像素影響。

除了圓形對(duì)稱之外，，高斯模糊也可以在二維圖像上對(duì)兩個(gè)獨(dú)立的一維空間分別進(jìn)行計(jì)算，這叫作線性可分。這也就是說(shuō)，使用二維矩陣變換得到的效果也可以通過(guò)在水平方向進(jìn)行一維高斯矩陣變換加上豎直方向的一維高斯矩陣變換得到。從計(jì)算的角度來(lái)看，這是一項(xiàng)有用的特性，因?yàn)檫@樣只需要 O(n * M * N) + O(m * M * N)計(jì)算，而不可分的矩陣則需要O(m * n * M * N)次計(jì)算，其中 M,N 是需要進(jìn)行濾波的圖像的維數(shù)，m、n 是濾波器的維數(shù)。

對(duì)一幅圖像進(jìn)行多次連續(xù)高斯模糊的效果與一次更大的高斯模糊可以產(chǎn)生同樣的效果，大的高斯模糊的半徑是所用多個(gè)高斯模糊半徑平方和的平方根。例如，使用半徑分別為 6 和 8 的兩次高斯模糊變換得到的效果等同于一次半徑為 10 的高斯模糊效果，sqrt(6 * 6 + 8 * 8) = 10。根據(jù)這個(gè)關(guān)系，使用多個(gè)連續(xù)較小的高斯模糊處理不會(huì)比單個(gè)高斯較大處理時(shí)間要少。

在減小圖像尺寸的場(chǎng)合經(jīng)常使用高斯模糊。在進(jìn)行欠采樣的時(shí)候，通常在采樣之前對(duì)圖像進(jìn)行低通濾波處理。這樣就可以保證在采樣圖像中不會(huì)出現(xiàn)虛假的高頻信息。高斯模糊有很好的特性，如沒(méi)有明顯的邊界，這樣就不會(huì)在濾波圖像中形成震蕩。

 

將原來(lái)的模板改為：

     / 1   2   1 /

H = | 2   4   2  | * 1 / 16

     / 1   2   1 /

新的模板可一方面除去點(diǎn)狀噪聲，同時(shí)能較好地保留原圖像的對(duì)比度，因此該模板得到了廣泛的應(yīng)用。由于這個(gè)模板是通過(guò)二維高斯(Gauss)函數(shù)得到的，故稱為高斯模板。

 

 

 

 

 

高斯函數(shù)有兩個(gè)特性：  

  1：一個(gè)高斯函數(shù)跟另外一個(gè)高斯函數(shù)的卷積仍然是一個(gè)高斯函數(shù)，A*B=C   C的標(biāo)準(zhǔn)差的平方是A和B的標(biāo)準(zhǔn)差的平方和，也就是說(shuō)卷積后的高斯函數(shù)更寬，模糊的效果更明顯（直觀上看，連續(xù)做高斯模糊運(yùn)算，圖像會(huì)越來(lái)越模糊。）  

  2：高斯函數(shù)的傅立葉變換仍然是一個(gè)高斯函數(shù)，如果原來(lái)的高斯函數(shù)越寬（標(biāo)準(zhǔn)差越大），變換后的高斯函數(shù)就越窄（標(biāo)準(zhǔn)差越�。�，也就是說(shuō)一個(gè)越寬的高斯函數(shù)，低通（高阻）濾波的效果越明顯，處理后的圖像的細(xì)節(jié)就越不清楚（更模糊）。  

  要對(duì)數(shù)字圖像做高斯模糊，就是用一個(gè)符合高斯函數(shù)分布的卷積核對(duì)數(shù)字圖像做卷積運(yùn)算。  

  要確定的有標(biāo)準(zhǔn)差的大小，卷積核的大小，最后的比例系數(shù)的大小。  

  一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為1.4的高斯5x5的卷積核：  

  2   4   5   4   2  

  4   9   12   9   4  

  5   12   15   12   5  

  4   9   12   9   4  

  2   4   5   4   2        

     最后乘以比例系數(shù)   1/115 

 

高斯（核）函數(shù)簡(jiǎn)介

1函數(shù)的基本概念

所謂徑向基函數(shù) (Radial Basis Function 簡(jiǎn)稱 RBF), 就是某種沿徑向?qū)ΨQ的標(biāo)量函數(shù)。 通常定義為空間中任一點(diǎn)x到某一中心xc之間歐氏距離的單調(diào)函數(shù) , 可記作 k(||x-xc||), 其作用往往是局部的 , 即當(dāng)x遠(yuǎn)離xc時(shí)函數(shù)取值很小。最常用的徑向基函數(shù)是高斯核函數(shù) ,形式為 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中xc為核函數(shù)中心,σ為函數(shù)的寬度參數(shù) , 控制了函數(shù)的徑向作用范圍。

高斯函數(shù)具有五個(gè)重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)使得它在早期圖像處理中特別有用．這些性質(zhì)表明，高斯平滑濾波器無(wú)論在空間域還是在頻率域都是十分有效的低通濾波器，且在實(shí)際圖像處理中得到了工程人員的有效使用．高斯函數(shù)具有五個(gè)十分重要的性質(zhì)，它們是：

（1）二維高斯函數(shù)具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，即濾波器在各個(gè)方向上的平滑程度是相同的．一般來(lái)說(shuō)，一幅圖像的邊緣方向是事先不知道的，因此，在濾波前是無(wú)法確定一個(gè)方向上比另一方向上需要更多的平滑．旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性意味著高斯平滑濾波器在后續(xù)邊緣檢測(cè)中不會(huì)偏向任一方向．

（2）高斯函數(shù)是單值函數(shù)．這表明，高斯濾波器用像素鄰域的加權(quán)均值來(lái)代替該點(diǎn)的像素值，而每一鄰域像素點(diǎn)權(quán)值是隨該點(diǎn)與中心點(diǎn)的距離單調(diào)增減的．這一性質(zhì)是很重要的，因?yàn)檫吘壥且环N圖像局部特征，如果平滑運(yùn)算對(duì)離算子中心很遠(yuǎn)的像素點(diǎn)仍然有很大作用，則平滑運(yùn)算會(huì)使圖像失真．

（3）高斯函數(shù)的付立葉變換頻譜是單瓣的．正如下面所示，這一性質(zhì)是高斯函數(shù)付立葉變換等于高斯函數(shù)本身這一事實(shí)的直接推論．圖像常被不希望的高頻信號(hào)所污染(噪聲和細(xì)紋理)．而所希望的圖像特征（如邊緣），既含有低頻分量，又含有高頻分量．高斯函數(shù)付立葉變換的單瓣意味著平滑圖像不會(huì)被不需要的高頻信號(hào)所污染，同時(shí)保留了大部分所需信號(hào)．

（4）高斯濾波器寬度(決定著平滑程度)是由參數(shù)σ表征的，而且σ和平滑程度的關(guān)系是非常簡(jiǎn)單的．σ越大，高斯濾波器的頻帶就越寬，平滑程度就越好．通過(guò)調(diào)節(jié)平滑程度參數(shù)σ，可在圖像特征過(guò)分模糊(過(guò)平滑)與平滑圖像中由于噪聲和細(xì)紋理所引起的過(guò)多的不希望突變量(欠平滑)之間取得折衷．

（5）由于高斯函數(shù)的可分離性，大高斯濾波器可以得以有效地實(shí)現(xiàn)．二維高斯函數(shù)卷積可以分兩步來(lái)進(jìn)行，首先將圖像與一維高斯函數(shù)進(jìn)行卷積，然后將卷積結(jié)果與方向垂直的相同一維高斯函數(shù)卷積．因此，二維高斯濾波的計(jì)算量隨濾波模板寬度成線性增長(zhǎng)而不是成平方增長(zhǎng)．

MATLAB代碼

close all;
clc;
alf=3;
n=7;%定義模板大小
n1=floor((n+1)/2);%確定中心
for i=1:n
a(i)= exp(-((i-n1).^2)/(2*alf^2));
for j=1:n
b(i,j) =exp(-((i-n1)^2+(j-n1)^2)/(4*alf))/(4*pi*alf);
end
end
subplot(121),plot(a),title('一維高斯函數(shù)' );
subplot(122),surf(b),title('二維高斯函數(shù)' );

二 圖像濾波

1 圖像濾波的基本概念

圖像常常被強(qiáng)度隨機(jī)信號(hào)（也稱為噪聲）所污染．一些常見(jiàn)的噪聲有椒鹽（Salt & Pepper）噪聲、脈沖噪聲、高斯噪聲等．椒鹽噪聲含有隨機(jī)出現(xiàn)的黑白強(qiáng)度值．而脈沖噪聲則只含有隨機(jī)的白強(qiáng)度值（正脈沖噪聲）或黑強(qiáng)度值（負(fù)脈沖噪聲）．與前兩者不同，高斯噪聲含有強(qiáng)度服從高斯或正態(tài)分布的噪聲．研究濾波就是為了消除噪聲干擾。

圖像濾波總體上講包括空域?yàn)V波和頻域?yàn)V波。頻率濾波需要先進(jìn)行傅立葉變換至頻域處理然后再反變換回空間域還原圖像，空域?yàn)V波是直接對(duì)圖像的數(shù)據(jù)做空間變換達(dá)到濾波的目的。它是一種鄰域運(yùn)算，即輸出圖像中任何像素的值都是通過(guò)采用一定的算法，根據(jù)輸入圖像中對(duì)用像素周圍一定鄰域內(nèi)像素的值得來(lái)的。如果輸出像素是輸入像素鄰域像素的線性組合則稱為線性濾波（例如最常見(jiàn)的均值濾波和高斯濾波），否則為非線性濾波（中值濾波、邊緣保持濾波等）。

線性平滑濾波器去除高斯噪聲的效果很好，且在大多數(shù)情況下，對(duì)其它類型的噪聲也有很好的效果。線性濾波器使用連續(xù)窗函數(shù)內(nèi)像素加權(quán)和來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波。特別典型的是，同一模式的權(quán)重因子可以作用在每一個(gè)窗口內(nèi)，也就意味著線性濾波器是空間不變的，這樣就可以使用卷積模板來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波。如果圖像的不同部分使用不同的濾波權(quán)重因子，且仍然可以用濾波器完成加權(quán)運(yùn)算，那么線性濾波器就是空間可變的。任何不是像素加權(quán)運(yùn)算的濾波器都屬于非線性濾波器．非線性濾波器也可以是空間不變的，也就是說(shuō)，在圖像的任何位置上可以進(jìn)行相同的運(yùn)算而不考慮圖像位置或空間的變化。

2 圖像濾波的計(jì)算過(guò)程分析

濾波通常是用卷積或者相關(guān)來(lái)描述，而線性濾波一般是通過(guò)卷積來(lái)描述的。他們非常類似，但是還是會(huì)有不同。下面我們來(lái)根據(jù)相關(guān)和卷積計(jì)算過(guò)程來(lái)體會(huì)一下他們的具體區(qū)別：

卷積的計(jì)算步驟：

（2）       移動(dòng)卷積核的中心元素，使它位于輸入圖像待處理像素的正上方

（3）       在旋轉(zhuǎn)后的卷積核中，將輸入圖像的像素值作為權(quán)重相乘

（4）       第三步各結(jié)果的和做為該輸入像素對(duì)應(yīng)的輸出像素

相關(guān)的計(jì)算步驟：

移動(dòng)相關(guān)核的中心元素，使它位于輸入圖像待處理像素的正上方

將輸入圖像的像素值作為權(quán)重，乘以相關(guān)核

將上面各步得到的結(jié)果相加做為輸出

可以看出他們的主要區(qū)別在于計(jì)算卷積的時(shí)候，卷積核要先做旋轉(zhuǎn)。而計(jì)算相關(guān)過(guò)程中不需要旋轉(zhuǎn)相關(guān)核。

例如： magic(3) =[8 1 6;3 5 7;4 9 2][2 9 4;7 5 3;6 1 8]

三 高斯平滑濾波器的設(shè)計(jì)

  高斯函數(shù)的最佳逼近由二項(xiàng)式展開(kāi)的系數(shù)決定，換句話說(shuō)，用楊輝三角形（也稱Pascal三角形）的第n行作為高斯濾波器的一個(gè)具有n個(gè)點(diǎn)的一維逼近，例如，五點(diǎn)逼近為:

1 4 6 4 1

 5行．這一模板被用來(lái)在水平方向上平滑圖像．在高斯函數(shù)可分離性性質(zhì)中曾指出，二維高斯濾波器能用兩個(gè)一維高斯濾波器逐次卷積來(lái)實(shí)現(xiàn)，一個(gè)沿水平方向，一個(gè)沿垂直方向．實(shí)際中，這種運(yùn)算可以通過(guò)使用單個(gè)一維高斯模板，對(duì)兩次卷積之間的圖像和最后卷積的結(jié)果圖像進(jìn)行轉(zhuǎn)置來(lái)完成．

  設(shè)計(jì)高斯濾波器的另一途徑是直接從離散高斯分布中計(jì)算模板權(quán)值。為了計(jì)算方便，一般希望濾波器權(quán)值是整數(shù)。在模板的一個(gè)角點(diǎn)處取一個(gè)值，并選擇一個(gè)K使該角點(diǎn)處值為1。通過(guò)這個(gè)系數(shù)可以使濾波器整數(shù)化，由于整數(shù)化后的模板權(quán)值之和不等于1，為了保證圖像的均勻灰度區(qū)域不受影響，必須對(duì)濾波模板進(jìn)行權(quán)值規(guī)范化。

 

 

 

  高斯濾波器的采樣值或者高斯濾波器的二項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)可以形成離散高斯濾波器．當(dāng)用離散高斯濾波器進(jìn)行卷積時(shí)，其結(jié)果是一個(gè)更大的高斯離散濾波器．若一幅圖像用N*N離散高斯濾波器進(jìn)行平滑，接著再用M*M離散高斯濾波器平滑的話，那么平滑結(jié)果就和用（N+M-1）*（N+M-1）離散高斯濾波器平滑的結(jié)果一樣．換言之，在楊輝三角形中用第N行和第M行卷積形成了第N+M-1行．

 

四 使用高斯濾波器進(jìn)行圖像的平滑

 

。他們的調(diào)用方式如下：

 

Img_n = conv2(Img,g,'same');  和
Img_n = imfilter(Img,g,'conv');

 

這兩種函數(shù)處理的結(jié)果是完全一樣的。

 

    imfiler函數(shù)在默認(rèn)的情況下，對(duì)圖像的濾波計(jì)算用的是相關(guān)

 

Img_n = imfilter(Img,g);%使用相關(guān)運(yùn)算濾波

 

下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的例子展示了使用相同的高斯濾波核函數(shù)，相關(guān)運(yùn)算和卷積運(yùn)算對(duì)圖像平滑的效果可以直接后邊附的程序查看。

 

 

example.m

clear all

 

I = imread('lena.bmp');

 

Img = double(I);

 

alf=3;

 

 

 

for i=1:n

 

for j=1:n

 

b(i,j) =exp(-((i-n1)^2+(j-n1)^2)/(4*alf))/(4*pi*alf);

 

end

 

end

 

Img_n = uint8(conv2(Img,b,'same'));

 

K=uint8(imfilter(Img,b));

 

 

J=(Img_n2)-Img_n;

flag=mean(J(

)

 

')

 

')

 

')

 

figure(2),surf(b);

  本文關(guān)鍵詞：高斯分布，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號(hào)：162202