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2013-09-16 22:53

黎曼Zeta函數(shù)與算術(shù)基本定理黎曼zeta函數(shù)與算術(shù)基本定理

書上有個(gè)證明沒看懂，于是把其中一個(gè)步驟用計(jì)算機(jī)算了一下，比較蛋疼。
對(duì)所有的s > 1，定義以s為自變量的所謂Zeta函數(shù)

　　

Zeta函數(shù)和素?cái)?shù)之間有一個(gè)重要的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系我們可以利用等比級(jí)數(shù)的知識(shí)把它推導(dǎo)出來。設(shè)p = 2，3，5，7，…是任意一個(gè)素?cái)?shù)；那么對(duì)于s >= 1，有

　　

使得

　　

我們把與所有素?cái)?shù)p = 2，3，5，7，…相應(yīng)的這些表達(dá)式乘在一起，而不考慮這樣一個(gè)運(yùn)算是否成立。在左端得到無窮“乘積”：

　　

而在另一端我們得到級(jí)數(shù)

　　

這是因?yàn)榇笥?的每個(gè)整數(shù)都能唯一地表示為不同素?cái)?shù)的冪的乘積（算術(shù)基本定理）。

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上面都是《什么是數(shù)學(xué)》中Zeta函數(shù)的介紹，其中表達(dá)式乘在一起，不考慮運(yùn)算是否成立，所以就寫了段代碼檢測了一下，Zeta函數(shù)可以寫成：

　　

從第三個(gè)式子開始，右邊的倒數(shù)比較麻煩，先略去每一項(xiàng)-s次冪，由于只做乘積運(yùn)算，利用規(guī)則：

　　

從而可以還原每一項(xiàng)相乘后的-s次冪，，不影響最終結(jié)果：

　　

上述的數(shù)列p取素?cái)?shù)，p = 2，3，5，7，…相應(yīng)的數(shù)列乘在一起：

　　

以上結(jié)果把-s次冪還原就是Zeta函數(shù)了，這樣寫代碼來驗(yàn)證一下很簡單。

運(yùn)行后發(fā)現(xiàn)，這些表達(dá)式相乘，確實(shí)能表示每個(gè)整數(shù)而不重復(fù)：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 5 7 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127
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