卡諾圖化簡法_真值表卡諾圖化簡法_卡諾圖及化簡法

發(fā)布時(shí)間：2016-09-06 11:21

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第6節(jié) 卡諾圖及化簡法

一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

1. 表示最小項(xiàng)的卡諾圖

將n變量的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰的排列起來，所得到的圖形叫做n變量最小項(xiàng)的卡諾圖。因?yàn)檫@種表示方法是由美國工程師卡諾（Karnaugh）首先提出來的，所以把這種圖形叫做卡諾圖。下圖畫出了二到五變量最小項(xiàng)的卡諾圖。

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二到五變量最小項(xiàng)的卡諾圖

圖形兩側(cè)標(biāo)注的0和1表示使對應(yīng)小方格內(nèi)的最小項(xiàng)為1的變量取值。同時(shí)，這些0和1組成的二進(jìn)制數(shù)所對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)大小也就是對應(yīng)的最小項(xiàng)的編號。

為了保證圖中幾何位置相鄰的最小項(xiàng)在邏輯上也具有相鄰性，這些數(shù)碼不能按自然二進(jìn)制數(shù)從小到達(dá)地順序排列，而必須按圖中的方式排列，以確保相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)僅有一個(gè)變量是不同的。

從二到五變量卡諾圖上還可以看到，處在任何一行或一列兩端的最小項(xiàng)也僅有一個(gè)變量不同，所以他們也具有邏輯相鄰性。因此，從幾何位置上應(yīng)當(dāng)把卡諾圖看成是上下、左右閉合的圖形。

在變量數(shù)大于等于5以后，僅僅用幾何圖形在兩維空間的相鄰性來表示邏輯相鄰性已經(jīng)不夠了。如在五變量最小項(xiàng)的卡諾圖中，除了幾何位置相鄰的最小項(xiàng)具有邏輯相鄰性以外，以圖中雙豎線為軸左右對稱位置上的兩個(gè)最小項(xiàng)也具有邏輯相鄰性。

2. 卡諾圖表示邏輯函數(shù)

既然任何一個(gè)邏輯函數(shù)都能表示為若干最小項(xiàng)之和的形式，那么自然也就可以設(shè)法用卡諾圖來表示任意一個(gè)邏輯函數(shù)。具體的方法是首先把邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式，然后在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對應(yīng)的位置上填入1，在其余的位置上填入0，就得到了表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖。即任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于它的卡諾圖中填入1的那些最小項(xiàng)之和。

例1：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

解：首先將Y化為最小項(xiàng)之和的形式

畫出四變量最小項(xiàng)的卡諾圖，在對應(yīng)于函數(shù)式中各最小項(xiàng)的位置上填入1，其余位置上填入0，就得到如圖所示的Y的卡諾圖。

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例2：已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如下，試寫出該函數(shù)的邏輯式。

解：因?yàn)楹瘮?shù)Y等于卡諾圖中填入1的那些最小項(xiàng)之和，所以有

二、 卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法稱為卡諾圖化簡法或圖形化簡法�；啎r(shí)依據(jù)的基本原理就是具有相鄰性的最小項(xiàng)可以合并，并消去不同的因子。由于在卡諾圖上幾何位置相鄰與邏輯上的相鄰性是一致的，因而從卡諾圖上能直觀地找出那些具有相鄰性的最小項(xiàng)并將其合并化簡。

1.合并最小項(xiàng)的規(guī)則

(1) 若兩個(gè)最小項(xiàng)相鄰，則可合并為一項(xiàng)并消去一對因子。合并后的結(jié)果中只剩下公共因子。

(2)若四個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排列成一個(gè)矩形組，則可合并為一項(xiàng)并消去兩對因子。合并后的結(jié)果中只包含公共因子。

(3)若八個(gè)最小項(xiàng)相鄰并且排列成一個(gè)矩形組，則可合并為一項(xiàng)并消去三對因子。合并后的結(jié)果中只包含公共因子。

l 下圖給出了最小項(xiàng)相鄰的幾種情況

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最小項(xiàng)相鄰的幾種情況圖

(a)(b) 兩個(gè)最小項(xiàng)相鄰 (c)(d) 四個(gè)最小項(xiàng)相鄰 (e) 八個(gè)最小項(xiàng)相鄰

至此，可以歸納出合并最小項(xiàng)的一般規(guī)則：如果有個(gè)最小項(xiàng)相鄰（n=1，2，…）并排列成一個(gè)矩形組，則它們可以合并為一項(xiàng)，并消去n 對因子。合并后的結(jié)果中僅包含這些最小項(xiàng)的公共因子。

2. 卡諾圖化簡法的步驟

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)時(shí)可按如下步驟進(jìn)行：

(1)將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式。

(2)畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖。

(3)找出可以合并的最小項(xiàng)。

(4)選取化簡后的乘積項(xiàng)。選取的原則：

n 這些乘積項(xiàng)應(yīng)包含函數(shù)式中所有的最小項(xiàng)（應(yīng)覆蓋卡諾圖中所以的1）

n 所用的乘積項(xiàng)數(shù)目最少，即可合并的最小項(xiàng)組成的矩形組數(shù)目最少

n 每個(gè)乘積項(xiàng)包含因子最少，即各可合并的最小項(xiàng)矩形組中應(yīng)包含盡量多的最小項(xiàng)

例1：用卡諾圖化簡法將式化簡為最簡與—或函數(shù)式

解：首先畫出表示函數(shù)Y的卡諾圖，如圖

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通過合并最小項(xiàng)，得出結(jié)果，

左圖：

右圖：

注：

l 在填寫Y的卡諾圖時(shí)，并不一定要將Y化為最小項(xiàng)之和的形式。

l 需要找出可以何并的最小項(xiàng)，將可能合并的最小項(xiàng)用線圈出，有時(shí)存在多種可能合并最小項(xiàng)的方案，所以有時(shí)一個(gè)邏輯函數(shù)的化簡結(jié)果不是唯一的。

例2：用卡諾圖法將化為最簡與—或邏輯式

解：首先畫出Y的卡諾圖，然后把可能合并的最小項(xiàng)圈出，并按照前面所述的原則選擇化簡與—或式中的乘積項(xiàng)

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最后得到結(jié)果

l 補(bǔ)充說明：在以上的兩個(gè)例子中，我們都是通過合并卡諾圖中的1來求得化簡結(jié)果的。

但有時(shí)也可以通過合并卡諾圖中的0先求出，則

與合并1得到的化簡結(jié)果一致。

此外，在需要將函數(shù)化為最簡的與或非式時(shí)，采用合并0的方式最為適宜，因?yàn)榈玫降慕Y(jié)果正是與或非形式。如果要求得到的化簡結(jié)果，則采用合并0的方式就更簡便了。

三、具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡

1. 約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項(xiàng)

在分析某些具體的邏輯函數(shù)時(shí)，經(jīng)常會遇到這樣一種情況，即輸入變量的取值不是任意的。對輸入變量取值所加的限制稱為約束。同時(shí)，把這一組變量稱為具有約束的一組變量。

例如，有三個(gè)邏輯變量A、B、C，它們分別表示一臺電動(dòng)機(jī)的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止的命令，A=1表示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn)，C=1表示停止。因?yàn)殡妱?dòng)機(jī)任何時(shí)候只能執(zhí)行其中的一個(gè)命令，所以不允許兩個(gè)以上的變量同時(shí)為1。ABC 的取值只可能是001、010、100當(dāng)中的某一種，而不能是000、011、101、110、111 中的任何一種。因此，A、B、C 是一組具有約束的變量。通常用約束條件來描述約束的內(nèi)容，為方便起見采用邏輯語言表述約束條件。

由于每一組輸入變量的取值都使一個(gè)、而且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1，所以當(dāng)限制某些輸入變量的取值不能出現(xiàn)時(shí)，可以用它們對應(yīng)的最小項(xiàng)等于0來表示。這樣，上述例子中的約束條件可以表示為

或?qū)懗?nbsp;：

同時(shí)，把這些恒等于0的最小項(xiàng)叫做約束項(xiàng)。

有時(shí)還會遇到另外一種情況：在輸入變量的某些取值下函數(shù)值是1還是0皆可，并不影響電路的功能。在這些變量取值下，其值等于1的那些最小項(xiàng)稱為任意項(xiàng)。

由于約束項(xiàng)和任意項(xiàng)都不影響函數(shù)值，所以又把兩者統(tǒng)稱為邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項(xiàng)，既可以寫入函數(shù)式中，也可以不寫進(jìn)去。一般情況在用卡諾圖表示邏輯函數(shù)時(shí)，首先將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式，然后在卡諾圖中這些最小項(xiàng)對應(yīng)的位置上填入1，其他位置上填入0。既然無關(guān)項(xiàng)可以包含也可以不包含在函數(shù)式中，那么在卡諾圖中對應(yīng)的位置上填1或0都可以。為此，規(guī)定在卡諾圖中用×（或）表示無關(guān)項(xiàng)。在化簡邏輯函數(shù)時(shí)既可以認(rèn)為它是1，也可以認(rèn)為它是0。

四、無關(guān)項(xiàng)在化簡邏輯函數(shù)中的應(yīng)用

化簡具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)時(shí)，如果能合理利用這些無關(guān)項(xiàng)，一般都可得到更加簡單的化簡結(jié)果。

為達(dá)到此目的，加入的無關(guān)項(xiàng)應(yīng)與函數(shù)式中盡可能多的最小項(xiàng)（包含原有的最小項(xiàng)和已寫入的無關(guān)項(xiàng)）具有邏輯相鄰性。合并最小項(xiàng)時(shí)，究竟把卡諾圖上的×作為1（即認(rèn)為函數(shù)式中包含了這個(gè)最小項(xiàng)）還是作為0（即認(rèn)為函數(shù)式中不包含這個(gè)最小項(xiàng)）對待，應(yīng)以得到的相鄰最小項(xiàng)矩形組合最大、而且矩形組合數(shù)目最少為原則。

例3：化簡邏輯函數(shù)

，，

給定其約束條件

解：如果不利用約束項(xiàng)，則Y已無可化簡。但適當(dāng)?shù)丶舆M(jìn)一些約束項(xiàng)以后，可以得到

利用了約束項(xiàng)以后，使邏輯函數(shù)得以進(jìn)一步化簡。但是代數(shù)法表示不夠直觀。從邏輯函數(shù)的卡諾圖上則表示得更清晰。

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