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整式的乘除與因式分解
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.掌握與整式有關(guān)的概念；
2.掌握同底數(shù)冪、冪的乘法法則，同底數(shù)冪的除法法則，積的乘方法則；
3.掌握單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的相關(guān)計(jì)算；
4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。
5..掌握因式分解的常用方法。
二、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：
1、單項(xiàng)式的概念：由數(shù)與字母的乘積構(gòu)成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，字母指數(shù)和叫單項(xiàng)式的次數(shù)。
如： 的 系數(shù)為 ，次數(shù)為4，單獨(dú)的一個(gè)非零數(shù)的次數(shù)是0。
2、多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫多項(xiàng)式的項(xiàng)，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)。
如： ，項(xiàng)有 、 、 、1，，二次項(xiàng)為 、 ，一次項(xiàng)為 ，常數(shù)項(xiàng)為1，各項(xiàng)次數(shù)分別為2，2，1，0，系數(shù)分別為1，-2，1，1，叫二次四項(xiàng)式。
3、整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)整式。
注意：凡分母含有字母代數(shù)式都不是整式。也不是單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。
4、多項(xiàng)式按字母的升（降）冪排列：
如：
按 的升冪排列：
按 的降冪排列：
按 的升冪排列：
按 的降冪排列：
5、同底數(shù)冪的乘法法則： （ 都是正整數(shù)）
同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。
如：
6、冪的乘方法則： （ 都是正整數(shù)）
冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如：
冪的乘方法則可以逆用：即
如：
7、積的乘方法則：  （ 是正整數(shù)）
積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。
如：（ =
8、同底數(shù)冪的除法法則： （ 都是正整數(shù)，且
同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如：
9、零指數(shù)和負(fù)指數(shù)；
 ，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。
 （ 是正整數(shù)），即一個(gè)不等于零的數(shù)的 次方等于這個(gè)數(shù)的 次方的倒數(shù)。
如：
10、單項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。
注意：
①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。
②相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則。
③只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式
④單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用。
⑤單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式。
如：
11、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，
即 ( 都是單項(xiàng)式)
注意：
①積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。
②運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。
③在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，結(jié)果有同類(lèi)項(xiàng)的要合并同類(lèi)項(xiàng)。]
如：
12、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則；
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所的的積相加。
如：
13、平方差公式： 注意平方差公式展開(kāi)只有兩項(xiàng)
公式特征：左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)。右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方。
如：    
14、完全平方公式：
公式特征：左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，右邊有三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，而另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍。
注意：
 
 
         
完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，加上首尾乘積的2倍。
15、三項(xiàng)式的完全平方公式：
 
16、單項(xiàng)式的除法法則：
單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。
注意：首先確定結(jié)果的系數(shù)（即系數(shù)相除），然后同底數(shù)冪相除，如果只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式
如：
17、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：
多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，在把所的的商相加。
即：
18、因式分解：
常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……
三、知識(shí)點(diǎn)分析：
1.同底數(shù)冪、冪的運(yùn)算：
am•an=am+n(m，n都是正整數(shù)).
(am)n=amn(m，n都是正整數(shù)).
例題1.若 ，則a=           ；若 ，則n=          .

例題2.若 ，求 的值。
例題3.計(jì)算

 
練習(xí)
1.若 ，則 =        .
2.設(shè)4x=8y-1,且9y=27x-1,則x-y等于           。
2.積的乘方
(ab)n=anbn(n為正整數(shù)).積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.
例題1. 計(jì)算：
3.乘法公式
平方差公式：
完全平方和公式：
完全平方差公式：
例題1. 利用平方差公式計(jì)算：2009×2007－20082

例題2.利用平方差公式計(jì)算： ．

例題3.利用平方差公式計(jì)算： ．

例題4.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）
 
變式練習(xí)
1．廣場(chǎng)內(nèi)有一塊邊長(zhǎng)為2a米的正方形草坪，經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要縮短3米，東西方向要加長(zhǎng)3米，則改造后的長(zhǎng)方形草坪的面積是多少？
 

2.（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ ．
 
3. 已知  求 的值

4、已知     ，求xy的值

5.如果a ＋b －2a ＋4b ＋5＝0 ，求a、b的值
 

6.試說(shuō)明
（1） 兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方差必是奇數(shù)  

（2） 若a為整數(shù)，則 能被6整除

7.一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加4cm ，面積就增加56cm ，求原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)
 

4.單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的乘除運(yùn)算
（1）（a－ b）（2a＋ b）（3a2＋ b2）；

（2）[（a－b）（a＋b）]2÷（a2－2ab＋b2）－2ab．

（3）．已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．

5. 因式分解：
 1.提公因式法：式子中有公因式時(shí)，先提公因式。
 例1把 分解因式．
 分析：把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按 的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式 與 ，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是 ，這樣可以繼續(xù)提取公因式．
解：
說(shuō)明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法．本題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組，同學(xué)不妨一試．
 例2把 分解因式．
 分析：按照原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開(kāi)后重新分組，然后再分解因式．
解：
 
 
說(shuō)明：由例3、例4可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律．由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作用．
2. 公式法：根據(jù)平方差和完全平方公式
例題1 分解因式

3.配方法：
 例1分解因式
解：
 
說(shuō)明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式，然后用平方差公式分解．當(dāng)然，本題還有其它方法，請(qǐng)大家試驗(yàn)．

4.十字相乘法：
（1）． 型的因式分解
 這類(lèi)式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：
(1) 二次項(xiàng)系數(shù)是1；(2) 常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3) 一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．
 
因此，
運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式．
 例1把下列各式因式分解：
  (1)       (2) 
解：(1) 
     ．
 (2) 
    
說(shuō)明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同．
 例2把下列各式因式分解：
  (1)       (2) 
解：(1) 
    
 (2) 
    
說(shuō)明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)異號(hào)的因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同．
 例3把下列各式因式分解：
  (1)       (2) 
 分析：(1) 把 看成 的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是 ，一次項(xiàng)系數(shù)是 ，把 分解成 與 的積，而 ，正好是一次項(xiàng)系數(shù)．
   (2) 由換元思想，只要把 整體看作一個(gè)字母 ，可不必寫(xiě)出，只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式 ．
解：(1) 
 (2) 
  
（2）．一般二次三項(xiàng)式 型的因式分解
大家知道， ．
反過(guò)來(lái)，就得到：
我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù) 分解成 ，常數(shù)項(xiàng) 分解成 ，把 寫(xiě)成 ，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到 ，如果它正好等于 的一次項(xiàng)系數(shù) ，那么 就可以分解成 ，其中 位于上一行， 位于下一行．
這種借助畫(huà)十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解．
 例4把下列各式因式分解：
  (1)       (2) 
解：(1)     
 (2)    
說(shuō)明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要．當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào)．
 
 
練習(xí)
1、 已知 ， ，求  的值。

2、 若x、y互為相反數(shù)，且 ，求x、y的值

提高練習(xí)

1．（2x2－4x－10xy）÷（　�。� x－1－ y．
2．若x＋y＝8，x2y2＝4，則x2＋y2＝_________．
3．代數(shù)式4x2＋3mx＋9是完全平方式則m＝___________．
4．（－a＋1）（a＋1）（a2＋1）等于……………………………………………（　�。�
（A）a4－1     （B）a4＋1       （C）a4＋2a2＋1    （D）1－a4　
5．已知a＋b＝10，ab＝24，則a2＋b2的值是 …………………………………（　�。�
（A）148     （B）76     （C）58     （D）52
6．（2）（ ＋3y）2－（ －3y）2；（2）（x2－2x－1）（x2＋2x－1）；

 
7．（1－ ）（1－ ）（1－ ）…（1－ ）（1－ ）的值．
 

8．已知x＋ ＝2，求x2＋ ，x4＋ 的值．
 

9．已知（a－1）（b－2）－a（b－3）＝3，求代數(shù)式 －ab的值．
　
10．若（x2＋px＋q）（x2－2x－3）展開(kāi)后不含x2，x3項(xiàng)，求p、q的值．
 

《整式的乘除與因式分解》單元試題
一、選擇題：（每小題3分，共18分）
1、下列運(yùn)算中，正確的是(      )
A.x2•x3=x6 B.(ab)3=a3b3    C.3a+2a=5a2   D.（x³）²= x5
2、下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是（       ）
（A）              （B）
（C）      （D）
3、下列各式是完全平方式的是（  ）
A、  B、  C、   D、
4、下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是（        ）
（A）     （B）      （C）      （D）
5、如(x+m)與(x+3)的乘積中不含x的一次項(xiàng)，則m的值為（       ）
 A. –3   B. 3   C. 0   D. 1
6、一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加了 ，面積相應(yīng)增加了 ，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（   ）
    A、6cm       B、5cm       C、8cm      D、7cm
二、填空題：（每小題3分，共18分）
7、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式 　　　　　　
8、 ___________
9、若3x= ，3y= ，則3x－y等于           
10、繞地球運(yùn)動(dòng)的是7.9×10³米/秒，則衛(wèi)星繞地球運(yùn)行8×105秒走過(guò)的路程是      
三、計(jì)算題：（每小題4分，共12分）
11、            12、
 

13、［（x－2y） ＋（x－2y）（2y＋x）－2x（2x－y）］÷2x．
 
 
四、因式分解：（每小題4分，共16分）
14、                                                   15、2x2y－8xy＋8y
 
 
16、a2(x－y)－4b2(x－y)        
 
五、解方程或不等式：（每小題5分，共10分） 
17、 　　　　
 
 
六、解答題：（第22～24小題各6分，第25小題8分，共26分）
18、若 ，求 的值。
 
 
23、自己作圖：大正方形的邊長(zhǎng)為a, 小正方形的邊長(zhǎng)為b,利用此圖證明平方差公式。
 
24、如圖，某市有一塊長(zhǎng)為 米，寬為 米的長(zhǎng)方形地塊，規(guī)劃部門(mén)計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間將修建一座雕像，則綠化的面積是多少平方米？并求出當(dāng) ， 時(shí)的綠化面積．
 
 
25、察下列各式
（x-1）(x+1)=x2-1   
(x-1)(x2+x+1)=x3-1  
（x-1）(x3+x2+x+1)=x4-1
……
（1）根據(jù)規(guī)律可得(x-1)(xn-1+……+x +1)=           （其中n為正整數(shù)）
（2）計(jì)算：
（3）計(jì)算：