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有電介質(zhì)時的高斯定理2009-04-27 14:58

有電介質(zhì)時的高斯定理
外電場 E0 極化強度 P 極化電荷σ e '
總電場 E 附加場E'
外電場E0 的作用
下，電介質(zhì)發(fā)生極化
極化強度P 和電介
質(zhì)的形狀，決定極
化電荷σ e '的分布
σ e ' 的分
布，又決
定了附加
場E'
從而影響了電介質(zhì)
內(nèi)部的總電場E
又反過來影響
了極化強度P
P, σ e ', E'和E間的關(guān)聯(lián)
322
電位移 D 的高斯定理的積分形式
電介質(zhì)存在時，高斯定理也成立
計算總電場E 的電場通量時，應(yīng)計及高斯面內(nèi)所包含的自
由電荷q0和極化電荷q ' ∫∫ ⋅ = Σ +
( )
0
( ) 0
d 1 ( ')
S S內(nèi)
q q
ε
E S
用 ε
0 乘上式兩邊，與下式相加∫∫ ⋅ = −Σ
( ) ( )
d '
S
i
S
P S q
消去極化電荷Σq'
∫∫ ⋅ = Σ
( )
0
( )
( 0 + ) d
S S內(nèi)
ε E P S q ? ∫∫ ⋅ = Σ
( )
0
( )
d
S S內(nèi)
D S q
任意閉合曲面的電位移通量或電通量，等于該閉合曲面所
包圍的自由電荷的代數(shù)和，這是有電介質(zhì)時的高斯定理
麥克斯韋方程組的第一個方程，是電磁學(xué)的基本規(guī)律之一
在國際單位制中，電位移D 的單位是C / m2
引進輔助性的物理量
電位移或電通密度
D =ε 0E + P
323
D 的高斯定理的微分形式
∫∫ ⋅ = Σ
( )
0
( )
d
S S內(nèi)
D S q
? 有電介質(zhì)時，高斯定理的微分形式
∇⋅D =ρ0
ρ0
是自由電荷的體密度
各向同性、線性電介質(zhì)的電位移
P =χ eε 0E
D =ε 0E + P
? D =ε 0E + P =ε 0E +χ eε 0E = (1+χ e)ε 0E
若 P 與ε
0 E 成比例
ε r =1+χ e
? ε = (1+χ e)ε 0 =ε rε 0
? D = (1+χ e)ε 0E ε ε E =ε E r 0 =
常量ε 與ε
0 同量綱，稱為電容率(permitivity)或介電常量
(dielectric constant)
無量綱常量 ε
r，稱為相對電容率或相對介電常量
真空中，ε r =1, ε =ε 0
ε0
稱為真空電容率或真空介電常量
324
有電介質(zhì)時，利用高斯定理和介質(zhì)方程式計算靜電場
∫∫ ⋅ = Σ
( )
0
( )
d
S S內(nèi)
D S q 和 D =ε rε 0E =ε E
可以使電介質(zhì)存在時的計算，大為簡化
點電荷 q0 周圍，充滿相對電容率為ε r的電介質(zhì)時，以q0
為中心，取半徑r 作球形高斯面S
D 的高斯定理： 0
2
( )
d 4 r D q
S
∫∫ D⋅ S = π =
介質(zhì)方程式 ：D E r 0 = ε ε
?
r
0
2
0
r 0 4 r 0
1
ε ε ε ε ε
E
r
E D q =
π
= =
有電介質(zhì)時，點電荷q0 在周圍介質(zhì)內(nèi)的靜電場，是不存在
電介質(zhì)時的靜電場的 (1/ ε
r) 倍
在電場 E0 分布的空間內(nèi)，充滿均勻電介質(zhì)，介電常數(shù)為ε
時，或者均勻介質(zhì)的表面，正好是等勢面時
r 0 0 0 D =ε ε E =ε E =ε E
?
r
0
0 0 ,
ε
D =ε E E = E
ε = (1+χ e)ε 0 =ε rε 0，E0是自由電荷所產(chǎn)生的電場
325
電介質(zhì)的屏蔽作用
電介質(zhì)的存在，會使場強減小，因為點電荷 q0，被一層電
性相反的極化電荷包圍，q0 所產(chǎn)生的電場，被抵消了一部
分，這是極化電荷對自由電荷q0 起了一定的屏蔽作用
電容器中充滿均勻介質(zhì)時，在極板電荷不變的情況下，將
使其中的場強減小，使兩極板間的電勢差降低，從而使其
電容增大，電容C增大為真空時電容C0的ε r倍，C =ε rC0，
326
[例題9. 3 ]
平行板電容器的極板面積為S，間距為d，其中平行放置電
介質(zhì)，厚度為δ ，相對電容率為 ε
r，介質(zhì)兩邊都是相對電
容率為1 的空氣，電容器兩極板，接電勢差為U 的恒壓電
源，若忽略平行板電容器的邊緣效應(yīng)，試求兩極板間的電
位移D 和場強E 的分布，并求出極板上的電量Q 和電容C
[解]
作柱形高斯面，ΔS1在金屬極板內(nèi)，ΔS2 在兩極板間，通過
場點P
利用有電介質(zhì)時的高斯定理
d 2 S2
S
∫∫D⋅ S =DΔS = Q Δ ，
在金屬內(nèi)E = 0，D=0
間隙中的場強 由 0E0
S
D = Q =ε -->
S
E D Q
0 0
2 ε ε
= = .
平行板電容器
327
有電位移通量的是ΔS2處， 包圍在此高斯面內(nèi)的自由電荷
為Δq0 =σ e0ΔS = S
S
Q Δ ， ΔS =ΔS2
由此可得，電介質(zhì)中的場強S
E D Q
r 0 r 0
1 ε ε ε ε
= =
兩極板間的電勢差為
( ) ( )
0 r
1 2 ε
δ δ
ε
= δ + −δ = d − +
S
U E E d Q
[1 ( 1)]
r
r
0 ε
δ ε
ε
= − −
S d
Qd
電容器極板間的電勢差 U 已給定，由上式可得
1
r
= 0 [1− ( r −1)]−
ε
ε δ ε
d d
Q US
利用 C0 =ε 0S / d，可得
[1 ( 1)]
r
r
0
ε
δ ε
ε
− −
= =
d
d
S
U
C Q
r
r
0
1 ( 1)
ε
−δ ε −
=
d
C
328
各向異性、線性電介質(zhì),P 與E 的方向不同
需用極化率張量來描述兩者間的關(guān)系
鐵電體、永電體和壓電體
永電體或駐極體
極化強度不隨外場的撤除而消失，與永磁體的性質(zhì)有些類
似，如石蠟等
鐵電體
P 和E 間的關(guān)系非線性，有與鐵磁體磁滯效應(yīng)類似的電滯
效應(yīng),如酒石酸鉀鈉和鈦酸鋇等
壓電體
外力作用而發(fā)生形變時，極化強度會變化，從而在表面上
產(chǎn)生極化電荷，這種現(xiàn)象稱為壓電效應(yīng)
利用石英單晶的壓電效應(yīng)，可以制成以其固有頻率穩(wěn)定振
蕩的振蕩器，掃描隧道顯微鏡還巧妙地利用了壓電效應(yīng)的
逆效應(yīng)，電致伸縮效應(yīng)
電介質(zhì)的擊穿
強電場中，不導(dǎo)電的電介質(zhì)，絕緣性會遭到破壞，稱為電
介質(zhì)的擊穿，電介質(zhì)材料，能承受的最大場強，稱為擊穿
場強或介電強度。
329
表 9 - 2 電介質(zhì)的相對電容率和擊穿場強
電介質(zhì) 相對電容率 ε r 擊穿場強
/( kV⋅mm−1 )
空氣 ( 0 °C, 100
kPa )
1. 000 54 3
空氣 ( 0 °C, 10
MPa )
1. 055
水 ( 0 °C ) 87. 9
水 ( 20 °C ) 80. 2
水 ( 30 °C ) 76. 6
變壓器油4. 5 14
聚四氟乙烯2. 0 35
紙3. 5 16
氧化鉭11. 6 15
二氧化鈦100 6
云母3. 7 ~ 7. 5 80 ~ 200
瓷5. 7 ~ 6. 8 6 ~ 20
電木5 ~ 7. 6 10 ~ 20
玻璃5 ~ 10 10 ~ 25
鈦酸鋇103 ~ 104 3
330
§9 - 3 靜電場的能量
帶電體系的靜電能
將帶電體系中的電荷，分割為無限多個小部分，彼此分散
在相距無窮遠的地方，通常規(guī)定，處于這種狀態(tài)下的靜電
能為零
( 1 ) 點電荷間的相互作用能
相距 r12 的兩個點電荷q1 和q2，組成一帶電體系
建立兩點電荷體系的兩種方式
①先把點電荷 q1，由無窮遠處搬到P1 上，再把另一個點電
荷q2，由無窮遠處，搬到P2 上，與q1 相距r12
搬動 q2 時，需抵抗q1 的電場力，F(xiàn)21 = q2 E1 作功
21 2 1 2 21
2 2 A' d q d q V P P = − ∫ ⋅ = − ∫ ⋅ = ∞ ∞
F l E l
21
1
0
21 1 2 1 4
( ) 2 d 1
r
V V P q P
πε
= = −∫∞ ⋅ = E l
是 q1 在P2 點產(chǎn)生的電勢
兩點電荷體系
帶電體系的靜電能 We ，等于把分散的各部分電荷，從無
窮遠處聚集成現(xiàn)有帶電體系時，抵抗靜電力所作的功A'
331
② 先把 q2 搬到P2 上，再把q1 由無窮遠搬到P1 處
需抵抗電場力F12 = q1E2作功，A' = q1V12
12
2
0
12 2 1 2 4
( ) d 1 1
r
V V P q P
πε
= = − ∫ ⋅ = ∞
E l
是 q2 在P1 點產(chǎn)生的電勢
上述兩種過程所得的結(jié)果是一致的
A' = q2V21 = q1V12
12
1 2
4 0
1
r
q q
πε
=
將兩個點電荷，從無窮遠處移到指定位置所作的功
等于這兩點電荷間的相互作用能 Wint
( )
2
' 1 21 Wint = A = q1V12+q2V
12
1 2
4 0
1
r
q q
πε
=
由 N 個點電荷q1, q2,L, qN組成的系統(tǒng)
把這些點電荷，依次由無窮遠處搬運到P1, P2,L, PN來
該點電荷系的靜電相互作用能 Wint
等于建立這個帶電體系的總功A'
i
N
i
iV q W Σ=
=
1
int 2
1 Σ Σ
=
−
π =
=
N
i
i
j ij
i j
r
q q
1
1
4 0 1
1
ε
Σ Σ
=
≠
π =
=
N
i
N
j i
j ij
i j
r
q q
1
( )
8 0 1
1
ε
Vi 表示除qi外，其余各點電荷在Pi處產(chǎn)生的電勢
332
[例題9. 4 ]
正負電荷體系的靜電能
氯化鈉是離子晶體，由正離子Na+和負離子Cl−組成，分別
帶電+e 和−e，計算離子間的相互作用能時，可以近似地看
成是電荷集中在球心的點電荷
氯化鈉晶體中，正負離子相間地排列成整齊的立方點陣，
相鄰的最近距離為a，每種離子的總數(shù)為N，求該晶體的
靜電相互作用能
[解]
宏觀晶體所包含的原子或離子數(shù)，至少為N ≈1020的數(shù)量
級，想從中找出所有的配對是不可能的，這里采用一種簡
化的計算方法，先計算單個離子，與其他離子間的相互作
用能，然后乘以離子總數(shù)，再除以2
氯化鈉晶體
333
假定立方體中心是正離子，與其他離子間的相互作用能是
)
3
8
2
( 6 12
4
1 2 2 2
0
int − + − +L
π
+ =
a
e
a
e
a
W e
ε
第一項來自 6 個最近的負離子，距離中心為a
第二項來自 12 個最近的正離子，距離中心2a
第三項來自大立方體 8 個頂點上的負離子，距離中心3a
越遠的離子對 +
Wint的貢獻越小，且各項正負相間，這個近
乎無窮級數(shù)是收斂的，其數(shù)值計算的結(jié)果為
a
W e
0
2
int 4
0.8738
πε
+ = −
單個負離子與所有其他離子的相互作用能 −
Wint等于+
Wint
所以晶體的總靜電相互作用能為
= + + − = in+t int ( int int )
2
W 1 N W W NW
a
Ne
0
2
4
0.8738
πε
= −
Wint <0表明Wint 是晶體的靜電結(jié)合能
上述計算，不適用于靠近晶體邊界面的離子，因為這些離
子的一側(cè)，沒有另一側(cè)那樣多的“鄰居”，對于宏觀晶體來
說，這種離子的數(shù)目，只占離子總數(shù)的小部分，計算靜電
結(jié)合能時，可以忽略它的影響
實際上，上述計算結(jié)果，比晶體實際結(jié)合能大 10 %左右
誤差主要來源，是把離子看成點電荷，以及未計及量子交
換效應(yīng)的緣故。
334
( 2 ) 電荷連續(xù)分布的靜電能
連續(xù)分布的體電荷密度為ρ e，把帶電體分割成許多體積元
i Δτ ，
則
每
個
體
積
元
的
電
量
為
Δqi =
ρeΔτ i
由 i
N
i
iV q W Σ=
=
1
int 2
1 Σ Σ
=
≠
π =
=
N
i
N
j i
j ij
i j
r
q q
1
( )
8 0 1
1
ε
在 0 → Δ i
τ
的極限下= ∫∫∫ρ dτ
2
1
We eV
對于面電荷連續(xù)分布情形W = ∫∫ V dS
2
1
e σ e
對于線電荷連續(xù)分布情形W = ∫ V dl
2
1
e ηe
若干個帶電體組成的帶電體系，總靜電能We，是每個帶電
體的自能，和各個帶電體間的相互作用能組成的
每個帶電體本身的自能，是把各部分電荷，聚集起來時作
的功
帶電體間的相互作用能，從無窮遠處移到當(dāng)前位置所作的
功
335
( 3 ) 電荷在外電場中的能量
電荷 q 在外電場中P 點的電勢能W(P) = qV (P)
( 4 ) 電容器儲能
電容器充電過程中，能量轉(zhuǎn)化為電容器中儲存的電能，假
設(shè)極板上的帶電量為q，兩極板間的電壓為u，電源把電荷
−dq，從正極板搬到負極板所作的功，等于電勢能的增加
(− dq u ) − (− dq u ) = dq (u − u ) = u dq − + + −
電源所作的功，全部轉(zhuǎn)化成電容器儲存的電能
= ∫ = ∫Q Q q
C
W u q q e 0 d 0 d CU QU
C
Q
2
1
2
1
2
2
2
= = =
U 是充電完畢時，電容器兩極板間的電壓
Q 是這時電容器上，每一極板所帶電量的絕對值
若電容器中有電介質(zhì)存在，則式中的 Q 可用Q0 代替
表示極板上所帶自由電荷的量值
電容器充電
336
電場的能量和能量密度
電荷必定同時產(chǎn)生相伴的電場，電場可以脫離電荷而傳播
電能是定域在電場中的，有必要把電能以場強E 表示出來
理想平行板電容器
面積 S 的極板上，自由電荷為Q0，兩極板間的電壓為U
電場所占空間的體積為 V = S d
平行板電容器中 D =σ e0 = Q0 /S
電容器所儲存的能量為 W Q U DESd DEV
2
1
2
1
2
1
e = 0 = =
? 電場的電能密度 DE
V
w W
2
e 1
e = =
1．電場不均勻時，電場總電能W w V dV
2
e ∫∫∫ ed ∫∫∫ = = D⋅E
2．真空中，D=ε 0E ?
2
e 2 0
w = 1ε E
3．各向同性的線性電介質(zhì)中，
D =ε rε 0E ?
2
e 2 r 0
w = 1ε ε E
上式包含了電介質(zhì)的極化能
4．各向異性電介質(zhì)中，一般D 與E 不同方向
必須采用普遍的表達式 e w = D⋅E
2
1
337
[例題9. 5 ]
計算真空中均勻帶電球體的靜電能，設(shè)球的半徑為R，帶
電量為Q.
[解]
均勻帶電球體所產(chǎn)生的電場，
r <R，
3
4 0
1
R
E Qr
πε
=
r≥R， 3
4 0
1
r
E Qr
πε
=
解法一：計算定域在電場中的能量
（理想情況，，只考慮空間電荷分布，不用考慮介質(zhì)的電極
化能量）
利用 W w V dV
2
e ∫∫∫ ed ∫∫∫ = = D⋅E ，可得靜電能為，
W = ∫∫∫ E dV
2
2
0
e
ε
r r
R
R Qr 2 ) 4 d
4
(
2
2
0 3
0
0 π
π
= ∫ ε
ε r r
r
Q 2
R ) 4 d
4
(
2
2
2
0
0 π
π
+ ∫∞
ε
ε
r r
R
Q R d
8
4
6 0
0
2
∫ π
=
ε
∫∞
π
+ R r
Q r
2
0
2 d
8 ε
R
Q
R
Q
0
2
0
2
40 ε 8πε
+
π
=
R
Q
0
2
20
3
πε
=
338
解法二：計算帶電體系的靜電能
把帶電球體分割成半徑從零逐漸增加到 R 的薄球殼，厚度
為dr，累加這些球殼所消耗的能量，等于帶電球體的總靜
電能= ∫∫∫ρ dτ
2
1
We eV
帶電球體的體電荷密度為 )
3
/( 4 3
ρ e = Q πR
半徑為 r 的帶電球體總電量為，
3
3
3
e )
3
( 4
R
q =ρ πr = Qr
表面的電勢為，
3
0
2
4 0 4
( )
R
Qr
r
V r q
ε πε
=
π
=
增加一個新的球殼，帶電球的半徑增加 dr
電量的增加為 r
R
dq 3Qr d 3
2
=
把該球殼累加在半徑為 r 的帶電球上，所需作的元功為
6 e
0
2 4
d d
4
' d 3 r W
R
A V q Q r =
π
Δ = =
ε
所以，半徑為 R 的帶電球體的靜電能為
R
r Q
R
W V q Q r Q R
0
2
6
0
2 4
e 0 0 20
d 3
4
d 3
ε πε
=
π
= ∫ = ∫
習(xí)題共 3 題： 8，10，14。 

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