本文關(guān)鍵詞：宿州學(xué)院學(xué)報(bào)，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

第１８卷第３期

２Ｏ０

河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）

ＪｏｕｎｌａｌｏｆＨｅｎａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆ

Ｖ０１．１８Ｎｏ．３Ｓｅｐ．２００９

９年９月

Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）

ｄｏｉ：ｌＯ．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—０８３４．２００９．０３．００ｌ

致密性定理證明其它實(shí)數(shù)連續(xù)性基本定理

彭培讓

（河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)系，河南鄭州４５００４６）

摘要：用致密性定理統(tǒng)一證明其它實(shí)數(shù)連續(xù)性基本定理．關(guān)鍵詞：致密性定理；實(shí)數(shù)連續(xù)性；基本定理中圖分類號：０１７４．１

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：Ａ

文章編號：１００７一０８３４（２００９）０３一ｏｏＯｌ一０２

實(shí)數(shù)連續(xù)性基本定理常見的有：致密性定理，確

＝盧＞盧一ｇｊ存在充分大的后。∈ｚ＋，使得口‰＞ＪＢ一占，而［ｎ。｜０，６。１０］中含有Ａ中的點(diǎn)記為‰ｊｊ善�！剩�，使得茗。＞盧一ｓ．依定義，盧為Ａ的上確界．同理可證Ａ非

空有下界的情形．

２單調(diào)有界定理的證明

界存在定理，單調(diào)有界定理，閉區(qū)間套定理。有限覆蓋定理，聚點(diǎn)定理，柯西收斂準(zhǔn)則。上、下極限定理¨。１．這些定理是極限理論乃至整個(gè)數(shù)學(xué)分析理論的基礎(chǔ)．本文按“一證多”的方案，用致密性定理（有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列）統(tǒng)一證明其它實(shí)數(shù)連

續(xù)性基本定理．

定理２單調(diào)增加（減少）有上（下）界的數(shù)列

必收斂．

證明

１確界存在定理的證明

定理１非空有上（下）界數(shù)集Ａ必有上（下）確界．

證明

Ａ非空有上界ｊｊ口ＥＡ，６∈Ｒ使得Ａ

ｎ

設(shè)｛茗。｝是單調(diào)增加有上界的數(shù)列ｊ

｛石。｝有界．由致密性定理ｊ存在｛算。｝的子數(shù)列｛茗。。｝

收斂，記ｊｉｍ菇。。＝盧ｊ存在充分大的Ｊ｜｝�！剩沟�

工。。＞盧一占，取』、ｒ＝ｎ”再慮及｛聾。｝單調(diào)增加ｊＶｎ＞Ⅳ，有ＪＢ—Ｆ＜菇。＜ＪＢ＋占．即｛并。｝收斂于ｐ．

３閉區(qū)間套定理的證明

［口，６］≠咖．將［ｏ，６］等分為兩個(gè)閉區(qū)間ｆ口，之竽１，

【÷筍，６】．若【÷筍，６】含有Ａ中的點(diǎn)，則將其記為

［口。，６．］，，否則，記ｆ口，竺筍１為［口。，６，］．再將［口。，６．］

定理３設(shè)｛［ｄ。，６。］｝是一閉區(qū)間套，則存在唯一Ⅱ∈Ｒ，使得Ｖ

證明

ｎ

Ｅ

ｚ＋，ａ∈［口。，６。］．

Ｖ幾∈ｚ＋，

由｛［口。，６。］｝是一閉區(qū)間套ｊ

等分為兩個(gè)閉區(qū)間【口。，生?筍】，【生筍，６。】，同樣

偏右選取含有Ａ中的點(diǎn)的子區(qū)間為［口：，６：］．如此繼續(xù)下去，便得一閉區(qū)間套｛［口。，６。］｝，且每個(gè)［口。，６。］含有＾中的點(diǎn)，但右邊沒有Ａ中的點(diǎn)．由｛６．｝有界，據(jù)致密性定理ｊ存在｛６。｝的子數(shù)列｛６。。｝收斂，

有口Ｉ≤…≤口。≤口。＋ｌ≤６。＋ｌ≤６�！堋埽叮焯栠f增數(shù)

列｛Ⅱ。｝與遞減數(shù)列｛６。｝都有界，據(jù)致密性定理，存

在｛６。｝的子數(shù)列｛口。。｝收斂，記ｌ；Ｉｉｍ

６。。＝ａ．

由｛［口。，６。］｝是一閉區(qū)間套ｊｊｉｍ（６。。一口．。）＝ｏ

號地口～＝ｎ?由｛口。。｝及｛６。。｝的單調(diào)性等Ｖ矗Ｅ

ｚ＋，

記ｊｉｍ６。。＝盧，則ＪＢ即為Ａ的上確界．事實(shí)上，Ｖ石∈Ａ，

由Ｖ６�！菝@，Ｖ后Ｅ

●—＋∞

口∈［口叫６＾．］．又Ｖｎ∈ｚ＋，ｊ�！剩�，使得［口＾‘’６～］ｃ［ｏ。，６。］號Ｖｎ∈ｚ＋，有ｎＥ［口。，６。］．下證ａ的唯

一性：假設(shè)Ｖｎ∈ｚ＋，也有盧∈［ａ。，６。］ｊＶｎ∈Ｚ＋，

ｚ＋等ｚ≤盧?由艦（６。．一口。。）＝ｏ（區(qū)

’‘—●∞

一

間套定義）及留６。。＝盧等恕口。。＝盧ｊＶ占＞ｏ，恕口～

＾—’∞

‘

有Ｏ≤ｌａ一盧Ｉ≤（６。一口。）．再慮及ｌｉｍ（６。一口。）＝Ｏｊ口

收稿日期：２００９一０４一０６

基金項(xiàng)目：河南省精品課程建設(shè)項(xiàng)目（高教［２００７］５９８號）

作者簡介：彭培讓（１９６２一），男，河南太康人，河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授，研究方向：函數(shù)論、應(yīng)用泛函分析

萬方數(shù)據(jù)　

：ＪＢ．定理獲證．

４有限覆蓋定理的證明

Ｊ７ｖ，有ｌｚ。ｌ≤Ｉ戈ⅣＩ＋ｇ．取肘＝ｍａｘ｛ｌ石ＩＩ，ｌ菇２Ｉ，…，Ｉ

ｘⅣ

Ｉ，Ｉ龍Ⅳｌ＋１｝ｊＶｎ∈Ｚ＋，有ｌ茗。Ｉ≤Ｍ，即｛菇。｝有界．據(jù)致密性定理ｊ存在｛石。｝的子數(shù)列｛石。。｝收斂，記

定理４設(shè)Ｓ是閉區(qū)間［口，６］的一個(gè)開覆蓋，則在５中必可選出有限個(gè)開區(qū)間，構(gòu)成［口，６］的一個(gè)

開覆蓋．

地算。。＝口?取，ｌＩ＞Ⅳ，且ｈ。。一口Ｉ＜占毒Ｖ

７上、下極限定理的證明

ｎ＞Ⅳ，有

Ｉ戈。一口ｌ≤１名。一茗。－Ｉ＋Ｉ茗�！豢冢桑迹舱迹剑�。｝收斂．

定理７有界數(shù)列｛茗。｝的上、下極限一定存在．

證明

證明假定定理結(jié)論不成立．將［ｏ，６］等分為

兩個(gè)閉區(qū)間【口，竺筍】，【÷筍，６】，則其中至少有一

個(gè)記為［ｎ。，６。］，定理的結(jié)論對它不成立．再將［口。，

數(shù)列｛茗。｝有界ｊ了ｏ，６

Ｅ

Ｒ使得Ｖ凡∈

ｚ＋，石。Ｅ［口，６］．將［口，６］等分為兩個(gè)閉區(qū)間

６。］等分為兩個(gè)閉區(qū)間【口。，生÷生】＇【生筍，６Ｉ】，則

同樣其中至少有一個(gè)記為［口：，６：］，定理的結(jié)論對它不成立．如此繼續(xù)下去，便得一閉區(qū)間套｛［口。，６。］｝，且每個(gè)［口。，６。］不能被Ｓ有限覆蓋．由｛６。｝的有界性，據(jù)致密性定理ｊ存在｛６。｝的子數(shù)列｛６。。｝收

【口，里筍】，【｝筍，６】，若【｝筍，６】含有｛菇。｝的無限

多項(xiàng)，則將其記為［。。，６。］，否則，記『口，生≯１為

［ｎ．，６．］．再將［口．，６，］等分為兩個(gè)閉區(qū)間

斂，記�。丁绞�?由蝕（６～一口～）＝ｏｊ罌口～＝ｆ?

‘＿．蕾

。

●一∞

�！�

■＿＋蕾

一

㈠半］，【半，６ｌ】，同樣偏右選取含有ｋ｝

的無限多項(xiàng)的子區(qū)間為［口：，６：］．如此繼續(xù)下去，便得一閉區(qū)間套｛［口。，６。］ｌ，且每個(gè)［口。，６。］含有｛名。｝的無限多項(xiàng)，但右邊至多有｛菇。｝的有限項(xiàng)．由｛６。｝有界，據(jù)致密性定理穹存在｛６。｝的子數(shù)列｛髫。。｝收

顯然孝∈［口，６］．由［ｎ，６］被Ｓ覆蓋ｊ存在開區(qū)間（ｃ，

ｄ）∈ｓ，使得ｆ∈（ｃ，ｄ）?由蝕口～２罌６～＝亭ｊ存在

充分大的＿｜｝∈ｚ＋，［ｏ＾．＇６％］ｃ（ｃ，ｄ）．這與［口礦６～］不能被Ｓ有限覆蓋矛盾．于是定理獲證．

５聚點(diǎn)定理的證明

斂，記�。椋恚�。。＝盧，則ＪＢ即為｛石。｝的上極限．事實(shí)上由

定理５數(shù)軸上任意有界無限點(diǎn)集至少有一個(gè)

聚點(diǎn)．

地（６～一口ｎ。）＝ｏ，及罌６。。＝盧ｊ罌８。。。卻６～：

盧ｊＶ占＞０，存在充分大的Ｉ｜｝�！剩沟茫剩乱徽迹迹睢�

證明設(shè)ｓ為有界無限點(diǎn)集．由Ｓ的無限性ｊ｜ｓ中有各項(xiàng)互異的點(diǎn)列｛茗。｝．由ｓ的有界性凈｛省。ｌ有界．據(jù)致密性定理ｊ存在｛石。｝的子數(shù)列｛茗。。｝收斂，記ｌｉｍ菇。。＝ＪＢ弓Ｖ占＞０，存在充分大的‰Ｅｚ＋，使得Ｖ后＞‰，有盧一占＜石。。＜盧＋占，由點(diǎn)列｛戈。｝的各項(xiàng)互

異性ｊ口為Ｓ的聚點(diǎn)．６柯西收斂準(zhǔn)則的證明

＜６。１０盧＋占，而［口。１０，６。ｈ］含有｛菇。｝的無限多項(xiàng)，但右邊至多有｛茗。｝的有限項(xiàng)ｊ盧為｛石。｝的上極限．同理可證｛菇。｝的下極限的存在性．

參考文獻(xiàn)

［１］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析：上冊［Ｍ］．北京：高等教育出

版社．２００６．

定理６數(shù)列｛算。｝收斂的充分必要條件是｛茗。｝為柯西數(shù)列．

證明

［２］田立平，李洪齊．實(shí)數(shù)系基本定理的等價(jià)性［Ｊ］．河北理工學(xué)院學(xué)報(bào)，２００４，２６（４）：７０—７４．

只證充分性．由｛石。｝為柯西數(shù)列ｊＶ占

［３］段鵬舉．實(shí)數(shù)連續(xù)性的八個(gè)等價(jià)命題［Ｊ］．宿州學(xué)院學(xué)報(bào)。

２００８．２３（１）：１０６一１０８．

＞０，ｊⅣ∈Ｚ＋，Ｖ，ｌ，ｍ≥，ｖ，有ｌ石。一髫。ｌ＜占＝》Ｖ凡＞

ＡＰｒｏｏｆｔｏＯｔｈｅｒＲｅａｌＮｕｍｂｅｒＣｏｎｔｉｎｕｉｔｖＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌ

ＴｈｅｏｒｅｍｓｂｙＣｏｍｐａｃｔＴｈｅｏｒｅｍ

ＰＥＮＧＰｅｉｒａｎｇ

（Ｄｅｐ口療ｍ叫礦朋ｈ￡＾唧口ｔ婦，脅Ｍｎ加ｍｕ把ｏ，Ｅｄ眥口砌ｎ。ｚ＾ｅ嗶ｌＩｌｏｕ

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｐｒｏｖｅｓ

４５００４６，ｃ＾ｉ觸）

ｔｈｅｏｔｈｅｒｒｅａｌｎｕｍｂｅｒｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｅｍｓｕｎｉｆｏｎｎｌｙｂｙｔｈｅｃｏｍｐａｃｔｔｈｅｏｒｅｍ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐａｃｔｔｈｅｏｒｅｍ；ｒｅａｌｎｕｍｂｅｒｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ；ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｅｍｓ

－２?

萬方數(shù)據(jù)　

致密性定理證明其它實(shí)數(shù)連續(xù)性基本定理

作者：

作者單位：

刊名：

英文刊名：

年，卷(期)：彭培讓河南教育學(xué)院,數(shù)學(xué)系,河南,鄭州,450046河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）JOURNAL OF HENAN INSTITUTE OF EDUCATION(NATURAL SCIENCE)2009,18(3)

參考文獻(xiàn)(3條)

1.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析 2006

2.田立平;李洪齊 實(shí)數(shù)系基本定理的等價(jià)性[期刊論文]-河北理工學(xué)院學(xué)報(bào) 2004(04)

3.段鵬舉 實(shí)數(shù)連續(xù)性的八個(gè)等價(jià)命題[期刊論文]-宿州學(xué)院學(xué)報(bào) 2008(01)

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1. 胡永生 淺談致密性定理的不同證明方法[期刊論文]-中國校外教育(理論)2008(3)

2. 楊芳 實(shí)數(shù)連續(xù)性定理的互推[期刊論文]-內(nèi)蒙古科技與經(jīng)濟(jì)2009(3)

3. 陳引蘭 關(guān)于區(qū)間套定理與有限覆蓋定理的兩點(diǎn)注記[期刊論文]-中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊2010(2)

4. 張坤 用閉區(qū)間套定理證明實(shí)數(shù)系連續(xù)性的其他等價(jià)定理[期刊論文]-理科愛好者（教育教學(xué)版）2010,02(2)

5. 劉利剛.LIU Li-gang 實(shí)數(shù)系基本定理等價(jià)性的完全互證[期刊論文]-數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識2008,38(24)

6. 陳芝輝.Chen Zhihui 實(shí)數(shù)連續(xù)性九個(gè)定理等價(jià)的證明[期刊論文]-南寧師范高等�？茖W(xué)校學(xué)報(bào)2007,24(2)

7. 段鵬舉.DUAN Pengju 實(shí)數(shù)連續(xù)性的八個(gè)等價(jià)命題[期刊論文]-宿州學(xué)院學(xué)報(bào)2008,23(1)

8. 鄧衛(wèi)兵.Deng Weibing 五大實(shí)數(shù)基本定理的一種證明方法及應(yīng)用[期刊論文]-廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)2005,4(1)

9. 任曉 實(shí)數(shù)連續(xù)性定理及其它[期刊論文]-西昌師范高等�？茖W(xué)校學(xué)報(bào)2001,13(3)

10. 朱永生.林立軍 基于實(shí)數(shù)連續(xù)性定理等價(jià)的新探討[期刊論文]-錦州師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2003,24(2)

引用本文格式：彭培讓 致密性定理證明其它實(shí)數(shù)連續(xù)性基本定理[期刊論文]-河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2009(3)

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