高維問題的降維方法一直是科學界關注的問題,它指的是將高維數(shù)據(jù)或高維動力系統(tǒng)映射到一個有物理意義的低維空間中。各學科中高維問題的處理都面臨著同樣的問題。一是高維問題帶來的“維數(shù)福音”。高維問題中蘊含著豐富的信息,能讓人們認識到事物更深層次的規(guī)律。二是維數(shù)膨脹也帶來了“維數(shù)災難”。研究表明高維空間的幾何結構和二維,三維空間差異甚大。低維空間中典型的幾何性質對認識高維空間的指導作用并不顯著。再者,對于高維非線性偏微分方程而言,往往不存在解析解且這一類系統(tǒng)都表現(xiàn)出混沌行為。因而將高維問題降維分析是一個勢在必行的過程。自上世紀九十年代以來,降維方法形成了幾個發(fā)展階段。第一階段是以譜方法為主的主成分分析方法和多維尺度方法。第二階段是將多維尺度方法應用于非線性降維過程,其變體多以保持高維空間中兩點之間的距離為降維機理。這期間發(fā)展出眾多方法,其中以Sammon非線性映射方法最為顯著。最后,受到神經網絡方法的啟發(fā),發(fā)展出了基于神經網絡算法的自組織映射。在本世紀初,降維方法又回到了第一階段,發(fā)展出了核主成分分析法。而對于高維非線性動力系統(tǒng)而言,盡管構造近似慣性流形的手段各異,但其降維過程都還是以Galer... 

【文章來源】：昆明理工大學云南省

【文章頁數(shù)】：201 頁

【學位級別】：博士

【文章目錄】：
摘要
Abstract
符號與縮略詞說明
第一章 緒論
    1.1 研究背景
        1.1.1 高維數(shù)據(jù)庫
        1.1.2 高維動力系統(tǒng)
    1.2 降維方法
        1.2.1 基于數(shù)據(jù)庫的降維問題
        1.2.2 保持數(shù)據(jù)點間距離的降維方法
            1.2.2.1 主成分分析方法(PCA)
            1.2.2.2 Sammon非線性映射(NLM)
            1.2.2.3 曲線成分分析(CCA)
            1.2.2.4 Isomap方法
            1.2.2.5 使用測地線距離的其他降維方法
        1.2.3 保持拓撲流形的降維方法
            1.2.3.1 自組織映射(SOM)
            1.2.3.2 繁衍拓撲映射(GTM)
            1.2.3.3 局部線性嵌入法(LLE)
            1.2.3.4 拉普拉斯特征映射(LE)
        1.2.4 動力學系統(tǒng)中的降維方法
            1.2.4.1 基于中心流形的降維方法
            1.2.4.2 Lyapunov-Schmidt降維方法(L-S方法)
            1.2.4.3 Galerkin方法
    1.3 本文主要研究工作
第二章 基于加權殘數(shù)法的最優(yōu)低維動力系統(tǒng)建模理論
    2.1 引言
    2.2 最優(yōu)低維動力系統(tǒng)模型
        2.2.1 一般理論
        2.2.2 流動數(shù)據(jù)庫分析
        2.2.3 最優(yōu)截斷低維動力系統(tǒng)理論
            2.2.3.1 基于余量最小的有數(shù)據(jù)庫最優(yōu)低維動力系統(tǒng)模型
            2.2.3.2 基于余量最小的無數(shù)據(jù)庫最優(yōu)低維動力系統(tǒng)模型
            2.2.3.3 基于殘差最小的無數(shù)據(jù)庫最優(yōu)低維動力系統(tǒng)模型
            2.2.3.4 基于加權殘差最小的無數(shù)據(jù)庫最優(yōu)低維動力系統(tǒng)模型
    2.3 數(shù)值算法
        2.3.1 共軛梯度法
        2.3.2 實現(xiàn)最優(yōu)截斷低維動力系統(tǒng)的數(shù)值算法
        2.3.3 全局優(yōu)化
第三章 一維線性偏微分方程的POT-WR方法
    3.1 一維線性偏微分方程的POT-WR模型推導
        3.1.1 一維線性熱傳導方程描述以及方程的Galerkin投影
        3.1.2 最優(yōu)條件J,廣義最優(yōu)條件J~g及其變分
        3.1.3 廣義最優(yōu)條件J~g的變分及歐拉方程
    3.2 局部尋優(yōu)結果及其分析
    3.3 全局尋優(yōu)結果及其分析
    3.4 本章小結
第四章 一維非線性偏微分方程的POT-WR方法
    4.1 引言
    4.2 一維非線性偏微分方程的POT-WR模型推導
        4.2.1 Burgers方程描述以及方程的Galerkin投影
        4.2.2 最優(yōu)條件J,廣義最優(yōu)條件J~g
        4.2.3 廣義最優(yōu)條件J~g的變分及歐拉方程
    4.3 局部優(yōu)化結果及其分析
    4.4 全局優(yōu)化及其結果分析
    4.5 本章小結
第五章 解Navier-Stokes方程的POT-WR方法
    5.1 引言
    5.2 實現(xiàn)的理論和方法
    5.3 Navier-Stokes方程的POT-WR模型推導
        5.3.1 Navier-Stokes方程的Galerkin投影
        5.3.2 最優(yōu)條件J,廣義最優(yōu)條件J~g
        5.3.3 廣義最優(yōu)條件J~g的變分及域內歐拉方程
        5.3.4 邊界歐拉方程
    5.4 粗粒化快速全局優(yōu)化方法及初始迭代基的選擇
        5.4.1 粗�；焖偃謨�(yōu)化方法
        5.4.2 初始迭代基的選擇
    5.5 算例
    5.6 本章小結
第六章 結論與展望
    6.1 結論
    6.2 展望
致謝
參考文獻
附錄A (攻讀博士學位期間撰寫的學術論文)
附錄B
    B.1 一維熱傳導方程POT-WR模型B方案
    B.2 Burgers方程POT-WR模型B方案
    B.3 Navier-Stokes方程POT-WR模型B方案
    B.4 Navier-Stokes方程POT-WR模型邊界條件


【參考文獻】：
期刊論文
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本文編號：3196211