本文關(guān)鍵詞：倒向隨機(jī)微分方程在經(jīng)濟(jì)金融優(yōu)化問題中的應(yīng)用　出處：《山東大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：本論文研究的是倒向隨機(jī)微分方程(BSDEs)在經(jīng)濟(jì)和金融相關(guān)優(yōu)化問題中的應(yīng)用。我們知道倒向隨機(jī)微分方程理論是由Pardoux和Peng在論文[62]建立的。從起源上看,研究引入倒向隨機(jī)微分方程的主要目的就是為了解決隨機(jī)控制問題,也就是研究隨機(jī)最大值原理。因此在此之后有許多與倒向隨機(jī)微分方程有關(guān)的隨機(jī)控制理論方面的研究,在這些研究當(dāng)中,隨機(jī)最大值原理總是主要的技術(shù)方面的研究控制問題工具。許多的研究及其成果還擴(kuò)展到其他的領(lǐng)域,例如經(jīng)濟(jì)和金融,這使得倒向隨機(jī)微分方程理論成為跨學(xué)科的成果,在經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域里許多優(yōu)化問題會(huì)應(yīng)用倒向隨機(jī)微分方程來解決。本論文解決了三個(gè)分別覆蓋微觀經(jīng)濟(jì)學(xué),宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和行為金融學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題。本文中第一個(gè)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)問題是一個(gè)關(guān)于長期委托人-代理人問題(principal-agent問題,簡稱PA問題)或者稱是長期契約問題(contracting problem)。這個(gè)問題中,契約雙方對(duì)項(xiàng)目質(zhì)量,或是代理人質(zhì)量(如能力等)具有對(duì)稱不確定性(即項(xiàng)目中的有關(guān)質(zhì)量參數(shù)是未知的),并且代理人有隱藏行動(dòng)(hidden action)。此外,我們還假設(shè)代理人對(duì)新息(innovation)布朗運(yùn)動(dòng)的分布不確定。也就是說,給定新息后(學(xué)習(xí)后),代理人對(duì)項(xiàng)目的產(chǎn)出或是現(xiàn)金流分布不確定。因此我們第一個(gè)問題是解決一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性委托人如何設(shè)計(jì)一個(gè)合同,使自己的效用(即利潤)最大化,并且設(shè)計(jì)最優(yōu)合同是受同時(shí)具有風(fēng)險(xiǎn)厭惡和模糊厭惡的代理人動(dòng)機(jī)(incentive)約束。在歷史上,Holmstrom和Milgrom[38]第一個(gè)在連續(xù)時(shí)間框架下解決隱藏行動(dòng)問題,或者我們稱為道德風(fēng)險(xiǎn)(moral hazard)問題。Sannikov[70]在給代理人的酬勞按連續(xù)時(shí)間率支付的假設(shè)下給出了一種解決道德風(fēng)險(xiǎn)問題的易處理方式(tractable way)。這個(gè)假設(shè)普遍用于在隨后至今的連續(xù)時(shí)間模型中。Prat和Jovanovic[68]以及He et al[37]分別研究需要雙方學(xué)習(xí)項(xiàng)目中未知代理人能力的契約問題。Prat和Jovanovic[68]研究的是非穩(wěn)定學(xué)習(xí),而He et al[37]聚焦于穩(wěn)定學(xué)習(xí)情況。Miao和Rivera[61]研究了一個(gè)穩(wěn)健合同(robust contract)情況,然而他們關(guān)注的是委托人面對(duì)模糊的情況,而不是代理人。相反的,我們認(rèn)為由于作為專業(yè)管理人員的代理人對(duì)環(huán)境具有更多的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),他更清楚明白自己所面臨的復(fù)雜環(huán)境,因此是代理人能意識(shí)到模糊性。并且,我們采用的是Chen-epstein[9]方法來處理模糊性。所以,我們的模型同時(shí)考慮關(guān)于項(xiàng)目質(zhì)量的學(xué)習(xí)以及模糊的情況,這使我們考慮的問題更加符合復(fù)雜現(xiàn)實(shí)的世界。在這個(gè)契約問題中關(guān)鍵難點(diǎn)是怎樣給出合同滿足動(dòng)機(jī)相容(incentive compatible contract,簡稱IC)條件的必要條件。合同的動(dòng)機(jī)相容性實(shí)質(zhì)上是代理人控制問題。我們能證明本質(zhì)上我們可以把這個(gè)得到必要條件的問題等價(jià)于解一個(gè)比倒向隨機(jī)微分方程系統(tǒng)更加復(fù)雜的正倒向隨機(jī)微分方程(FBSDEs)的隨機(jī)控制問題。詳細(xì)的說,我們需要用Cvitanic和Zhang[15]中介紹的最大值原理來解決正倒向隨機(jī)微分方程控制問題。但是我們?cè)谀：碌膭?dòng)態(tài)合約模型誘導(dǎo)出的正倒向隨機(jī)微分方程是非光滑的：倒向方程的漂移項(xiàng)關(guān)于狀態(tài)變量不是連續(xù)可微的。連續(xù)可微條件是隨機(jī)最大值原理證明過程中所用的變分法所必須的,因?yàn)榈谝徊绞菍?duì)狀態(tài)變量進(jìn)行微分。因此此問題中我們數(shù)學(xué)上的技術(shù)貢獻(xiàn)是通過使用非光滑分析中的廣義導(dǎo)數(shù)方法,解決了上述難題,并得到了代理人問題的一階必要條件。我們用兩個(gè)分別包含一個(gè)信息租金(information rent)集合中的上界和下界的方程來表示這個(gè)必要條件,而經(jīng)典正倒向隨機(jī)微分方程控制問題的結(jié)果中只有一個(gè)方程。正是由于模糊使我們得到一個(gè)信息租金集合,因?yàn)槟：挛覀儠?huì)得到一族關(guān)于代理人連續(xù)價(jià)值的最壞情況概率(worst-case beliefs)。經(jīng)濟(jì)上來說我們的必要條件是按照一種穩(wěn)健形式(robust form)展示的。更重要的是,在把必要條件作為求解最終委托人最優(yōu)合同問題的控制限制后,我們能夠用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法得到一個(gè)HJB方程。并且我們能夠解出這個(gè)HJB方程,即一個(gè)偏微分方程(PDE)的顯式解,這也同時(shí)意味著我們能夠得到最優(yōu)合同的具體數(shù)學(xué)形式。所以我們最后能夠很方便的詳細(xì)分析合同內(nèi)容并且得到了很多重要的經(jīng)濟(jì)意義和結(jié)果。第一個(gè)問題的研究成果是我在美國波士頓大學(xué)經(jīng)濟(jì)系為期一年的訪問學(xué)者期間完成的。合作作者是來自波士頓大學(xué)的苗建軍教授和來自山東大學(xué)的嵇少林教授：Dynamic Contracts with Learning under Ambiguity, with Shaolin Ji and Jianjun Miao, Boston University working paper.第二個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)問題是關(guān)于在連續(xù)時(shí)間框架下如何實(shí)施帶零利率下界限制的有承諾的(under commitment)最優(yōu)貨幣政策。在名義利率上實(shí)施的零利率下界限制在解決流動(dòng)性陷阱問題時(shí)是非常常用的,最現(xiàn)實(shí)的例子就是美國自2008年經(jīng)濟(jì)危機(jī)后至今所面臨的流動(dòng)性陷阱情況。自那場危機(jī)以后,美國聯(lián)邦儲(chǔ)備委員會(huì)(美國央行)將名義利率迅速降到零利率附近以緩和經(jīng)濟(jì)衰退,并將零利率保持至今(直到2015年第四季度才宣布加息25個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn))。結(jié)果是,名義利率在零點(diǎn)附近而不能繼續(xù)下降,因此以利率為調(diào)控手段的貨幣政策失效。我們用新凱恩斯模型來研究隨機(jī)連續(xù)時(shí)間框架下的最優(yōu)貨幣政策。歷史上,新凱恩斯模型來自于Eggertsson和Woodford [19], Woodford [78]以及Gali[26]所建立的離散時(shí)間公式。Clarida, Gali和Gerlter[11]從不帶零利率下界的離散時(shí)間模型來研究新凱恩斯主義下的最優(yōu)貨幣政策。Adam和M. Billi[1]在離散時(shí)間框架下研究帶零利率下界的具有承諾性的最優(yōu)貨幣政策。Ivan Werning[75]研究了在流動(dòng)性陷阱中帶零利率下界的連續(xù)時(shí)間框架下的最優(yōu)貨幣政策問題,但是他構(gòu)建的是確定性模型。我們研究的問題中經(jīng)濟(jì)模型被轉(zhuǎn)化成了解決無窮時(shí)間區(qū)間下倒向隨機(jī)微分方程的控制問題。Shi和Peng[66]研究了無窮時(shí)間區(qū)間的正倒向隨機(jī)微分方程,Haadem和Oksendal[30]研究了無窮時(shí)間區(qū)間下的最大值原理,但是這些方程中的參數(shù)條件都過于嚴(yán)格,不適用于我們的模型。所以在解決此問題中我們的技術(shù)貢獻(xiàn)是：(1)我們研究了無窮時(shí)間區(qū)間下在我們構(gòu)造的最優(yōu)貨幣政策模型中倒向隨機(jī)微分方程解的存在性。其中關(guān)鍵點(diǎn)就在于如何構(gòu)造方程相應(yīng)終端條件(transversality condition)以保證可行控制集合是非空的,否則的話這個(gè)控制問題就是無意義的(ill-posed);(2)我們得到了最優(yōu)解的必要條件,即得到了相應(yīng)的伴隨方程和無窮時(shí)間框架下此控制問題最優(yōu)解滿足的漢密爾頓函數(shù)(Hamiltonian);(3)我們還給出了極限條件來保證無窮時(shí)間下的控制問題中的必要條件也是充分條件。因此我們可以分析最終得出的充要條件,從而得出相應(yīng)的關(guān)于最優(yōu)貨幣政策的經(jīng)濟(jì)暗示。這一部分的工作來自于我和山東大學(xué)嵇少林教授的工作論文：Proposal on optimal monetary policy under commitment with zero lower bound in continuous setting, with Shaolin Ji.第三個(gè)行為金融問題是關(guān)于解決一個(gè)g-期望下的最優(yōu)投資組合選擇問題。在此問題中,投資者的效用函數(shù)滿足Inada條件。我們的模型是基于以前的Jin和zhou[46]的研究,但是我們?cè)谶@里用的是g-期望,一種非線性期望來代替他們文章中的非線性概率扭曲。這種非線性期望可以刻畫類似于第一章中代理人所面臨的模糊情況。具體到模型上來說,我們用由Peng[64]引入的g-期望來代替Jin和zhou [46]中用的Choquet期望。此外,我們用了不同的S型效用函數(shù)和g-函數(shù)來分別構(gòu)造表示投資者對(duì)待損失和盈利所不同的不確定性態(tài)度。從控制論的角度上講,我們建模的行為金融問題是倒向隨機(jī)微分方程的終端變量為控制變量,在一個(gè)成本函數(shù)約束下的最大化倒向隨機(jī)微分方程零時(shí)刻解的控制問題。為了解決這個(gè)與倒向隨機(jī)微分方程有關(guān)的控制問題,我們用Ji和Peng[42]以及Ji和Zhou[43,44]介紹的終端攝動(dòng)方法。然而,在我們模型中用這個(gè)方法來得到控制問題的最優(yōu)解的必要條件會(huì)遇到一些技術(shù)性難題。因?yàn)槲覀兊男в煤瘮?shù)在Inda條件假設(shè)下在零點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)是正無窮。因此,相應(yīng)的終端攝動(dòng)方法過程中的可積性和收斂性結(jié)果就不存在了。因此在解決這個(gè)問題中我們的技術(shù)貢獻(xiàn)是我們沒有直接用終端攝動(dòng)方法,而是用反證法解決處理了這些技術(shù)性難題。我們找到一個(gè)反例,在這個(gè)反例中我們構(gòu)造一種特殊變差來得到終端攝動(dòng)方法中的可積性和收斂性結(jié)果。并且,我們還給出了相應(yīng)的充分性條件,來方便我們隨后從金融投資的角度來分析結(jié)果。這部分工作主要來自于我的發(fā)表論文：The optimal Portfolio Selection Model under g-Expectation, Abstract and Applied Analysis, Vol.2014, Article ID 426036.以及和來自牛津大學(xué)Jin Hanqing教授,來自山東大學(xué)的嵇少林教授合作的工作論文：The optimal Portfolio Selection Model under g-Expectation and Utility Function with Inada Condition, with Hanqing Jin and Shaolin Ji.以上是對(duì)本論文中涉及的三個(gè)經(jīng)濟(jì)和金融方面優(yōu)化問題的簡要介紹。本論文包括三個(gè)章節(jié)來分別詳細(xì)研究這三個(gè)問題。下面,我們將簡要的展示每一個(gè)問題中重要的數(shù)學(xué)結(jié)果并介紹每一章結(jié)構(gòu)：第一章：模糊下帶學(xué)習(xí)的動(dòng)態(tài)合同第一章第二節(jié)構(gòu)造了模型。本章主要的技術(shù)突破和貢獻(xiàn)是我們?cè)诘谌?jié)給出了正倒為了使這個(gè)方程滿足Lipschitz條件,我們對(duì)其進(jìn)行Girsanov變換,得到：代理人的問題等價(jià)于下面的控制問題：這里隨機(jī)過程控制集合A={a:[0,T]×Ω→[0,1]}是{FtY}-可料的。我們可以看見這里面有一個(gè)絕對(duì)值項(xiàng)|Zta|,它對(duì)Zta不可導(dǎo)。一個(gè)合同是動(dòng)機(jī)相容(即代理人問題最優(yōu)解)的必要條件是：定理0.0.1.在一些證明中的技術(shù)假設(shè)下,如果合同c=(a,w,WT)是動(dòng)機(jī)相容的,那么(a,,γc)滿足這里(vc,γc)是如下倒向隨機(jī)微分方程的解終端限制為vT=U(WT)。此方程與合同c聯(lián)系,pt=maxPt∈Pcpt,pt=minPt∈Pcpt,其中Qa,bc*是某個(gè)對(duì)于vc來說的最壞情況測度,這個(gè)測度由密度生成元bc*∈Bc生成,Bc是最壞情況密度生成元集合,i.e.具體的定理中的式子和符號(hào)的意義和解釋將會(huì)在第一章中詳細(xì)給出。這里給定合同c我們給出了集合Pc,它的元素是信息租金pt。之所以會(huì)出現(xiàn)一個(gè)集合Pc是由于模糊下我們會(huì)得到一個(gè)最壞情況密度生成元集合Bc,因此相應(yīng)的就會(huì)有一個(gè)最壞情況概率Qa,bc*的集合,而每一個(gè)pt是定義在不同最壞情況概率下的。因此若像Prat和Jovanovic[68]里那樣沒有模糊時(shí),則只會(huì)出現(xiàn)一個(gè)信息租金,因?yàn)榻o定每個(gè)合同只會(huì)存在一個(gè)概率測度。進(jìn)一步的,我們還在第三節(jié)中給出了合同是動(dòng)機(jī)相容的充分條件：定理0.0.2.一個(gè)合同c=(a,ω,WT),如果存在一個(gè)pt∈Pc使得對(duì)t∈[0,T]成立,其中ζ是如下定義的可料過程其中(Bta,bc*)是在由對(duì)應(yīng)于pt的密度生成元bc*∈Bc生成的最壞情況測度Qa,bc*下的布朗運(yùn)動(dòng)。那么這個(gè)合同是動(dòng)機(jī)相容的。在第四節(jié),我們把第三節(jié)得到的必要條件當(dāng)作了委托人的最優(yōu)控制問題的控制限制,在此控制問題里委托人要設(shè)計(jì)出最大化他的利潤的合同。因此我們把解的過程分成兩步。第一步是假設(shè)努力恒不為零時(shí)(沒有偷懶,no shirking effort),求解必要條件限制下委托人控制問題。這些努力始終為正的合同稱為動(dòng)機(jī)合同(incentive contracts),意思是委托人提供動(dòng)機(jī)使得代理人不會(huì)偷懶。在第二步,我們給出了最優(yōu)合同結(jié)果。需要注意的是在解第一步控制問題時(shí)我們將必要條件作為控制實(shí)際上擴(kuò)大了動(dòng)機(jī)相容合同的范圍,因?yàn)槲覀儧]有考慮動(dòng)機(jī)相容的充分條件。而委托人問題的控制集合是動(dòng)機(jī)相容合同。因此在解得最優(yōu)動(dòng)機(jī)合同后,我們還需要確定這個(gè)合同確實(shí)是動(dòng)機(jī)相容的。我們可以說明解最優(yōu)動(dòng)機(jī)合同實(shí)質(zhì)上是解出如下HJB方程：受限于以及并且我們還能夠解出以上這個(gè)偏微分方程的顯示解,并且這個(gè)解構(gòu)成了最優(yōu)動(dòng)機(jī)合同的內(nèi)容：定理0.0.3.假設(shè)(i)質(zhì)量η是未知的并且代理人對(duì)產(chǎn)出過程的均值是模糊厭惡的,(ii)u(w,a)和U(W)在正文中給定,(iii)任意建議的努力水平滿足at0對(duì)所有t≥0成立。那么無窮時(shí)間極限T→∞的最優(yōu)動(dòng)機(jī)合同建議了最理想(first-best)努力水平at*=1。委托人的值函數(shù)如下給出這里函數(shù)f(t)如下表示并且kt是如下二次方程的正根,委托人給代理人最開始的效用值給定為v0,然后代理人的連續(xù)價(jià)值(continuation value)過程vt滿足工資如下給定在第四節(jié)的最后,我們給出了第一章最重要的結(jié)果：定理0.0.4.假設(shè)(i)質(zhì)量η是未知的并且代理人對(duì)產(chǎn)出過程的均值是模糊厭惡的,(ii)u(w,a)和U(W)在正文中給定。讓F=1-λ+ln(K/ρ)/α+1/2ρα(λσK)2。(a)如果F0,那么存在一個(gè)唯一的閾值h0。繼續(xù)假設(shè)若其中那么如果h0h,存在一個(gè)時(shí)刻τ0使得h(τ)=h并且無窮時(shí)間極限最優(yōu)合同建議a*使得在t∈[0,τ)有at*=0,以及在t≥τ有at*=1。委托人給代理人最開始的效用值給定為v0,工資為代理人的連續(xù)價(jià)值vt在t∈[0,τ)時(shí)刻滿足vt=v0,并且在t≥丁滿足初始為vτ=v0的隨機(jī)微分方程(3)。委托人的價(jià)值函數(shù)J*給定為若h0≥h,ht≥h對(duì)于所有正的時(shí)刻t都成立,那么最優(yōu)合同即完全是定理0.0.2給出的最優(yōu)動(dòng)機(jī)合同。(b)如果F≤0,那么最優(yōu)合同使得努力在t≥0時(shí)恒有at*=0,并且最優(yōu)工資,代理人的連續(xù)價(jià)值以及委托人的價(jià)值函數(shù)在t≥0如下給定閾值h0的具體取值將在定理證明中給出。在第五節(jié),我們?cè)敿?xì)分析了最優(yōu)合同,解釋了模糊對(duì)最優(yōu)合同的影響以及風(fēng)險(xiǎn)與模糊的不同。在第六節(jié),我們比較了我們所用的研究模糊的方法與其他模糊方法的不同。第二章：連續(xù)時(shí)間框架下有零利率下界時(shí)對(duì)承諾性最優(yōu)貨幣政策的建議本章第二節(jié)建立了模型。這個(gè)表示宏觀經(jīng)濟(jì)優(yōu)化問題的控制問題為：受限于如下無窮時(shí)間區(qū)間下的倒向隨機(jī)微分方程：這里可行控制集合A(π,x,i)(?){(πt,xt,it)0≤t∞:(πt,xt,it)滿足倒向隨機(jī)微分方程(5),it≥0,E(∫0∞e-ρt[λπt2+xt2]dt)∞}。我們這個(gè)問題中的技術(shù)貢獻(xiàn)和突破是我們?cè)诘谌?jié)給出了最優(yōu)解的充分必要條件。首先我們給出控制問題相應(yīng)的漢密爾頓函數(shù)(Hamiltonian)H:R6→R為：這里(pπ(·),px(·))是相對(duì)于狀態(tài)變量對(duì)(π(t),x(t))的一階狀態(tài)伴隨方程,并且滿足一個(gè)隨機(jī)微分方程：我們給出的必要條件是：定理0.0.5.讓(π*(t),x*(t),i*(t))∈A(π,x,i)是此控制問題的最優(yōu)解組。(pπ(·),px(·))是來自最優(yōu)解組相應(yīng)的一階伴隨隨機(jī)微分方程(6)的解。那么我們有：由方程(7),我們能得到：接下來充分條件是：定理0.0.6.讓一組(π*(t),x*(t),i*(t))0≤t∞滿足方程(5)并且屬于A(π,x,i)。接著我們給出下面的伴隨方程:假設(shè)對(duì)于任意(πt,xt,it)∈A(π,x,i)有漢密爾頓函數(shù)為如果Hi(t,π*(t),x*(t),i*(t),px(t),pπ(t))×(i-i*(t))≥0,(?)t≥0,(?)i≥0,那么我們有這組(π*(t),x*(t),i*(t))0≤t∞是此控制問題的最優(yōu)解。我們可以看到在相應(yīng)條件下,方程(8)是充分必要條件。因此在第三節(jié)后面部分,我們解釋所得方程結(jié)果并提出了關(guān)于最優(yōu)貨幣政策的建議。在第四節(jié),我們同時(shí)考慮了承諾貨幣政策與財(cái)政政策的共同作用,并給出此情景下的政府的最優(yōu)支出。第三章：在效用函數(shù)滿足Inada條件的g-期望下的最優(yōu)投資組合選擇模型在第三章第二節(jié),我們給出了詳細(xì)的行為金融問題并且建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。我們將終端財(cái)富分成兩部分：正收益的部分和負(fù)收益的部分來考慮,并且分別評(píng)價(jià)這兩部分終端財(cái)富。我們分別用符號(hào)u+(X+)和u-(X-)來表示收益和損失的效用,用V+(X+)和V-(X-)來表示收益和損失的值函數(shù),這兩個(gè)值函數(shù)用下面兩個(gè)g-期望定義：V+(x+)=εg1[u+(X+)]=x1(0),V_(X-)=εg2[u-(X-)]=x2(0)。這兩個(gè)g-期望對(duì)應(yīng)于下面兩個(gè)倒向隨機(jī)微分方程的零時(shí)刻解：在g-期望決定規(guī)則下此問題如下表示：這里G0,T[X]是如下驅(qū)動(dòng)函數(shù)生成元為g0以及終端隨機(jī)變量為X的倒向隨機(jī)微分方程的解G0,T[X]實(shí)際上是一個(gè)成本限制。在第三節(jié),我們給出了與原問題相關(guān)的三個(gè)子問題。對(duì)給定的任意參數(shù)對(duì)(x+,A),下面三個(gè)子問題是：子問題1：子問題2：我們將子問題(13)和子問題(14)的極值解寫作：V+(x+,A),V-(x+,A)。子問題3：那么我們給出如下定理：定理0.0.7.讓g0關(guān)于狀態(tài)變量(x,z)是線性的。給定X*,我們定義A*=(w：X*≥0)和x+*=G0,T[(X*)+]。那么X*是問題(11)的最優(yōu)解當(dāng)且僅當(dāng)(x+*,A*)是問題(15)的最優(yōu)解,并且(X*)+和(X*)-各自是問題(13)和(14)關(guān)于參數(shù)(x+*,A*)的最優(yōu)解。第四節(jié)分別處理了每個(gè)子問題并且給出了最優(yōu)解。我們研究此問題中主要的技術(shù)貢獻(xiàn)是當(dāng)我們研究的效用函數(shù)滿足u+’(0+)=u-’(0+)=∞時(shí),我們給出了每個(gè)子問題最優(yōu)解的必要條件：定理0.0.8.對(duì)任意給定的參數(shù)(x+,A),這里x+≥x0,如果X*是關(guān)于此參數(shù)的問題(13)的最優(yōu)解,那么X*有如下的形式：這里A’是A的子集。m(t),n1(t)各自是如下隨機(jī)微分方程的解：這里h010,h110,并且|h01|2+|h11|2=1。函數(shù)gx0,gz0,gx1,gz1各自是g0,91關(guān)于x和z的導(dǎo)數(shù),(x0*(t),z0*(t))以及(X1*(t),z1*(t))各自是倒向隨機(jī)微分方程(12)和(10)關(guān)于終端隨機(jī)變量X*和u+(X*)的解。定理0.0.9.對(duì)于任意給定參數(shù)(x+,A),這里x+≥x0,如果X*是關(guān)于此參數(shù)的問題(14)的最優(yōu)解,那么X*有如下的形式：這里h120,h020并且|h02|2+|h12|2=1。Ac是Ac的子集。(x0*(t),z0*(t))以及(x2*(t),z2*(t))各自是倒向隨機(jī)微分方程(12)和(10)關(guān)于終端隨機(jī)變量X*和u-(X*)的解。m(t),n2(t)各然后我們更進(jìn)一步的分析了最優(yōu)解的形式并且給出了最優(yōu)解充分條件：定理0.0.10.對(duì)于任意給定(x+,A),讓g0是一個(gè)凸函數(shù)并且g1是一個(gè)凹函數(shù)。如果有兩個(gè)常數(shù)h010,h110以及一個(gè)滿足問題(13)的限制條件的并且在集合A上嚴(yán)格正的終端變量X*使得在A上有其中n1(T),m(T)如上定義,那么X*是問題(13)的最優(yōu)解。在這一節(jié)的最后,我們給出了解決原始問題(11)的方法。第五節(jié)將我們的模型與Jin和Zhou[46]的模型進(jìn)行了比較,并且從金融的角度解釋了我們的結(jié)果。第六節(jié)和第七節(jié)給出了一個(gè)具體的實(shí)例并用第四節(jié)的方法進(jìn)行了求解。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O211.63;F830

【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前2條

1 ;The Maximum Principle for One Kind of Stochastic Optimization Problem and Application in Dynamic Measure of Risk[J];Acta Mathematica Sinica(English Series);2007年12期

2 ;The Maximum Principle for Fully Coupled Forward-backward Stochastic Control System[J];自動(dòng)化學(xué)報(bào);2006年02期

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本文編號(hào)：1370308