本文關(guān)鍵詞：非線性期望下的鞅問題及其相關(guān)問題的研究

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【摘要】：為了處理現(xiàn)實世界的一些不確定性問題(如,Knight不確定性),Peng(2006)提出了一個新的非線性期望—G-期望的概念.近十年來,非線性期望理論作為概率論的一個新的分支得到了迅速的發(fā)展,尤其是G-期望理論.G-期望是從所謂的“G-熱傳導(dǎo)方程”(?)tu-G((?)x2u)=0構(gòu)造的一個具有時間相容性的次線性期望,同時G-布朗運動也得以定義,隨后G-期望下的隨機分析得到了發(fā)展.其中由非線性偏微分方程得到G-期望的這一想法被我們發(fā)揚光大,沿襲Stroock and Varadhan (1969)[74]研究擴散過程時,建立線性微分算子與概率測度之間直接聯(lián)系的思路,我們尋找非線性微分算子與非線性期望之間的直接關(guān)聯(lián),提出了非線性期望下的鞅問題.為求解此鞅問題,我們根據(jù)Peng (2005)[51]中的非線性Markov鏈的想法,利用非線性偏微分方程的粘性解構(gòu)造出非線性期望,從而證明其解的存在性.為此,一類完全非線性偏微分方程的粘性解的存在性和比較定理得到了證明.依賴鞅問題的方法,我們給出了G-隨機微分方程(G-SDE)的弱解概念,并得到一類一般形式的具有Lipschitz連續(xù)系數(shù)的d-維G-隨機微分方程的弱解的存在性結(jié)果.此結(jié)果推廣了經(jīng)典的Girsanov變換,即,從一個給定的非線性期望下的布朗運動出發(fā),通過某種變換而得到另一個非線性期望下的布朗運動.本文首先,回顧了經(jīng)典的鞅問題,和非線性期望(尤其是G-期望)的起源和發(fā)展,以及最近的結(jié)果和發(fā)展趨勢.然后介紹了非線性期望的基本結(jié)論,特別是G-期望下隨機分析的主要結(jié)果.為了構(gòu)造一般的非線性期望,我們研究了兩大類完全非線性偏微分方程的粘性解的存在和唯一性,并確定了一類用來構(gòu)造非線性期望的完全非線性偏微分方程類.隨后,我們研究了一類由非線性偏微分方程粘性解構(gòu)造的非線性期望,定義了非線性期望下的鞅問題,并利用偏微分方程的粘性解方法證明了一類特殊形式的鞅問題的解的存在性.最后,利用已經(jīng)得到的鞅問題的結(jié)果研究G-SDE的弱解的存在性.
【關(guān)鍵詞】：非線性期望 非線性偏微分方程 G-期望 G-隨機微分方程 Hamilton-Jacobi-Bellman方程 粘性解 鞅問題 弱解
【學(xué)位授予單位】：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O211.67
【目錄】：

• 摘要5-6
• ABSTRACT6-10
• 主要符號對照表10-14
• 第1章 緒論14-22
• 1.1 研究背景及現(xiàn)狀14-19
• 1.1.1 Stroock和Varadhan的鞅問題14-16
• 1.1.2 非線性期望16-19
• 1.2 主要研究內(nèi)容和創(chuàng)新點19-22
• 1.2.1 主要研究內(nèi)容19-20
• 1.2.2 創(chuàng)新點20-22
• 第2章 非線性期望理論簡介22-36
• 2.1 非線性期望及其下的布朗運動22-28
• 2.2 G-It(?)積分28-30
• 2.3 G-容度下的擬確定分析30-32
• 2.4 G-It(?)公式以及G-隨機微分方程32-36
• 第3章 非線性偏微分方程的粘性解理論36-54
• 3.1 一般的HJB方程的粘性解的比較定理38-45
• 3.2 一類完全非線性方程的粘性解的比較定理45-48
• 3.3 完全非線性方程的粘性解的存在性48-54
• 第4章 非線性鞅問題54-70
• 4.1 經(jīng)典鞅問題回顧54-57
• 4.2 非線性期望下的鞅問題57-70
• 4.2.1 非線性期望的構(gòu)造58-63
• 4.2.2 非線性期望下的鞅問題—定義及求解63-70
• 第5章 G-隨機微分方程的弱解70-82
• 5.1 經(jīng)典隨機微分方程的弱解70-72
• 5.2 G-隨機微分方程的弱解及存在性72-82
• 5.2.1 鞅問題方法的應(yīng)用72-79
• 5.2.2 其他方法79-82
• 第6章 結(jié)語82-84
• 6.1 總結(jié)82
• 6.2 其他相關(guān)內(nèi)容和展望82-84
• 參考文獻84-90
• 致謝90-92
• 在讀期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文與取得的研究成果92

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1 林清泉;鞅問題和BSDE弱解的存在性[J];中南民族學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版);1996年02期

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1 劉燕;一維擴散過程的游程結(jié)構(gòu)與鞅問題的唯一性[D];鄭州大學(xué);2006年

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本文編號：923705