本文關(guān)鍵詞：自相似集的Lipschitz等價和高維Frobenius問題

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【摘要】：自相似集的Lipschitz等價問題,是幾何測度論和分形幾何中的重要問題。此問題肇始于著名數(shù)學(xué)家K. Falconer[7,8], G. David和S. Semmes[3]在20世紀(jì)90年代的系列工作。在最近十年,這方面的研究十分活躍,取得了很多重要進展。本論文研究的核心問題是強分離自相似集的Lipschitz等價性(又稱Falconer-Marsh問題)。在這個問題上,已經(jīng)積累了許多方法和技巧,如代數(shù)不變量[8],雙Lipschitz函數(shù)的保測性[25],可匹配條件[15]和環(huán)方法[28].我們的第一個工作是,引入并研究了高維Frobenius問題。經(jīng)典的Frobenius問題是研究給定m個互素的正整數(shù)α1,….,αm,找出不能表示成α1,….,αm的非負(fù)整線性組合的最大整數(shù),顯然,這取決于半群α1N+…+αmN的結(jié)構(gòu)。我們把α1,…,αm換成Rs中的整向量X1,…,Xm(但要求它們位于某個半空間中),研究半群X1N+…+XmN的結(jié)構(gòu)。首先,我們提出飽和錐的概念,證明了其存在性,并給出了高維Frobenius問題的表述；其次,我們引入了方向增長函數(shù),在X1…,Xm共面時,我們利用條件熵給出方向增長函數(shù)的計算公式；最后,在共面條件下,我們證明了下述“剛性”結(jié)果：X1…,Xm可由方向增長函數(shù)唯一確定。我們的第二個工作是把上述研究應(yīng)用于自相似集Lipschitz等價的研究。對于每個自相似集,我們可以聯(lián)系一個高維Frobenius問題,從而聯(lián)系了一個方向增長函數(shù)。首先,我們證明方向增長函數(shù)是一個Lipschitz不變量；其次,利用前述的“剛性”結(jié)果,在共面條件下,我們解決了Falconer-Marsh問題。我們猜測,在一般情形下,方向增長函數(shù)仍將會是一個重要的Lipschitz不變量,它的計算和剛性問題,是困難而重要的問題。此外,本論文還研究了一類自仿分形集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。
【關(guān)鍵詞】：自相似集 Lipschitz等價 高維Frobenius問題 飽和錐 方向增長函數(shù)
【學(xué)位授予單位】：華中師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O189
【目錄】：

• 內(nèi)容摘要5-6
• Abstract6-10
• 第一章 引言10-22
• 第二章 自相似集的Lipschitz等價研究的最新進展22-26
• 2.1 強分離自相似集之間的Lipschitz等價23-25
• 2.2 具有粘連結(jié)構(gòu)的自相似集之間的Lipschitz等價性及其他25-26
• 第三章 強分離自相似集的Lipschitz等價性的方法和技巧26-36
• 3.1 自相似集的雙Lipschitz等價的代數(shù)不變量26-27
• 3.2 保測性質(zhì)27-28
• 3.3 偽基和距離函數(shù)28-30
• 3.4 可匹配條件30
• 3.5 [15]中的結(jié)果30-33
• 3.6 [28]中的技巧與結(jié)果33-36
• 第四章 Higher dimensional Frobenius problem：Maximal saturatedcone,growth function and rigidity36-72
• 4.1 Introduction36-44
• 4.1.1 Maximal saturated cone38-39
• 4.1.2 Multiplicity of representations and directional growth function39-41
• 4.1.3 Calculation of γ(θ) when X_1,…,X_m are coplanar41-42
• 4.1.4 Rigidity results42-43
• 4.1.5 Relation to the Lipschitz equivalence of Cantor sets43-44
• 4.2 Maximal saturated cones44-46
• 4.3 Variation of multiplicity function46-51
• 4.4 Existence of directional growth51-53
• 4.5 Principle of Maximal entropy under linear constraints53-58
• 4.6 Formula of γ(θ)in the coplanar case58-61
• 4.7 Rigidity(Ⅰ):Proof of Theorem 4.561-65
• 4.8 Rigidity(Ⅱ):Proof of Theorem 4.665-72
• 4.8.1 Standard solution66-67
• 4.8.2 H_η and H_(η') are parallel when s=267-69
• 4.8.3 Proof of Theorem 4.669-72
• 第五章 Higher dimensional Probenius problem and Lipschitz equiv-alence of Cantor sets72-90
• 5.1 introduction72-77
• 5.2 Lipschitz invariants77-78
• 5.3 Higher dimensional Frobenius Problem78-79
• 5.4 Multiplicity79-81
• 5.4.1 Directional growth function80
• 5.4.2 Rigidity results80-81
• 5.5 Proof of Theorem 5.4(ⅱ)81-88
• 5.5.1 Cut sets82-83
• 5.5.2 Matchable condition83-84
• 5.5.3 Proof of Theorem 5.4(ⅱ)84-88
• 5.6 Proof of Theorem 5.6 and Example 5.788-90
• 5.6.1 Proof of Theorem 5.688-89
• 5.6.2 Proof of Example 5.789-90
• 第六章 一類自仿分形集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)90-98
• 參考文獻98-103
• 研究生期間論文發(fā)表情況103-104
• 致謝104

【參考文獻】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前2條

1 ;Sliding of self-similar sets[J];Science in China(Series A:Mathematics);2007年03期

2 奚李峰;阮火軍;;強分離條件下自相似集的Lipschitz等價[J];數(shù)學(xué)學(xué)報;2008年03期

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本文編號：811792