本文關(guān)鍵詞：超曲面補(bǔ)空間Alexader類不變量的可除性定理

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【摘要】：本文主要研究關(guān)于超曲面補(bǔ)空間Alexander類不變量的可除性定理.假設(shè)多項(xiàng)式f:Cn+1→ C在無窮遠(yuǎn)處處在一般位置.記F0=f-1(0),(?)= Cn+1\F0在第二三章中我們研究超曲面補(bǔ)空間u和它的邊界流形上經(jīng)典Alexander型不變量,特別是關(guān)于此類不變量的可除性定理.在第二章中,我們用關(guān)于f的Sabbah specialization complex來實(shí)現(xiàn)超曲面補(bǔ)空間的Alexander模.Sabbah specialization complex與nearby cycles有著非常緊密的聯(lián)系.而nearby cycles本身可以看作是一個(gè)非常好的局部奇點(diǎn)信息的聚合體：nearby cycles在每一個(gè)奇點(diǎn)的莖同構(gòu)于f在此奇點(diǎn)的Milnor纖維的上同調(diào)群.所以,這個(gè)新的方法揭示了超曲面補(bǔ)空間的Alexander模與超曲面F0上奇點(diǎn)的關(guān)系,從而得到一個(gè)新的可除性定理.更進(jìn)一步,考慮到nearby cycle是mixed Hodge module范疇理論中的一個(gè)非常重要的組成部分(nearby cycle functor可以提升為mixed Hodge module范疇中的函子),所以我們可以利用nearby cycles來得到超曲面補(bǔ)空間上扭Alexander模的混合Hodge結(jié)構(gòu).在第三章中,我們將Cogolludo-Florens關(guān)于超曲面補(bǔ)空間Alexander多項(xiàng)式的等式推廣到非孤立奇點(diǎn)情況.我們的主要工具是關(guān)于f的Cappell-Shaneson peripheral complex實(shí)際上,我們給出了peripheral complex一個(gè)新的刻畫,并從此刻畫出發(fā)得到超曲面補(bǔ)空間Alexander多項(xiàng)式的一些誤差估計(jì).更進(jìn)一步,通過研究Alexander多項(xiàng)式與Reidemeister torsion之間的關(guān)系,我們得到關(guān)于整體Alexander多項(xiàng)式與局部Alexander多項(xiàng)式的一個(gè)等式,其中包含Reidemeister torsion相交形式的行列式.我們對peripheral complex的新刻畫同時(shí)可以說明peripheral complex可以看作是mixed Hodge module.另一方面,我們證明超曲面補(bǔ)空間邊界流形的經(jīng)典Alexander模可以用peripheral complex來實(shí)現(xiàn),從而得出此Alexander模為扭模,并借此構(gòu)造其上的混合Hodge結(jié)構(gòu).任取CPn+1中超曲面V,記M*=CPn+1\V.在第四章中,我們給出關(guān)于M*的整體Alexander varieties與characteristic varieties的可除性定理.更為準(zhǔn)確地說,我們證明整體characteristic varieties (除最高階i=n+1外)包含在V任意一個(gè)不可約分支上所有點(diǎn)局部characteristic varieties的并集中.注意此可除性定理對超曲面V本身沒有任何要求(對比前兩章關(guān)于u經(jīng)典Alexander模的研究,我們總是假設(shè)f在無窮遠(yuǎn)處處在一般位置).作為應(yīng)用,我們不僅能夠重新證明許多已知的關(guān)于經(jīng)典Alexander模的結(jié)論,也可以得到其它情況下新的結(jié)論,比如本質(zhì)超平面配置.更近一步,利用Suciu定義的locally straight space,我們將關(guān)于Alexander varieties與characteristic varieties的可除性定理推廣到esonance varieties上.
【關(guān)鍵詞】：Sabbah specialization complex nearby cycles vanishing cycles Reidemeis-ter torsion peripheral complex 超曲面補(bǔ)空間 邊界流形 Milnor纖維 非孤立奇點(diǎn) Alexander多項(xiàng)式 混合Hodge結(jié)構(gòu) generic fibre 超平面配置 Alexander varieties characteristic varieties Dwyer-Fried sets resonance varieties
【學(xué)位授予單位】：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O187
【目錄】：

• 摘要5-7
• ABSTRACT7-12
• 第一章 緒論12-24
• 1.1 Nearby Cycles與Alexander模13-17
• 1.2 超曲面補(bǔ)空間的邊界流形17-20
• 1.3 超曲面補(bǔ)空間的Alexander Varieties與Characteristic Varieties20-24
• 第二章 Nearby Cycles與Alexander模24-52
• 2.1 基本概念24-28
• 2.1.1 Alexander模24-25
• 2.1.2 Linking number local system25-26
• 2.1.3 Peripheral complex26-27
• 2.1.4 Sabbah specialization complex27-28
• 2.2 Sabbah Specialization Complex與Alexander模28-30
• 2.3 Generic Fibre與Sabbah Specialization Complex30-34
• 2.3.1 定理1.12的證明30-32
• 2.3.2 μ=0的情況32-34
• 2.4 可除性定理34-44
• 2.4.1 定理1.1.3的證明34-36
• 2.4.2 應(yīng)用36-39
• 2.4.3 Maxim的猜想39-44
• 2.5 混合Hodge結(jié)構(gòu)44-52
• 2.5.1 定理1.1.5的證明45-48
• 2.5.2 Milnor纖維F48-49
• 2.5.3 扭Alexander模上的混合Hodge結(jié)構(gòu)49-52
• 第三章 超曲面補(bǔ)空間的邊界流形52-72
• 3.1 Peripheral Complex為Mixed Hodge Module52-55
• 3.2 Alexander多項(xiàng)式的誤差估計(jì)55-61
• 3.3 Reidemeister torsion61-64
• 3.3.1 鏈復(fù)形的Reidemeister torsion61-62
• 3.3.2 Torsion與Alexander多項(xiàng)式62-63
• 3.3.3 對偶與相交形式63-64
• 3.4 超曲面補(bǔ)空間的邊界流形64-67
• 3.5 Reidemeister torsion與Alexander多項(xiàng)式67-72
• 第四章 超曲面補(bǔ)空間的Alexander Varieties與CharacteristicVarieties72-108
• 4.1 Alexander varieties與Characteristic varieties72-78
• 4.1.1 基本代數(shù)符號72-73
• 4.1.2 Alexander varieties73-75
• 4.1.3 Homology Alexander varieties與cohomology Alexander varieties的關(guān)系75-77
• 4.1.4 Characteristic varieties77-78
• 4.2 Sabbah Specialization complex與局部Alexander模78-83
• 4.2.1 超曲面補(bǔ)空間的Alexander模78-79
• 4.2.2 Sabbah specialization complex79-80
• 4.2.3 局部Alexander模80-83
• 4.3 橫截相交假設(shè)下的可除性定理83-87
• 4.3.1 Residue complex83-84
• 4.3.2 Alexander varieties與characteristic varieties上的可除性定理84-87
• 4.4 更一般的情況87-96
• 4.4.1 一般情況下的可除性定理88-93
• 4.4.2 homology Alexander polynomial的消滅定理93-95
• 4.4.3 超平面配置95-96
• 4.5 Dwyer-Fried covers與經(jīng)典Alexander模96-100
• 4.5.1 Dwyer-Fried sets96-97
• 4.5.2 經(jīng)典Alexander模97-100
• 4.6 Resonance varieties,straightness100-108
• 4.6.1 Tangent cone inclusion與locally straight space101-103
• 4.6.2 Resonance varieties的可除性定理103-105
• 4.6.3 超平面配置的一個(gè)特殊情況105-108
• 參考文獻(xiàn)108-112
• 致謝112-114
• 在讀期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文與取得的其他研究成果114

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本文編號：750732