本文關(guān)鍵詞：帶導(dǎo)數(shù)的非線性Schrodinger方程的擬周期解

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【摘要】：本文主要研究非線性Schrodinger方程.它在量子力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.自無窮維KAM理論產(chǎn)生以來,作為一個Hamilton系統(tǒng),人們漸漸開始利用KAM理論研究非線性Schrodinger方程有限維不變環(huán)面(對應(yīng)于擬周期解)以及無窮維不變環(huán)面(對應(yīng)于概周期解)的存在性.對于可積Hamilton系統(tǒng)而言,它的動力學(xué)行為是清楚明了的.然而,現(xiàn)實(shí)中可積系統(tǒng)少之又少,更多的是近可積系統(tǒng).近可積Hamilton系統(tǒng)的動力學(xué)行為問題被Poincare稱為“動力學(xué)基本問題”.上世紀(jì)五六十年代,三位國際著名數(shù)學(xué)家A.N. Kolmogorov[64], V.I. Arnold[1]和J.K. Moser[93]建立了經(jīng)典KAM理論.因其重要的應(yīng)用價值,KAM理論被視作20世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)成就之一.八十年代末九十年代初S.B. Kuksin[66][67][68][69], W. Craig和C.E. Wayne[29] [30]將有限維KAM理論推廣應(yīng)用至Hamilton型偏微分方程,發(fā)展出無窮維KAM理論.后來J. Poschel[105]重新整理加以描述成一個容易理解的無窮維KAM定理,并成功將其應(yīng)用于Dirichlet邊界條件下的非線性Schrodinger方程[70]和非線性波動方程[106].同時J. Bourgain[19][20]又將這一想法推廣至一般的Hamilton偏微分方程.鑒于以上均在有界擾動情形下討論,Poschel [59]通過引入廣義正規(guī)形并利用Kuksin[71]求解變系數(shù)同調(diào)方程的引理,將有界擾動情形下的無窮維KAM定理推廣至無界擾動的情形.然而仍有一大批重要的偏微分方程不能適用上面的定理,例如帶導(dǎo)數(shù)的非線性波動方程,帶導(dǎo)數(shù)的非線性Schrodinger方程等.最近,劉建軍和袁小平[80]通過修改Kuksin的引理,得到了臨界情形下的KAM定理(見[81]).進(jìn)而劉建軍和袁小平[81][82],張靜,高美娜和袁小平[132]分別研究了幾類帶導(dǎo)數(shù)的非線性Schrodinger方程.這些方程中既有Hamilton系統(tǒng)也有反轉(zhuǎn)系統(tǒng).與Dirichlet邊界條件不同,在周期邊界條件下由于重特征值的出現(xiàn),前面Poschel的KAM定理失效Chierchia和尤建功[27]最早用KAM方法解決了非線性波動方程在周期邊界條件下擬周期解的存在性問題.事實(shí)上在他們的結(jié)果出現(xiàn)之前,Craig和Wayne[39]已經(jīng)利用推廣的Lyapunov-Schmidt分解和Frohlich, Spence技巧,證明了周期解的存在性.這種由Craig和Wayne29][30]發(fā)展并由Bourgain[15][18][19]改進(jìn)的方法稱為C-W-B方法.對于高維Hamilton偏微分方程,難度較大,進(jìn)展也比較緩慢.最早Bourgain[18]研究了二維Schrodinger方程的小振幅擬周期解.這方面的主要進(jìn)展參見Bour-gain耿建生和尤建功[43]Eliasson和Kuksin[33],耿建生,徐新東和尤建功[46],耿建生和尤建功[49],Eliasson, Grebert和Kuksin [34][35]等.在實(shí)際應(yīng)用中,有三類著名的帶導(dǎo)數(shù)的非線性Schrodinger方程：方程),方程),方程).2012年耿建生與吳健[48]在周期邊界條件下研究了帶導(dǎo)數(shù)的非線性Schrodinger方程并得到了具有2個頻率的實(shí)解析擬周期解.同時劉建軍和袁小平[82]在周期邊界條件下研究了并得到了具有N個頻率的光滑擬周期解.需要說明的是,因采取了兩種完全不同的策略.以上兩個結(jié)果才會有差別.耿建生與吳健通過引入“緊性形式”和“不變性質(zhì)”.將變系數(shù)的同調(diào)方程變?yōu)槌Ｏ禂?shù),然后利用KAM迭代得到了實(shí)解析的擬周期解.而劉建軍和袁小平利用修改的求解變系數(shù)同調(diào)方程的引理并同時假設(shè)擾動滿足特殊形式,通過KAM迭代得到了光滑的擬周期解.特別需要指出的是,由于“緊性形式”和“不變性質(zhì)”的限制使得耿建生與吳健所得擬周期解的頻率僅為兩個,而劉建軍和袁小平的結(jié)果允許頻率的個數(shù)是任意整數(shù).本文首先利用耿建生與吳健[48]的方法在周期邊界條件下研究了第二類帶導(dǎo)數(shù)的非線性Schrodinger方程Chen-Liu-Lee方程通過利用“緊性形式”和“不變性質(zhì)”我們得到了具有兩個頻率的實(shí)解析擬周期解.當(dāng)擾動項(xiàng)具有擬周期強(qiáng)迫時,相應(yīng)的系統(tǒng)是非自治系統(tǒng).對于具有周期強(qiáng)迫的完全共振波動方程的周期解首先由Rabinowitz利用整體變分方法和Lyapunov-Schmidt分解得到.后來Berti和Procesi[11]將Lyapunov-Schmidt分解和Nash-Moser迭代結(jié)合起來研究了帶周期強(qiáng)迫的完全共振波動方程具有兩個頻率的擬周期解的存在性.再后來焦蕾和王奕倩[54]用Birkhoff標(biāo)準(zhǔn)形和KAM迭代方法證明了擬周期強(qiáng)迫下的非線性Schrodinger方程擬周期解的存在性.近些年,張敏和司建國[133],司建國[118]分別研究了具有擬周期強(qiáng)迫的非線性波動方程在Dirichlet邊界條件下和周期邊界條件下擬周期解的存在性.王怡和司建國[119],芮杰和司建國[109]分別研究了具有擬周期強(qiáng)迫的非線性梁方程和非線性Schrodinger方程擬周期解的存在性.需要注意的是以上討論均是在有界擾動的情形下.當(dāng)擾動無界時,特別是臨界情形,即使對于自治系統(tǒng)也是比較困難的.當(dāng)擾動是具有擬周期強(qiáng)迫的無界擾動時,這方面的結(jié)果非常少.弭魯芳與張康康[89]利用KAM方法研究了具有擬周期擾動的Benjamin-Ono方程,Baldi, Berti和Montalto[7]將Nash-Moser迭代和KAM迭代結(jié)合起來研究了具有擬線性擾動的線性Airy方程.利用同樣的方法,R. Feola和M. Procesi[39]研究了完全非線性反轉(zhuǎn)Schrodinger方程.論文中作者研究了具有擬周期強(qiáng)迫的帶導(dǎo)數(shù)的非線性Schrodinger方程在滿足周期邊界條件的不變環(huán)面的存在性.這里B為正常數(shù),g是實(shí)解析函數(shù),關(guān)于時間變量t擬周期,頻率向量為β=(β1,β2,…,βm).我們的方法基于Birkhoff正規(guī)形理論和KAM迭代.需要說明的是,在周期邊界條件下,由于特征值是二重的,因此不能使用Poschel[59]關(guān)于無界擾動的無窮維KAM定理.我們沿著劉建軍和袁小平[81][82]的思路,考慮廣義正規(guī)形,同時還假設(shè)擾動滿足類似的特殊形式：擾動項(xiàng)P(φ,q,q)僅包含單項(xiàng)式這里然后利用求解變系數(shù)同調(diào)方程的引理,證明了不變環(huán)面的存在性.論文中我們分別在兩種情形下討論了該問題：(1)β為任意實(shí)數(shù)向量；(2)β與指定頻率β“共線”(co-linear)即β=入β∈Rm,λ∈[1/2,3/2].對于第一種情形我們利用修改的滿足特殊形式的劉建軍和袁小平[82]的KAM定理得到了具有任意正整數(shù)個頻率的光滑擬周期解.而對于第二種情形,由于強(qiáng)迫項(xiàng)的頻率是“固定”的,我們沒有足夠多的參數(shù),因此文獻(xiàn)[81][82]中關(guān)于參數(shù)集測度估計(jì)的方法并不適用.通過采用不同的測度估計(jì)方法,我們得到了具有任意正整數(shù)個頻率的光滑擬周期解.本論文共分為五章,主要內(nèi)容如下：第一章我們給出Hamilton系統(tǒng)和KAM理論的相關(guān)知識.這一章又包括以下四節(jié).第一節(jié)介紹有限維Hamilton系統(tǒng)理論,包含Hamilton向量場及變換理論,可積Hamilton系統(tǒng)和Birkhoff正規(guī)形.第二節(jié)主要介紹經(jīng)典KAM理論.第三節(jié)簡單介紹了Hamilton系統(tǒng)擾動理論的三個主要研究方向：經(jīng)典穩(wěn)定性(Classical stability),幾何穩(wěn)定性(Geometric stability)和不穩(wěn)定性(Instability).最后一節(jié)詳細(xì)敘述了無窮維KAM理論及其應(yīng)用于Hamilton型偏微分方程的研究現(xiàn)狀,特別是非線性波動方程和非線性Schrodinger方程.第二章我們羅列了一些在KAM理論應(yīng)用中常用的定義與結(jié)論,如擬周期函數(shù).實(shí)解析函數(shù)Cauchy估計(jì)等等.第三章我們利用耿建生與吳健[48]方法在周期邊界條件下研究了Chen-Liu-Lee方程利用“緊性形式”和“不變性質(zhì)”我們得到了具有兩個頻率的實(shí)解析擬周期解.第四章與第五章研究了具有擬周期強(qiáng)迫的帶導(dǎo)數(shù)的非線性Schrodinger方程在周期邊界條件下不變環(huán)面的存在性.第四章在β為任意實(shí)數(shù)向量的情形下討論該問題.而第五章在β與指定頻率β“共線”的情形下討論該問題.
【關(guān)鍵詞】：無窮維Hamilton系統(tǒng) KAM理論 帶導(dǎo)數(shù)的非線性Schr(o|")dinger方程 擬周期解 不變環(huán)面
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O175
【目錄】：

• 中文摘要8-12
• 英文摘要12-17
• 符號說明17-18
• 第一章 Hamilton系統(tǒng)與KAM理論18-50
• §1.1 Hamilton系統(tǒng)18-28
• §1.1.1 Hamilton系統(tǒng)及變換理論18-24
• §1.1.2 可積Hamilton系統(tǒng)24-27
• §1.1.3 Birkhoff正規(guī)形27-28
• §1.2 經(jīng)典KAM理論28-32
• §1.3 Hamilton系統(tǒng)擾動理論32-34
• §1.3.1 Nekhoroshev理論32-33
• §1.3.2 Aubry-Mather理論33
• §1.3.3 Arnold擴(kuò)散33-34
• §1.4 無窮維Hamilton系統(tǒng)的KAM理論34-50
• §1.4.1 有限維Hamilton系統(tǒng)低維環(huán)面的存在性34-36
• §1.4.2 無窮維KAM理論36-40
• §1.4.3 Hamilton型偏微分方程的研究現(xiàn)狀40-50
• 第二章 預(yù)備知識50-54
• §2.1 擬周期函數(shù)與實(shí)解析函數(shù)50-51
• §2.2 技術(shù)性引理51-54
• 第三章 帶導(dǎo)數(shù)的非線性Schrodinger方程的擬周期解和周期解54-88
• §3.1 預(yù)備知識55-57
• §3.2 Hamilton形式與部分Birkhoff正規(guī)形57-65
• §3.3 一些條件65-69
• §3.4 KAM迭代69-84
• §3.5 帶導(dǎo)數(shù)的非線性Schrodinger方程的周期解84-88
• 第四章 具有擬周期強(qiáng)迫的帶導(dǎo)數(shù)非線性Schrodinger方程的不變環(huán)面(一)88-116
• §4.1 預(yù)備知識89-90
• §4.2 Hamilton形式與部分Birkhoff正規(guī)形90-101
• §4.3 抽象的無窮維KAM定理101-104
• §4.4 定理3.1的證明104-109
• §4.5 定理1.1的證明109-113
• §4.6 附錄113-116
• 第五章 具有擬周期強(qiáng)迫的帶導(dǎo)數(shù)非線性Schrodinger方程的不變環(huán)面(二)116-150
• §5.1 Hamilton形式與部分Birkhoff正規(guī)形117-120
• §5.2 一些性質(zhì)120-123
• §5.3 KAM迭代123-139
• §5.4 迭代引理及收斂性139-150
• 參考文獻(xiàn)150-162
• 致謝162-164
• 讀博期間發(fā)表和完成的論文164-165
• 學(xué)位論文評閱及答辯情況表165

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