本文關(guān)鍵詞：最優(yōu)控制問題的低階非協(xié)調(diào)有限元方法研究

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【摘要】：本論文主要研究橢圓型、Stokes型和拋物型等一類偏微分方程最優(yōu)控制問題的非協(xié)調(diào)有限元及混合元逼近方法.最優(yōu)控制問題在許多工程領域中有著廣泛應用,比如大氣污染控制、溫度控制、石油開采、圖像處理等領域.由于很多最優(yōu)控制問題的計算規(guī)模十分巨大,對于求解速度的要求很高,所以研究其高精度數(shù)值算法就顯得尤為重要,實際上,非協(xié)調(diào)元在大規(guī)模并行計算中具有明顯優(yōu)勢.而最優(yōu)控制問題的解一般具有較低的正則性,因此應首選低階元來逼近相關(guān)變量.論文借助低階非協(xié)調(diào)元的一些特殊性質(zhì),如插值算子與Rieze投影等價,以及相容誤差比插值誤差高一階等,通過一系列新的技巧和方法,導出了相關(guān)變量的最優(yōu)誤差估計結(jié)果或超逼近性質(zhì),并在超逼近性質(zhì)的基礎上,采用插值后處理技術(shù)得到了整體超收斂的結(jié)果.另外,最后兩章還分別討論了界面問題和對流占優(yōu)擴散問題的非協(xié)調(diào)有限元方法和特征有限元方法.同時,通過一些數(shù)值算例驗證其理論分析的正確性.本論文的研究為最優(yōu)控制問題的數(shù)值計算提供了一些新的途徑,對于拓寬非協(xié)調(diào)有限元方法的應用范圍有著重要的理論研究意義和應用價值.全文共有如下八章組成:第一章引言,敘述了最優(yōu)控制問題數(shù)值方法的研究現(xiàn)狀及背景,并介紹了本文常用的一些記號和相關(guān)基本知識,最后給出本文的結(jié)構(gòu)安排.第二章介紹了橢圓型最優(yōu)控制問題的高精度非協(xié)調(diào)EQrot限元逼近方法,對狀態(tài)變量、伴隨狀態(tài)變量及控制變量均得到了超逼近性質(zhì),采用插值后處理技術(shù)得到了狀態(tài)變量和伴隨狀態(tài)變量在能量模意義下的整體超收斂結(jié)果,給出的數(shù)值試驗驗證了理論分析的正確性,并將該方法推廣到了其他一些著名的非協(xié)調(diào)元情形.該部分內(nèi)容發(fā)表于SCI期刊《Applied Mathematics and Computation》上.第三章研究的是一個橢圓型最優(yōu)控制問題,由于該問題的目標函數(shù)中出現(xiàn)了伴隨狀態(tài)變量,于是構(gòu)造了一個混合有限元格式,對伴隨狀態(tài)變量采用一對非協(xié)調(diào)元逼近,對狀態(tài)變量和控制變量采用分片常數(shù)單元逼近,該匹配方式恰好滿足混合元所必須的LBB條件,并利用該非協(xié)調(diào)元的特殊性質(zhì)得到了最優(yōu)誤差估計結(jié)果,給出的數(shù)值試驗驗證了該格式是有效可行的.該部分內(nèi)容發(fā)表于SCI期刊《Computers and Mathematics with Applications》上.第四章針對Stokes最優(yōu)控制問題,構(gòu)造了一個非協(xié)調(diào)EQrot匹配分片常數(shù)單元的混合有限元方法,該格式也滿足所謂的LBB條件,最后得到了最優(yōu)誤差估計結(jié)果.第五章研究的是一個非光滑橢圓最優(yōu)控制問題的非協(xié)調(diào)有限元方法,首先進行了該非光滑橢圓問題的非協(xié)調(diào)有限元誤差分析,得到了最優(yōu)誤差估計和整體超收斂結(jié)果.由于非光滑問題的解經(jīng)常不唯一,討論相關(guān)變量數(shù)值解與精確解之間的誤差估計已經(jīng)沒有意義,于是考慮給出了一種面向目標函數(shù)的誤差估計,這也說明了有限元數(shù)值解與某一精確解確實存在一定的逼近關(guān)系.該部分內(nèi)容已投稿到SCI期刊《Acta Mathematicae Applicatae Sinica》上.第六章研究的是拋物型最優(yōu)控制問題的非協(xié)調(diào)有限元方法,對時間變量采用差分離散,對控制變量采用分片常數(shù)空間逼近,得到了超逼近和負模估計結(jié)果,對狀態(tài)變量及伴隨狀態(tài)變量采用非協(xié)調(diào)EQrot逼近,得到了能量模意義下的超逼近和超收斂結(jié)果.第七章對橢圓型和拋物型的界面問題,采用最低階的P1三角形非協(xié)調(diào)元逼近,利用該單元僅包含一次多項式的性質(zhì),克服了界面附近單元誤差估計的困難,得到了最優(yōu)誤差估計結(jié)果,并給出了兩個數(shù)值算例驗證了理論分析的正確性.該部分內(nèi)容發(fā)表在SCI期刊《Applied Mathematics and Mechanics》上.第八章研究了一個對流占優(yōu)擴散傳輸問題的非協(xié)調(diào)特征有限元方法,采用一種新的誤差估計方法,在能量模意義下得到了整體超逼近和超收斂結(jié)果,補充和改進了文獻[86]和[87]的誤差估計結(jié)果,最后給出的數(shù)值算例也是與理論分析想吻合的.該部分內(nèi)容發(fā)表在SCI期刊《Mathematical Methods in the Applied Sciences》上.
【關(guān)鍵詞】：最優(yōu)控制問題 低階非協(xié)調(diào)有限元 最優(yōu)階誤差估計 超逼近 超收斂
【學位授予單位】：鄭州大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O241.82
【目錄】：

• 摘要4-6
• Abstract6-11
• 第一章 引言11-29
• §1.1 研究背景11-14
• §1.2 預備知識14-26
• §1.3 主要研究內(nèi)容及結(jié)構(gòu)安排26-29
• 第二章 橢圓最優(yōu)控制問題的高精度非協(xié)調(diào)有限元方法29-43
• §2.1 離散形式和一些引理30-31
• §2.2 控制變量u的超逼近結(jié)果31-34
• §2.3 狀態(tài)變量y和伴隨狀態(tài)變量p的整體超收斂分析34-36
• §2.4 數(shù)值試驗36-40
• §2.5 結(jié)論的推廣與應用40-43
• 第三章 橢圓最優(yōu)控制問題的非協(xié)調(diào)混合有限元方法43-57
• §3.1 混合離散形式和一些引理44-47
• §3.2 最優(yōu)誤差估計47-52
• §3.3 數(shù)值試驗52-57
• 第四章 Stokes最優(yōu)控制問題的高精度非協(xié)調(diào)混合有限元方法57-65
• §4.1 混合離散形式和一些引理57-60
• §4.2 超逼近和超收斂分析60-65
• 第五章 一個非光滑橢圓最優(yōu)控制問題的非協(xié)調(diào)有限元方法65-75
• §5.1 非光滑橢圓問題的非協(xié)調(diào)有限元分析66-70
• §5.2 面向目標函數(shù)的誤差分析70-75
• 第六章 拋物型最優(yōu)控制問題的高精度非協(xié)調(diào)有限元方法75-87
• §6.1 最優(yōu)性條件及全離散格式75-77
• §6.2 控制變量u的超逼近結(jié)果77-83
• §6.3 狀態(tài)變量y和伴隨狀態(tài)變量p的整體超收斂分析83-87
• 第七章 界面問題的P1-非協(xié)調(diào)三角形元逼近87-101
• §7.1 橢圓界面問題及誤差估計88-93
• §7.2 拋物界面問題及誤差估計93-95
• §7.3 數(shù)值試驗95-101
• 第八章 對流占優(yōu)擴散問題的高精度非協(xié)調(diào)特征有限元方法101-109
• §8.1 特征有限元方法的全離散格式102-103
• §8.2 整體超逼近和超收斂性質(zhì)分析103-105
• §8.3 數(shù)值試驗105-109
• 總結(jié)與展望109-111
• 參考文獻111-121
• 個人簡歷、在學期間發(fā)表的學術(shù)論文與研究成果121-123
• 致謝123-12

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本文編號：586908