本文關(guān)鍵詞：希爾伯特的積分方程理論

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【摘要】：積分方程是一種重要的數(shù)學(xué)工具,它與數(shù)學(xué)中的許多分支之間有密切的聯(lián)系,也有著非常廣泛的應(yīng)用。本文通過(guò)歷史分析和文獻(xiàn)考證的方法,以“為什么數(shù)學(xué)”為指導(dǎo),在研讀相關(guān)原始文獻(xiàn)和研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,對(duì)希爾伯特的積分方程工作進(jìn)行了較為深入細(xì)致的研究,挖掘了蘊(yùn)含在希爾伯特積分方程工作中的深刻思想,著重探究了希爾伯特與其追隨者們之間的思想傳承。取得的主要成果如下：1.對(duì)弗雷德霍姆的積分方程理論進(jìn)行了較為深入細(xì)致的研究,分析了弗雷德霍姆積分方程思想的來(lái)源,梳理了無(wú)窮維線性方程組的歷史發(fā)展,考察了弗雷德霍姆建立其積分方程理論的視角和過(guò)程。2.詳細(xì)研究了希爾伯特建立對(duì)稱核積分方程的特征值理論的工作,梳理出了他建立該理論的思路,指出了他的理論所關(guān)注的問(wèn)題,分析了他成功建立其理論的關(guān)鍵是廣義主軸定理,考察了他建立這個(gè)定理的思路和過(guò)程,論述了這個(gè)定理在證明存在性問(wèn)題和建立函數(shù)的展開(kāi)定理方面的重要作用,并闡述他的工作中萌芽的希爾伯特空間的思想。3.深入細(xì)致地探討了希爾伯特用無(wú)窮二次型語(yǔ)言建立的譜理論,也對(duì)譜理論在積分方程上的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的考察。分析了希爾伯特建立譜理論的思路和目的,指出了他如何對(duì)無(wú)窮二次型定義點(diǎn)譜和連續(xù)譜,又如何對(duì)有界無(wú)窮二次型建立譜分解,也指出了他引入的全連續(xù)概念的重要性。通過(guò)對(duì)譜理論在積分方程上的應(yīng)用的研究分析,闡述了希爾伯特工作中蘊(yùn)含的空間思想和算子理論的思想。4.詳細(xì)考察了希爾伯特的追隨者們?cè)诰唧w希爾伯特空間方面所做的貢獻(xiàn)。對(duì)施密特早期簡(jiǎn)化希爾伯特建立其特征值理論的工作進(jìn)行了詳細(xì)的考察和分析,指出他的工作向希爾伯特空間邁近了一步。也對(duì)他建立希爾伯特序列空間并對(duì)該空間引入幾何語(yǔ)言的工作進(jìn)行了詳細(xì)考察。對(duì)里斯運(yùn)用勒貝格積分推廣希爾伯特的工作時(shí)建立的里斯——費(fèi)舍爾定理的相關(guān)工作進(jìn)行了分析研究,有助于更好地理解其后來(lái)的工作。5.考察了希爾伯特的工作在抽象空間理論建立過(guò)程中產(chǎn)生的重大影響。里斯仿照勒貝格平方可積函數(shù)空間發(fā)現(xiàn)了具體的巴拿赫空間,隨后他又引入范數(shù)代替內(nèi)積來(lái)研究函數(shù)空間,給出了范數(shù)所要滿足的三條公理,并且以希爾伯特的全連續(xù)概念為基礎(chǔ)在具體空間上建立了緊算子理論。巴拿赫為了將積分方程理論一般化在完全抽象的環(huán)境中來(lái)建立了巴拿赫空間理論。應(yīng)量子力學(xué)發(fā)展的需要和數(shù)學(xué)向著抽象性發(fā)展的趨勢(shì),馮.諾依曼用抽象語(yǔ)言重新表述和發(fā)展希爾伯特的理論的過(guò)程中建立了抽象希爾伯特空間理論。
【關(guān)鍵詞】：希爾伯特 積分方程 希爾伯特空間 巴拿赫空間
【學(xué)位授予單位】：西北大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175.5
【目錄】：

• 摘要3-5
• Abstract5-9
• 引言9-17
• 第一章 弗雷德霍姆的積分方程理論17-39
• 1.1. 弗雷德霍姆積分方程思想的來(lái)源18-28
• 1.1.1. 沃爾泰拉的啟發(fā)19-21
• 1.1.2. 得益于科克的成果21-28
• 1.2. 弗雷德霍姆的積分方程理論28-36
• 1.2.1. 定義“系數(shù)行列式”30-31
• 1.2.2. 討論“系數(shù)矩陣的秩”31-33
• 1.2.3. 分兩種情形處理方程33-36
• 1.3. 小結(jié)36-39
• 第二章 希爾伯特對(duì)積分方程的早期探索39-63
• 2.1. 希爾伯特的代數(shù)問(wèn)題40-46
• 2.2. 定義特征值、特征函數(shù)46-50
• 2.3. 希爾伯特的特征值理論50-59
• 2.3.1. 建立廣義主軸定理50-54
• 2.3.2. 證明存在性問(wèn)題54-57
• 2.3.3. 建立函數(shù)的展開(kāi)定理57-59
• 2.4. 微分方程上的應(yīng)用59-63
• 第三章 希爾伯特的一般理論63-84
• 3.1. 希爾伯特的譜理論63-75
• 3.1.1. 有限維的情形64-67
• 3.1.2. 定義點(diǎn)譜、連續(xù)譜67-71
• 3.1.3. 有界無(wú)窮二次型的譜分解71-73
• 3.1.4. 全連續(xù)概念的引入73-75
• 3.2. 譜理論在積分方程上的應(yīng)用75-81
• 3.3. 小結(jié)81-84
• 第四章 希爾伯特空間的誕生84-105
• 4.1. 希爾伯特序列空間的建立84-96
• 4.1.1. 施密特的早期工作85-92
• 4.1.2. 希爾伯特序列空間的誕生92-96
• 4.2. 里斯—費(fèi)舍爾定理的建立96-103
• 4.2.1. 勒貝格積分的建立96-98
• 4.2.2. 里斯的相關(guān)工作98-100
• 4.2.3. 費(fèi)舍爾的相關(guān)工作100-103
• 4.3. 小結(jié)103-105
• 第五章 抽象空間理論的建立105-137
• 5.1. L~p空間的發(fā)現(xiàn)106-113
• 5.2. 緊算子理論的建立113-116
• 5.2.1. 范數(shù)的引入113-114
• 5.2.2. 緊算子的定義114-115
• 5.2.3. 緊算子理論的建立115-116
• 5.3. 巴拿赫空間理論的開(kāi)始116-125
• 5.4. 抽象希爾伯特空間理論的開(kāi)始125-137
• 5.4.1. 抽象希爾伯特空間的定義125-130
• 5.4.2. 抽象希爾伯特空間上的算子130-137
• 結(jié)語(yǔ)137-139
• 參考文獻(xiàn)139-147
• 攻讀博士學(xué)位期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文和參加的學(xué)術(shù)活動(dòng)147-148
• 致謝148

【參考文獻(xiàn)】

中國(guó)期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù) 前2條

1 李亞亞;王昌;;希爾伯特空間誕生探源[J];自然辯證法研究;2013年12期

2 李亞亞;王昌;;緊算子理論成因探析[J];自然辯證法研究;2014年12期

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本文編號(hào)：563820