本文關(guān)鍵詞：可積系統(tǒng)理論在仿射球面構(gòu)造中的應(yīng)用研究，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：本文主要利用可積系統(tǒng)的方法,研究經(jīng)典仿射微分幾何中仿射球面及其構(gòu)造理論。盡管仿射球面完備性以及分類都有比較完整的結(jié)果,但是人們對于非平凡的定仿射球面顯式表達(dá)式及其圖像還知之甚少。近年來,Loftin-Yau-Zaslow關(guān)于SYZ鏡像對稱猜想的重要工作表明需要利用滿足特殊條件的定仿射球面的顯式表達(dá)式,來具體構(gòu)造鏡像對稱結(jié)構(gòu),但如何顯式地構(gòu)造出這樣的定仿射球面依然是一個公開的問題。利用定仿射球面的可積系統(tǒng)結(jié)構(gòu),我們可以將構(gòu)造新仿射球面的過程看作環(huán)群的作用。我們通過構(gòu)造出環(huán)群簡單元,并證明相應(yīng)的環(huán)群分解定理,進(jìn)而給出新的定仿射球面顯式的表達(dá)式,并利用得到的表達(dá)式構(gòu)造具體定仿射球面的例子。此外,我們還進(jìn)一步分析完善了Hildebrand的完備雙曲仿射球面,具體地計算了其完全顯式的表達(dá)式和可積系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。本文主要的內(nèi)容有：在第一、二章我們介紹了仿射球面研究的發(fā)展歷史和相關(guān)的研究現(xiàn)狀,并簡要介紹了本文的主要工作。此外,我們還回顧了仿射微分幾何的基本概念以及半齊次錐的分類。在第三章中,我們首先總結(jié)了三維歐氏空間中雙曲型和橢圓型兩種定仿射球面的環(huán)群表達(dá)式,然后構(gòu)造出兩類滿足實化條件的扭環(huán)群有理元,分別含三個單極點和六個單極點。對于這兩種有理元,我們先分別證明了相應(yīng)的Iwasawa型的環(huán)群分解定理,并用它給出雙曲型和橢圓型仿射球面的dressing作用,得到了類似經(jīng)典Tzitzeica變換的變換公式。最后利用得到的理論,我們具體地構(gòu)造了一些新的仿射球面的例子,并畫出圖像。通過分析結(jié)論,我們也了解到在更多情況下,全局的定仿射球面是以雙曲型和橢圓型混合交替的形式出現(xiàn)的。相關(guān)的結(jié)果在Asian J. Math上得到發(fā)表。在第四章中,我們通過解Beltrami方程,得到一個統(tǒng)一的變換公式,將Hildebrand的結(jié)論等溫參數(shù)化。在等溫參數(shù)化下,我們利用維爾斯特拉斯()函數(shù),ζ函數(shù)和σ函數(shù)給出了Hildebrand的例子完全顯式的表達(dá)式,并得到仿射度量和仿射3-形式的最簡表示。最后,利用可積系統(tǒng)的特性,通過解標(biāo)架方程,得到了Hildebrand的例子對應(yīng)的關(guān)聯(lián)仿射球面族。作為應(yīng)用,通過分析仿射球面族,我們了解到一般情況下,R3中任意的正則凸錐總會有一個自然的凸錐S1-族,這個結(jié)果為將來我們進(jìn)一步研究凸幾何中的可積系統(tǒng)結(jié)構(gòu)提供了依據(jù)。相關(guān)的結(jié)果在Acta Math. Sci. Ser. B Engl.Ed上得到發(fā)表。
【關(guān)鍵詞】：仿射球面 dressing作用 等溫參數(shù)化 Tzitzeica方程 半齊次錐
【學(xué)位授予單位】：中國科學(xué)院研究生院(武漢物理與數(shù)學(xué)研究所)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O175.5
【目錄】：

• 致謝4-5
• 摘要5-6
• Abstract6-9
• 1 引言9-17
• 1.1 背景介紹9-11
• 1.2 問題的提出11
• 1.3 論文的主要內(nèi)容11-17
• 2 預(yù)備知識17-21
• 2.1 仿射微分幾何基本定理以及仿射球面17-19
• 2.2 半齊次錐的分類19-21
• 3 恰當(dāng)定仿射球面的dressing作用21-47
• 3.1 定仿射球面的環(huán)群描述21-25
• 3.2 Λ_I~(σ,Τ)GL(3,C)中的簡單元25-34
• 3.3 簡單元的dressing作用34-39
• 3.4 基本例子39-47
• 4 半齊次錐對應(yīng)的完備雙曲仿射球面族47-59
• 4.1 仿射球面的等溫參數(shù)化47-54
• 4.2 仿射球面族54-57
• 4.3 結(jié)論的應(yīng)用57-59
• 5 擬進(jìn)一步研究的問題59-61
• 參考文獻(xiàn)61-65
• 作者簡歷65
• 攻讀博士學(xué)位期間發(fā)表的科研成果65-67
• 學(xué)位論文數(shù)據(jù)集67

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  本文關(guān)鍵詞：可積系統(tǒng)理論在仿射球面構(gòu)造中的應(yīng)用研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號：380215