自然界和人類社會很多現(xiàn)象都可以用發(fā)展型偏微分方程來描述,例如描述流體湍流現(xiàn)象的Navier-Stokes方程,用于研究股票價格變化的Black-Scholes方程等.研究這些發(fā)展型偏微分方程不僅能為我們認識和理解各種自然和社會現(xiàn)象提供理論基礎,而且也為我們利用和控制這些自然和社會現(xiàn)象的演化提供有效的手段和工具.本博士學位論文研究了幾類發(fā)展型偏微分方程的長時間行為,主要考慮了幾類方程全局吸引子的存在性,解的爆破,隨機吸引子的存在性等. 第一章,介紹了本文所研究的幾類發(fā)展型偏微分方程的演變歷史和研究進程,回顧了無窮維動力系統(tǒng)吸引子的基本概念和刻畫吸引子的基本方法,并簡要說明了解的爆破現(xiàn)象,最后介紹了本文研究的主要內(nèi)容和文中常用的函數(shù)空間以及一些重要的不等式. 第二章,研究了在實軸R上定義的阻尼BBM方程全局吸引子的存在性,得到了全局吸引子在空間H1(R)∩W1,p(R)中的存在性,并且證明全局吸引子在空間H2(R)∩W2,p(R)中的有界性.由于我們考慮的問題定義在全空間上,此時Sobolev緊嵌入定理不成立,我們采用截尾估計的辦法證明了阻尼BBM方程的Cauchy問題的解半群是ω-極限緊的,然后我們使用高低頻分解等調(diào)和分析技巧,證明Cauchy問題的解的低頻部分趨向于零,而高頻部分則有更高的正則性,最后聯(lián)合截尾估計和漸近正則性得到阻尼BBM方程的Cauchy問題吸引子的存在性. 第三章,研究了實軸R上分數(shù)階弱耗散KdV方程的Cauchy問題(H2(R),H5(R))全局吸引子的存在性.相比較于經(jīng)典的KdV方程,本章所研究的方程多出了一個耗散項,但其耗散性又比KdV-Burgers方程弱.因此,解決弱耗散KdV方程的Cauchy問題的全局吸引子的存在性問題要克服幾個困難.首先,由于分數(shù)階Laplace算子是非局部算子,故處理耗散項Λ2αu時會帶來一定困難；另外,由于方程定義在整個實軸R上,Solobev緊嵌入定理不再成立,必須證明解的漸近緊性而取代通常證明緊性的方法,我們通過建立截尾估計得到解半群在H2(R)中相對緊,得到(H2(R),H2(R))吸引子的存在性,然后借助于ut的Holder連續(xù)性得到解半群在H5(R)中的漸近緊性.借助于KdV方程的守恒律,解半群光滑效應和交換子估計,通過迭代得到解H5(R)有界,從而得到(H2(R),H5(R))全局吸引子的存在性,這個結果對于方程來說是最佳的,這是因為解的正則性比外力項高三階. 第四章,研究了一類廣義Camassa.Holm方程Cauchy問題強解的爆破準則,借助于方程的爆破準則,給出該方程的解在有限時刻爆破的一個充分條件,并對爆破時間進行了估計,最后給出該方程Cauchy問題強解全局存在的一個充分條件.與現(xiàn)有文獻相比較,我們主要克服了兩方面的困難.一是方程中的高階非線性耗散項ukuxxx,(k+1)uk-1uxuxx和對流項(k+2)ukuk的非線性作用;二是非線性項uk-2(t,x)的符號不確定,而在經(jīng)典的Camassa-Holm方程(k=1)和lNovikov方程(k=2)中是沒有該非線性項uk-2(t,x)的. 第五章,研究了一類具有加性噪聲非自治反應擴散方程初邊值問題解的長時間行為,建立了H01隨機吸引子的存在性準則.針對方程中非線性項的增長階是任意的,并且不能得到解的更高階正則性,而方程又是非自治方程,我們通過建立解的一些新的估計來證明初邊值問題的解滿足C-條件,從而證明相應動力系統(tǒng)是ω-極限緊的,最后得到隨機反應擴散方程隨機吸引子的存在性.
【學位單位】：華中科技大學
【學位級別】：博士
【學位年份】：2015
【中圖分類】：O175
【文章目錄】：
摘要
Abstract
1 緒論
    1.1 相關背景知識
    1.2 動力系統(tǒng)
    1.3 本文安排
    1.4 函數(shù)空間及相關不等式
2 BBM方程全局吸引子的高階正則性
    2.1 引言
1（R）n W^1,p（R）中的吸收集'>    2.2 H¹（R）n W^1,p（R）中的吸收集
    2.3 截尾估計
    2.4 漸近正則性估計
    2.5 吸引子的存在性
3 分數(shù)階弱耗散KdV方程的全局吸引子
    3.1 引言
    3.2 交換子估計
    3.3 吸收集的存在性
2（R）,H²（R））全局吸引子'>    3.4 （H²（R）,H²（R））全局吸引子
2（R）,H⁵（R））全局吸引子'>    3.5 （H²（R）,H⁵（R））全局吸引子
4 弱耗散廣義Camassa-Holm方程解的爆破
    4.1 引言
    4.2 預備定理
    4.3 解的爆破
5 隨機非自治反應擴散方程的隨機吸引子
    5.1 引言
    5.2 預備定理
    5.3 耗散性估計
    5.4 吸引子存在性
6 總結和展望
致謝
參考文獻
附錄1 攻讀博士期間發(fā)表的論文
附錄2 攻讀博士學位期間參與的科研項目

【相似文獻】

相關期刊論文 前10條

1 翟曼月;堵秀鳳;;半線性拋物型方程全局吸引子的極限偽軌跟蹤性[J];高師理科學刊;2009年06期

2 鄧晉宜,王向榮,周毓榮;關于全局吸引子與全局弱吸引子[J];山東礦業(yè)學院學報;1997年02期

3 馬巧珍,鐘承奎;非經(jīng)典反應擴散方程強解的全局吸引子(英文)[J];蘭州大學學報;2004年05期

4 馬巧珍;孫春友;鐘承奎;;非線性梁方程強全局吸引子的存在性[J];數(shù)學物理學報;2007年05期

5 王素萍;馬巧珍;;弱耗散耦合系統(tǒng)強全局吸引子的存在性[J];西北師范大學學報(自然科學版);2008年05期

6 陳雙全;周盛凡;李紅艷;;黏彈性和熱黏彈性方程的全局吸引子[J];應用數(shù)學與計算數(shù)學學報;2008年01期

7 陳小豹;馬巧珍;;非線性可拉伸梁方程強全局吸引子的存在性[J];西北師范大學學報(自然科學版);2008年06期

8 付宇;王小虎;鄧添予;;含時滯的耦合Fitz-Hugh-Nagumo系統(tǒng)的全局吸引子[J];四川理工學院學報(自然科學版);2009年03期

9 牟錄貴;張艷紅;;三維波方程全局吸引子的存在性[J];中央民族大學學報(自然科學版);2011年01期

10 張建文;李金峰;吳潤衡;;強阻尼非線性熱彈耦合桿系統(tǒng)的全局吸引子[J];物理學報;2011年07期

相關博士學位論文 前10條

1 郭延濤;幾類發(fā)展型偏微分方程解的長時間行為[D];華中科技大學;2015年

2 尹福其;隨機波動方程的隨機吸引子和兩類格點系統(tǒng)的全局吸引子[D];上海大學;2006年

3 岳高成;關于非線性反應擴散方程全局吸引子的整體與局部幾何拓撲結構的研究[D];蘭州大學;2010年

4 朱朝生;非線性波動方程的全局吸引子[D];四川大學;2007年

5 陳光霞;關于兩類反應擴散方程全局吸引子的存在性以及全局吸引子局部結構的研究[D];蘭州大學;2008年

6 張晉;半群的全局指數(shù)κ-耗散性及全空間上非均勻的反應擴散方程的全局吸引子問題[D];南京大學;2015年

7 李永軍;雙非線性拋物型方程解的長時間行為[D];蘭州大學;2008年

8 楊榮;一類對稱動力系統(tǒng)全局吸引子的多重平衡點的存在性問題[D];蘭州大學;2012年

9 孟鳳娟;關于波方程長時間行為的研究[D];南京大學;2014年

10 楊美華;無界域上無窮維動力系統(tǒng)解的長時間行為的研究[D];蘭州大學;2006年

相關碩士學位論文 前10條

1 趙明浩;兩類半離散非線性方程的全局吸引子[D];西南大學;2015年

2 李婧;一類具非線性記憶的非線性阻尼波方程全局吸引子的存在性[D];四川師范大學;2015年

3 張青義;半離散Schr?dinger方程組的全局吸引子[D];西南大學;2015年

4 高英;一類粘性色散波方程的全局吸引子[D];江蘇大學;2009年

5 朱鑫銓;具有白噪聲的離散FitzHugh-Nagumo方程在加權空間中的全局吸引子[D];揚州大學;2007年

6 黃瑞;二階時滯格子動力系統(tǒng)的全局吸引子[D];揚州大學;2009年

7 李金峰;強阻尼非線性熱彈耦合桿系統(tǒng)的全局吸引子[D];太原理工大學;2010年

8 翟曼月;半線性拋物型方程全局吸引子的極限偽軌跟蹤性[D];遼寧師范大學;2007年

9 史玉花;非線性動力系統(tǒng)的全局吸引子[D];蘇州大學;2007年

10 郭巖巖;兩類三分量反應擴散方程全局吸引子的存在性[D];華東師范大學;2015年

本文編號：2829963