【摘要】：本文主要研究?jī)深?lèi)非線性發(fā)展方程:廣義淺水波方程和Boussinesq方程組.本文中研究的廣義淺水波方程是常見(jiàn)淺水波方程在可積系統(tǒng)中的推廣.它們?cè)谒?非線性光學(xué),激光和等離子體物理領(lǐng)域有著重要意義,并在數(shù)學(xué)上有著廣泛的理論研究?jī)r(jià)值.本文主要是討論這些方程的局部適定性,并附有一些不適定性以及有限時(shí)間爆破準(zhǔn)則的結(jié)果.Boussinesq方程組是大氣、海洋環(huán)流,自然通風(fēng)和中央供暖系統(tǒng)等問(wèn)題中一個(gè)非常有用的模型,也是地球物理動(dòng)力學(xué)中最重要的模型之一.此外2維Boussinesq方程組與3維Euler方程有著緊密的關(guān)聯(lián).事實(shí)上,2維無(wú)粘性的Boussinesq方程組可以看做是3維軸對(duì)稱Euler方程組在渦度遠(yuǎn)離對(duì)稱軸r=0時(shí)的一個(gè)模型.研究2維Boussinesq方程組會(huì)為最終解決Euler方程的適定性提供有利線索.第二章研究具有高階非線性項(xiàng)的廣義CH方程?tu-utxx+(k+2)ukux=(k+1)uk-1uxuxx+ukuxxx,t0,x∈R的Cauchy問(wèn)題.通過(guò)Littlewood-Paley分解,Bony仿積理論以及輸運(yùn)方程理論和Osgood引理,我們證明了初值在臨界Besov空間B3/22,1中的局部適定性以及B3/2的不適定性.這其中,Osgood引理對(duì)克服因臨界指標(biāo)引起的困難起到了關(guān)鍵作用.第三章進(jìn)一步研究二分量CH類(lèi)型可積系統(tǒng)mt+12(uv-uxvx)mx=-12((uv-uxvx)x-(uvx- uxv))m-bux,nt+12(uv-uxvx)nx=-12((uv-uxvx)x+(uvx- uxv))n-bvx,m = u-uxx,n=v-vxx的Cauchy問(wèn)題.利用第二章中已有的基本理論框架并補(bǔ)充一個(gè)輸運(yùn)方程在低正則性初值空間B-1/2解的存在唯一性定理,我們得到了方程組的Cauchy問(wèn)題初值在臨界空間B1/22,1中解的存在唯一性和H¨older連續(xù)依賴關(guān)系.第四章,繼續(xù)考慮了具有多重非線性指標(biāo)的廣義Camassa-Holm方程,得到了比較一致的結(jié)果.這表明,我們的方法具有很好的適用性.第五章研究具速度粘性的Boussineq方程組:(Bν,0)??tu- ν?u + u · ?u + ?π = θe2,(t, x) ∈ R+× ?,? · u = 0,?tθ + u ·?θ=0,的初邊值問(wèn)題.在這里我們?cè)噲D找到初值u0,θ0盡可能大的空間,使得對(duì)應(yīng)的強(qiáng)解全局存在唯一.這里我們主要用到了能量方法.此外,我們還證明了Bν,0初邊值問(wèn)題的解可以由全粘性Boussineq方程組Bν,κ在相應(yīng)初邊值條件下的解在溫度粘性趨于零時(shí)強(qiáng)收斂得到.第六章繼續(xù)研究了具有溫度粘性的Boussineq方程組,找到了相應(yīng)盡可能大的空間,得到了其強(qiáng)解的全局存在性.然而,之前的方法在論證這個(gè)方程組解唯一性時(shí)不盡有用,這使得關(guān)于唯一性的結(jié)果需要另外找尋線索,這也表明在Boussineq方程組中兩種粘性對(duì)解的適定性影響有差異.
【學(xué)位授予單位】：華南理工大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類(lèi)號(hào)】：O175

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本文編號(hào)：2739585