【摘要】：最近一些年,反常擴(kuò)散現(xiàn)象已經(jīng)引起了許多研究人員的興趣。研究反常擴(kuò)散過程的模型有三類,連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走模型是其中最直觀、應(yīng)用最廣泛的一類模型。本文基于連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走理論,從兩個(gè)不同的角度:廣義主方程方法和從屬方法,研究了反常擴(kuò)散過程的統(tǒng)計(jì)特征。由于連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走模型不能直接包含外力場(chǎng),而分?jǐn)?shù)階方程容易做到,因此,討論連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走過程的概率密度的分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程也是一個(gè)熱點(diǎn)話題。這里,我們也做了相應(yīng)的討論。具體工作如下:在第三章,基于廣義主方程描述連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走的Montroll-Weiss方程,我們首先介紹了解耦的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走過程的概率密度依賴于等待時(shí)間概率密度的發(fā)展方程;然后,討論了跳躍長(zhǎng)度依賴于等待時(shí)間的耦合的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走模型,通過對(duì)等待時(shí)間概率密度和跳躍長(zhǎng)度條件概率密度進(jìn)行合適的設(shè)置,得到了當(dāng)尺度越來越小時(shí)跳躍概率密度在Fourier-Laplace域中的漸近式;最后,根據(jù)跳躍概率密度在Fourier-Laplace域中的漸近式和等待時(shí)間概率密度在Laplace域中的漸近式,利用Montroll-Weiss方程,得到了耦合的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走的概率密度在Fourier-Laplace域中的代數(shù)表示式,通過合適的變形并取Fourier-Laplace逆變換,得到了概率密度在空間時(shí)間域中相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程,并通過對(duì)均方位移的計(jì)算,得到了基于該模型的反常擴(kuò)散行為。在第四章,類似于第三章的討論,我們考慮了一類特殊的隨機(jī)行走過程:定向的耦合連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走。這時(shí),Montroll-Weiss方程中的跳躍概率密度的FourierLaplace變換相應(yīng)的改變?yōu)長(zhǎng)aplace-Laplace變換。通過將跳躍長(zhǎng)度條件概率密度設(shè)置為等待時(shí)間的正值函數(shù)(本文取為Diracδ-函數(shù))和等待時(shí)間概率密度設(shè)置為具有長(zhǎng)尾分布,得到了該模型的概率密度所滿足的組合分?jǐn)?shù)階漂移方程。在第五章,基于從屬理論,我們將連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走過程分解為兩個(gè)過程:離散時(shí)間隨機(jī)行走過程和計(jì)數(shù)過程,即添加了一個(gè)中間變量:步數(shù)。由于反常擴(kuò)散過程是連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走過程的極限過程,因此,當(dāng)以正的連續(xù)隨機(jī)變量替換中間變量步數(shù)時(shí),即可得反常擴(kuò)散過程的概率密度的從屬表示形式。這里,中間隨機(jī)變量被稱為隨機(jī)時(shí)間過程。本章我們介紹了三種形式的隨機(jī)時(shí)間過程和它們的性質(zhì),這三種形式有共同的結(jié)構(gòu):由時(shí)間變量的正冪函數(shù)和α-穩(wěn)定的隨機(jī)變量的負(fù)冪函數(shù)的乘積構(gòu)成。并討論了基于這三種形式的隨機(jī)時(shí)間的反常擴(kuò)散過程的統(tǒng)計(jì)特征和其概率密度所滿足的分?jǐn)?shù)階Fokker-Planck型方程。
【學(xué)位授予單位】：湘潭大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O211.6

【共引文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：2733086