本文關(guān)鍵詞：常型Sturm-Liouville算子的逆譜問題，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：受其它學(xué)科和眾多工程技術(shù)領(lǐng)域應(yīng)用的驅(qū)動,關(guān)于Sturm-Liouville算子逆問題的研究已引起國內(nèi)外學(xué)者的極大興趣和高度重視.迄今為止,它已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中發(fā)展和成長最快的課題之一.逆譜和逆結(jié)點(diǎn)問題是逆問題研究中兩個重要的基礎(chǔ)課題,它們在地球物理、量子物理、氣象學(xué)等領(lǐng)域具有廣泛而直接的應(yīng)用,同時也是數(shù)學(xué)物理中求解非線性發(fā)展方程的有效途徑.本文首先針對經(jīng)典Sturm-Liouville算子的逆譜和逆結(jié)點(diǎn)問題展開研究,進(jìn)而考慮了內(nèi)部點(diǎn)條件含譜參數(shù)的Sturm-Liouville算子的逆譜和逆結(jié)點(diǎn)問題,分別給出了實(shí)現(xiàn)勢函數(shù)和邊界條件參數(shù)的唯一性條件及其重構(gòu)算法.主要工作包括：第一章首先總結(jié)Sturm-Liouville算子產(chǎn)生的物理背景及其逆問題的研究現(xiàn)狀,其次介紹本文的主要工作.第二章研究經(jīng)典Sturm-Liouville算子的逆兩組譜問題.通過增加界面條件而邊界條件不動的方法獲得了第二組譜,利用這組譜與原算子的一組譜證明了相應(yīng)的唯一性結(jié)論,推廣了Borg的兩組譜定理.進(jìn)而又考慮了兩組譜都是通過改變界面條件的參數(shù)而得到的情形,首先分析這兩組譜之間的關(guān)系,其次考慮相應(yīng)的唯一性問題：當(dāng)?shù)谝粋�參數(shù)相同而第二個參數(shù)不同時,兩組譜滿足經(jīng)典的交錯性,并且唯一性結(jié)論成立；然而當(dāng)?shù)谝粋�參數(shù)不同時,兩組譜并不滿足交錯性,唯一性結(jié)論不一定成立,此時至多有有限多個勢函數(shù)與這兩組譜對應(yīng),進(jìn)一步又給出了使得唯一性成立的條件.第三章研究勢函數(shù)在內(nèi)部子區(qū)間上已知的Sturm-Liouville算子的逆譜問題.借助于部分的特征值和部分的內(nèi)部譜數(shù)據(jù),證明了相應(yīng)的唯一性定理;進(jìn)一步考慮了勢函數(shù)局部光滑的情形,證明了在唯一性成立的前提下,一些特征值和內(nèi)部譜數(shù)據(jù)可以缺失,從而推廣和改進(jìn)了Hochstadt-Lieberman和Gesztesy-Simon的逆譜定理.第四章研究結(jié)點(diǎn)子集在內(nèi)部子區(qū)間上已知的Sturm-Liouville算子的逆結(jié)點(diǎn)問題.針對逆結(jié)點(diǎn)唯一性問題中的超定現(xiàn)象進(jìn)行了比較全面的討論,首先考慮1/2屬于區(qū)間內(nèi)部的情形,證明了已知的結(jié)點(diǎn)信息僅需要在這個內(nèi)部子區(qū)間“孿生稠”就可以保證相應(yīng)的唯一性結(jié)論成立,而此時的區(qū)間長度可以為任意小.特別的,當(dāng)內(nèi)部子區(qū)間關(guān)于1/2對稱時,所給的條件實(shí)現(xiàn)了非超定的最優(yōu)狀態(tài).其次考慮了1/2不屬于內(nèi)部子區(qū)間的情形,借助于額外的譜信息證明了相應(yīng)的唯一性定理,從而回答了Yang在2001年提出的一個公開問題.第五章研究內(nèi)部點(diǎn)條件含譜參數(shù)的Sturm-Liouville算子的譜及逆譜問題.首先建立該問題的算子理論框架,實(shí)現(xiàn)其自伴微分算子刻畫,分析其譜的性態(tài),并給出相應(yīng)的展開定理；其次給出特征值及其方程解的漸近表達(dá)式；再次利用Weyl函數(shù)、離散譜數(shù)據(jù)、兩組譜分別證明了相應(yīng)的唯一性定理,并探明在勢函數(shù)的唯一確定性問題上,這三類譜數(shù)據(jù)的作用是等價的；最后借助于譜映射的方法分別給出這三類譜數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)勢函數(shù)的重構(gòu)算法.第六章研究內(nèi)部點(diǎn)條件含譜參數(shù)的Sturm-Liouville算子的逆結(jié)點(diǎn)問題.在特征值和結(jié)點(diǎn)的漸近性能不好的情況下,借助于第四章中建立的處理逆結(jié)點(diǎn)問題的方法,并將第四章中“孿生稠”的條件擴(kuò)展為“雙邊稠”,證明了相應(yīng)的唯一性定理,并給出了利用結(jié)點(diǎn)重構(gòu)勢函數(shù)的算法.
【關(guān)鍵詞】：Sturm-Liouville算子 逆譜問題 逆結(jié)點(diǎn)問題 唯一性定理 重構(gòu)算法
【學(xué)位授予單位】：陜西師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O175.3
【目錄】：

• 摘要3-5
• Abstract5-10
• 第1章 緒論10-22
• 1.1 Sturm-Liouville問題的物理背景11-14
• 1.2 Sturm-Liouville算子逆問題的研究現(xiàn)狀14-18
• 1.3 本文的主要工作18-22
• 第2章 經(jīng)典Sturm-Liouville算子的逆兩組譜問題22-46
• 2.1 引言22-23
• 2.2 特征值的性質(zhì)及漸近式23-32
• 2.3 a_1=a_2的情形32-35
• 2.4 a_1≠a_2的情形35-46
• 第3章 部分信息已知的Sturm-Liouville算子的逆譜問題46-54
• 3.1 引言46-47
• 3.2 主要結(jié)論47-48
• 3.3 主要結(jié)論的證明48-54
• 第4章 經(jīng)典Sturm-Liouville算子的逆結(jié)點(diǎn)問題54-72
• 4.1 引言54-55
• 4.2 主要結(jié)論55-58
• 4.3 預(yù)備知識58-65
• 4.4 主要結(jié)論的證明65-72
• 第5章 內(nèi)部點(diǎn)條件含譜參數(shù)的Sturm-Liouville算子的譜及逆譜問題72-98
• 5.1 引言72-73
• 5.2 自伴算子描述及其展開定理73-80
• 5.3 方程的解以及特征值的漸近式80-85
• 5.4 唯一性問題85-89
• 5.5 重構(gòu)問題89-98
• 第6章 內(nèi)部點(diǎn)條件含譜參數(shù)的Sturm-Liouville算子的逆結(jié)點(diǎn)問題98-108
• 6.1 引言98
• 6.2 結(jié)點(diǎn)的漸近式98-101
• 6.3 唯一性定理101-105
• 6.4 重構(gòu)算法105-108
• 總結(jié)108-110
• 參考文獻(xiàn)110-122
• 致謝122-124
• 攻讀博士學(xué)位期間的研究成果124

  本文關(guān)鍵詞：常型Sturm-Liouville算子的逆譜問題，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

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本文編號：264933