【摘要】：在數(shù)據(jù)分析中,我們常常碰到右刪失或者左截斷數(shù)據(jù)問題,它們在生存分析、醫(yī)學統(tǒng)計、天文學、經濟學以及工程可靠性統(tǒng)計中具有重要應用。過去的大部分文獻討論的是右刪失數(shù)據(jù),而近十幾年來左截斷數(shù)據(jù)越來越受到大家的關注。左截斷數(shù)據(jù)下,有很多文獻都構造了條件分布函數(shù)、條件分位數(shù)和回歸函數(shù)的估計量,建立了它們的大樣本性質。本文在左截斷數(shù)據(jù)下,分別研究了條件分位數(shù)的估計方法和線性回歸模型中的參數(shù)估計和變量選擇方法,以便進一步補充和完善相關的方法和理論。具體涉及以下幾個方面。本文的第二章在左截斷獨立數(shù)據(jù)下,構造了條件分布函數(shù)、條件概率密度函數(shù)和條件分位數(shù)函數(shù)的加權雙核局部線性估計量,建立了這些估計量的漸近正態(tài)性。YuJones(1998)構造了條件分布函數(shù)的雙核局部線性(DKLL)估計量,并在完全數(shù)據(jù)下,研究了條件分位數(shù)的雙核局部線性(DKLL)估計量的大樣本性質。由于雙核局部線性DKLL估計方法是用局部線性方法得到的,因此它和核估計方法Nadaraya-Watson(N-W)相比,具有一些局部多項式估計方法的良好的性質,比如邊界點估計上的自動調節(jié)等特性。然而,到目前為止,即使對獨立樣本,也沒有看到相關文獻在左截斷數(shù)據(jù)下,研究條件分布函數(shù)和條件分位數(shù)的雙核局部線性DKLL估計量,因此受YuJones(1998)文章的啟發(fā),本論文的第二章在左截斷獨立樣本下,利用雙核局部線性方法構造了條件分布函數(shù)、條件概率密度函數(shù)和條件分位數(shù)的非參估計量,進而建立了它們的漸近正態(tài)性質。在左截斷獨立數(shù)據(jù)下,設{(Xk,Yk,Tk,),k≥ 1}來自總體(X,Y,T)的一列隨機向量,這里T為截斷變量。我們假設T和(X,Y)是相互獨立的,并且T有連續(xù)的分布函數(shù)。在左截斷模型中,對于i= 1,2,...,N,生存時間Yi被截斷變量Ti干擾,當Yi ≥ Ti時,Yi和Ti都能觀察到,而當YiTi時,Yi和Ti都不能觀察到。由于截斷的發(fā)生,N是未知的,n是實際觀察到的樣本容量,設θ = P(Y ≥T)表示隨機變量Y被觀測到的概率。根據(jù)YuJones提出的條件分布函數(shù)的雙核局部線性估計方法,我們知道F(y|x)的WDKLL估計量Fh1,h2(y|x)=β0是下列優(yōu)化問題的解從而ζp(x)的加權雙核局部線性估計量為通過代數(shù)化簡,得進而條件概率密度函數(shù)f(y|x)的估計為其中于是我們可以分別建立Fh1,h2(y|x),fh1,h2(y|x),ξp,n(x)的漸近正態(tài)性,即此外,有限樣本下的數(shù)值模擬得出的結論也與我們的理論結果一致。第二章的結果已發(fā)表于《Communications in Statistics-Theory and Methods》。左截斷獨立樣本的假設在某些情況下可能是合理的,例如,生存分析中的數(shù)據(jù)來自一個互不相干的群體時。然而,在生存分析中,我們碰到的數(shù)據(jù)結構很多是相依的。例如,從從家庭成員中采取的樣本數(shù)據(jù),還有對同一個體反復地測量得到的樣本數(shù)據(jù),更常見的是隨著時間記錄獲取的樣本數(shù)據(jù),集群內部個體的壽命通常也是相關的(見KangKoehler(1997),Cai et al(2000))。由此可見,在相依假設下,研究左截斷模型的統(tǒng)計推斷問題有著十分深刻的理論和實際意義。本論文的第三章在左截斷數(shù)據(jù)下,利用雙核局部線性估計方法構造了條件分布函數(shù),條件分位數(shù)的WKDLL估計量,并且在觀察樣本為α混合序列的情況下,利用混合序列的相關概率不等式和Bernstein分塊方法,建立上述估計量的漸近正態(tài)性質,得到Fh1,h2(y|x),ξp,n(x)的如下結果此外,有限樣本下的數(shù)值模擬結果顯示,我們的估計比一般的核估計更好,從而也證實了我們方法的有效性。第三章的內容已投稿到《數(shù)學學報》(中文版),目前在審稿中。分位數(shù)回歸方法最初由KoenkerBassett(1978)提出,之后在計量經濟學、社會科學以及生物醫(yī)藥等各個領域中都有廣泛的應用。Koenker(2005)的專著對QR方法進行了詳細的討論。QR方法的不足之處是估計的效率有時會很低,于是ZouYuan(2008)在線性模型的背景下,提出了綜合不同點處的分位數(shù)的復合分位數(shù)回歸(CQR)方法,來估計線性模型的系數(shù)。CQR方法一方面繼承了QR方法的穩(wěn)健性,另一方面顯著的改進了QR估計的效率,是一種有效且穩(wěn)健的參數(shù)估計方法。近年來,國內外關于QR和CQR方法的研究非常熱門。但是,就我們所知,很少有文獻研究左截斷數(shù)據(jù)下的復合分位數(shù)問題。受ZouYuan(2008)文章的啟發(fā),本文的第四章在左截斷數(shù)據(jù)下,構造了線性回歸模型的回歸系數(shù)的復合分位數(shù)估計量,然后我們利用適應性Lasso懲罰方法,來建立穩(wěn)健的模型,從而得到適應性Lasso懲罰復合分位數(shù)回歸估計量的Oracle性質。在左截斷數(shù)據(jù)下,我們考慮下面的線性回歸模型:其中X是一個p ×1的協(xié)變量隨機向量,β是p ×1的未知參數(shù)的向量,ε是一個隨機誤差項,它與協(xié)變量X是相互獨立。則回歸系數(shù)β的復合分位數(shù)估計量βCQR是下列優(yōu)化問題的解基于參數(shù)的復合分位數(shù)回歸估計βCQR,結合適應性的lasso懲罰函數(shù)來進行變量選擇和參數(shù)估計,則適應性的lasso懲罰復合分位數(shù)回歸估計可以記作βACQR,它是下列優(yōu)化問題的解在一定的條件下,我們建立了βCQR的漸近性質并且建立了βACQR的收斂速度和Oracle性質((?)-相合性)(?)(變量選擇相合性)(?)(漸近正態(tài)性)(?)最后,我們通過有限樣本下的數(shù)值模擬研究,展示了我們提出的方法的優(yōu)點。第四章的內容已投稿到《Statistical Papers》,已經小修,等待接受。由于左截斷數(shù)據(jù)及其他不完全數(shù)據(jù)下還有許多統(tǒng)計推斷問題等待我們進一步探討和研究。本文的第五章對未來的工作做了如下的展望。一、左截斷相依數(shù)據(jù)下線性回歸模型和半參數(shù)變系數(shù)部分線性模型的復合分位數(shù)回歸問題;二、左截斷右刪失同時發(fā)生數(shù)據(jù)下條件分布函數(shù)和條件分位數(shù)的雙核局部線性估計,以及分位數(shù)回歸問題。
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§３．４．２正態(tài)性驗證逡逑在這一小節(jié)中，我們通過正態(tài)Ｑ－Ｑ圖來比較兩個估計量的漸近正態(tài)性效果。在逡逑圖３．３中，取Ｐ邋＝邋０．５，邋０邋？邋６０％以及ｎ邋＝邋５００，在：ｒ邋＝邋１和ｐ邋＝邋０．５下，分別畫出Ｎ－Ｗ估逡逑計量以及ＷＤＫＬＬ估計量的正態(tài)Ｑ－Ｑ圖；在圖３．４中，�。疱澹藉澹埃岛停铄澹藉澹担埃埃謩e逡逑在６／邋３０％和。９０％下，畫出了邋６．５（１）的ＷＤＫＬＬ估計量的正態(tài)Ｑ－Ｑ圖；圖３．５中，逡逑取Ｐ邋＝邋０．５和０邋６０％，分別在ｎ邋＝邋２００和＝邋８００下，畫出了N希擔ǎ保┑模祝模耍蹋坦厘義霞屏康惱眩淹跡煌跡常常跡常抵械氖荻際腔冢灣澹藉澹擔埃暗鬧馗礎ｅ義洗油跡常撤⑾鄭諳嗤南亂約埃邢攏祝模耍蹋坦蘭屏康慕ソ緣膩義閑Ч齲危墜蘭屏康慕ソ緣男Ч�；从哇E常床荒芽闖觶保釹嗤保霸藉義洗�，，ＷＤＫＬＬ固m屏康慕ソ緣男Ч膠�；从哇E常悼闖觶繃夏客保祝模耍蹋坦厘義霞屏康慕ソ孕Ч孀牛鈐醬�，效果阅z謾ｅ義希矗靛義

本文編號：2583662