發(fā)布時間：2017-03-17 21:04

  本文關(guān)鍵詞：G-隨機分析中的可積性和正倒向隨機微分方程，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：我們首先從倒向隨機微分方程理論說起(backward stochastic differential equations簡記作BSDEs).眾所周知,Bismut在處理一個最優(yōu)隨機控制問題時第一次提出線性形式的BSDEs [4],然后Pardoux-Peng在著名的[92]中的工作揭開了一般形式的BSDEs研究的序幕,Pardoux-Peng在標(biāo)準(zhǔn)的Lipschitz條件下證明了此類方程解的存在唯一性。到目前為止,該領(lǐng)域的學(xué)者專家已經(jīng)揭示了BSDEs理論和其他研究領(lǐng)域之間深刻的聯(lián)系,這些研究領(lǐng)域包括偏微分方程(PDEs),數(shù)理金融,隨機控制和隨機微分博弈,隨機數(shù)值分析等。不久之后,注意到BSDEs理論在隨機遞歸效用模型中的應(yīng)用前景,許多工作致力于研究正倒向隨機微分方程(簡記作FBSDEs)其中正向過程X和倒向部分Y以上面的方式耦合在一起,不同情形下的FBSDEs解的存在唯一性可以通過不同的方法分別得到證實(請參考Antonelli [1], Delarue [26], Ma-Protter-Yong [82], Hu-Peng [56], Yong [149]等文獻(xiàn)).從BSDEs建立之初,該理論就在隨機分析領(lǐng)域流行甚廣,尤其是和金融數(shù)學(xué)有著千絲萬縷的聯(lián)系(參考El Karoui-Peng-Quenez [41],El Karoui-Quenez [42], Chen-Epstein[16], Delbaen-Peng-Rosazza Gianin [35], Duffie-Epstein [29], Cvitanic-Karatzas [23]引相關(guān)文獻(xiàn)),這種緊密的聯(lián)系來源于倒向隨機微分方程所擁有的對金融數(shù)學(xué)家特別有用的倒向結(jié)構(gòu)。例如很多投資問題就是來尋找滿足未來收益目標(biāo)ζ的交易策略,而BSDEs恰如其分描述這類問題并且在很少的條件下能夠提供問題的唯一解。BSDEs解的主要部分Y.形成一種非線性的鞅,基于這種觀察Peng引進(jìn)了g-鞅的概念進(jìn)而提出一般意義下的9-期望(g標(biāo)明的是BSDEs的生成元),特別的,g-鞅的Doob-Meyer分解仍然成立[105].由于非線性g-期望只有給生成元施加很強的條件才能保證凸性,而凸性是相容性風(fēng)險度量的一個主要特點,結(jié)合最近興起的相容性風(fēng)險度量概念,Peng提出用G-期望理論來替代g-期望。注意到下面的完全非線性PDE在[0,∞)×Rd的內(nèi)正則性質(zhì),其中初始條件為提出了一種時間相容的次線性期望E,也被稱為G-期望。該理論已經(jīng)成為隨機分析和金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域的中心問題之一這套框架之所以能夠吸引如此多的注意的原因包括但不限于下面幾點,●建立了一種完全非線性的Feymann-Kac公式�！駥nightian不確定性和模型不確定性納入考慮范圍�！褡鳛橐环N相容性風(fēng)險度量工具,它可以由一族相互奇異的鞅測度表示出來。在G-期望框架中,相應(yīng)的G-Ito隨機分析的基礎(chǔ)已經(jīng)在典則空間空間中得以建立,盡管所有的敘述都是擬幾乎處處的(quasi surely)而非幾乎處處(almost surely),因為存在一個對應(yīng)G-期望的自然容度。為了與經(jīng)典隨機分析中的符號加以區(qū)分,所有G-期望的結(jié)論或者概念都被冠以G的前綴。Peng用范數(shù)擴張的辦法系統(tǒng)地處理了這個框架中的主要問題,例如建立了G-布朗運動的二次變差過程的概念,證明G-Ito公式,討論了G-SDEs的適定性,研究了G-鞅表示定理。當(dāng)然至今仍然有些問題沒有解決,感興趣的讀者可以參考[115]或者Peng在ICM 2010做的大會報告[116].從那以后,既然鞅表示定理可以看作一種簡單的BSDEs, G-BSDEs在Lipschitz條件下的解的存在唯一性也被證明成立。不熟悉以上結(jié)果的讀者,我們推薦參考文獻(xiàn)Peng [115], Peng-Song-Zhang [120], Denis-Hu-Peng [30], Gao [47], Hu-Ji-Peng-Song [52,53], Li-Peng [75], Epstein-Ji [44]. G-BSDEs理論可以看做經(jīng)典BSDEs理論在非線性期望下的推廣,與此同時二階倒向隨機微分方程(縮寫為2BSDEs)從另外一個角度推廣了BSDEs理論,當(dāng)然這兩種推廣的結(jié)果所導(dǎo)致的Feynman-Kac公式是一致的(請看參考文獻(xiàn)Soner-Touzi-Zhang [134,135,136]). Marcel Nutz 的工作[87,88]進(jìn)一步去掉了一些技術(shù)假設(shè),創(chuàng)造了隨機G-期望和對所有Borel可測映射的條件G-期望,這些結(jié)果的提出有賴于G-期望理論和2BSDEs理論之間的比較。在他的ICM 2010大會報告中,Peng首先倡導(dǎo)一種路徑依賴的PDEs的概念來為非馬爾科夫的BSDEs提供概率解釋,到目前為止至少有三種方案來實現(xiàn)這一想法,Peng-Wang [121]利用Dupire導(dǎo)數(shù)對光滑的路徑依賴擬線性拋物型PDEs提出一種嶄新的Feynman-Kac公式,Ekren-Touzi-Zhang [38,39,40]利用最優(yōu)停時技術(shù)針對完全非線性拋物型PDEs提出路徑依賴的粘性解的概念并用來解決此類方程,Peng-Song[119]構(gòu)造一個新的Sobolev空間并證明BSDEs和路徑依賴完全非線性PDEs的等價性。此博士論文處理G-期望理論中的若干問題。注意到Hu-Ji-Peng-Song關(guān)于G-倒向隨機微分方程的工作[52,53],我們想知道完全耦合的G-布朗運動驅(qū)動的正倒向隨機微分方程解的適定性。該問題的背景植根于期望效用理論,在G-框架下考慮該問題本質(zhì)上就是考慮模型不確定情形下的期望效用。經(jīng)典的處理方法有很多,連續(xù)性方法無法解決此類問題,我們采用的是Delarue [26]的思路。我們的存在唯一性結(jié)果只在小時間區(qū)間上有效,原因在于,與經(jīng)典情形相比較,相應(yīng)的非線性拋物型偏微分方程的粘性解在所考慮的時間區(qū)間之內(nèi)部而非邊界具備足夠的光滑性而且至今G-期望理論的控制收斂定理是否成立仍然存疑,所以將局部解粘合為整體解的過程變得非常困難。然后我們研究G-擴散過程的不變和遍歷期望,以期獲得某些隨機過程的平衡狀態(tài)的描述。我們的結(jié)果證明G-布朗運動驅(qū)動的Ornstein-Uhlenbeck過程的唯一不變期望是G-正態(tài)。當(dāng)我們比較遍歷期望和不變期望時,發(fā)現(xiàn)兩者在非線性期望框架下是不同的概念。G-期望理論的另一個重要特點是有界Borel可測不一定意味著可積,實際上可積性要求被積函數(shù)滿足額外的擬連續(xù)性條件。在處理諸如初始條件為示性函數(shù)的G-熱方程時候,一個自然的問題就是對應(yīng)熱方程的解是否在非線性期望討論的范圍內(nèi),我們第三章討論區(qū)間的示性函數(shù)是否可積這樣的問題,特別地我們證明了初始條件為示性函數(shù)時,對應(yīng)的解仍然是有意義的,這樣相應(yīng)的計算就成為可能。此論文的第一章致力于研究G-FBSDEs的適定性問題,這一部分可以看作是[52]的繼續(xù)。更確切地說,我們將要討論如下由G一布朗運動驅(qū)動的隨機微分系統(tǒng)的解的存在唯一性,我們只對系數(shù)做簡單的Lipschitz和線性增長性假設(shè),(H1.1) (i)假設(shè)對任意的常數(shù)于是方程總有解Xy.我們進(jìn)一步假設(shè)對任意的(y',z')∈Rn×Rn×d,生成元滿足(ii)存在嚴(yán)格正的常數(shù)κ滿足對所有的t∈[0，T],本章的核心結(jié)果報告如下,定理0.1.假設(shè)(H1.1)成立,那么對任意小的常數(shù)ε0,均存在一個僅依賴于κ的常數(shù)Ck(1),滿足使得方程(0.0.1)在6GG2,ε(0,T)中存在唯一解,其中要求參數(shù)T≤Ck(1),請注意上面的X,Y,Z,K所屬的空間不是齊次的,也就是說我們要求Z,K這兩部分的階次嚴(yán)格小于X,Y的階次。這點其實來自于我們證明思路所限,因為我們首先針對X,Y構(gòu)造壓縮映像,然后由于范數(shù)被X,Y的范數(shù)控制,我們得到Z,K在各自空間的存在唯一性,熟悉G-BSDE解的存在唯一性證明的讀者不會對此感到奇怪。關(guān)于我們的問題,有幾點需要澄清。我們沒有在正向方程中包含Z這一變量,正如評論1.1所表明的一樣,如果只對正向方程的擴散系數(shù)σ施加對于Z的Lipschitz 條件,那么系統(tǒng)將會有無窮多個解。而例子1.2顯示僅在我們的假設(shè)條件下整體解一般是不存在的。當(dāng)我們回顧Delarue[26]的工作,我們猜測當(dāng)終端函數(shù)Φ具備足夠的光滑性時,系統(tǒng)可能存在整體解,如果我們注意到Delarue證明依賴對應(yīng)PDEs解的梯度的整體估計。如果我們進(jìn)一步假設(shè)線性增長條件,(H1.2)除了條件(H1.1)外,所有的函數(shù)b,σ,Ψ,9都是確定性函數(shù)并且線性增長,也就是說存在某個常數(shù)γ滿足對所有的對任意的s∈[0,T],結(jié)論為Y能夠表達(dá)為關(guān)于X狀態(tài)的Lipschitz函數(shù),盡管要得到相應(yīng)的Feynmann-Kac公式還比較困難。命題0.1.假設(shè)條件(H1.2)成立,那么存在一個連續(xù)函數(shù)u滿足對所有的以及ζ∈LG2(Ωt),文章的第二章是關(guān)于G-擴散過程的不變期望和遍歷期望的探究。經(jīng)典的Markov過程的逐點遍歷定理(比如,Birkhoff-Khinch in遍歷定理)重新敘述此情境下的大數(shù)定律,斷言一些函數(shù)沿著某條路徑的取值的時間平均值幾乎處處收斂到關(guān)于不變σ-代數(shù)的條件期望,后者是一種空間平均。所以不變測度和遍歷性質(zhì)在經(jīng)典情形下是連接在一起的,然而在G-期望框架下這兩個概念是分離的,所以有必要對G擴散過程引進(jìn)我們稱之為遍歷期望(ergodic expectation)的概念。首先我們列出對需要討論的G-SDEs需要滿足的條件,其中b,hij：Rn→Rn,σ：Rn→Rn×d是確定性的連續(xù)函數(shù),特別的記Xx=X0,x.(H2.1)存在常數(shù)L0滿足不變期望的概念來源于經(jīng)典的不變測度,經(jīng)常用來刻畫某些過程的平衡狀態(tài)。對給定的常數(shù)p≥1,用符號Cp,Lip(Rn)表示定在在Rn上滿足下列條件的函數(shù)全體,如果存在僅依賴f的常數(shù)Kf使得下面的不等式成立定義0.1.一個定義在上的次線性期望E稱為G-擴散過程X的不變期望,如果在上存在一族相對緊的概率測度能夠表示E,我們將這族概率測度稱為關(guān)于G-擴散過程X不變(參考定理2.2),這族測度表征了初始分布的不確定性。下面的定理證明了擴散過程X的不變測度的存在唯一性,也是這一章的主要定理之一,定理0.2.假設(shè)條件(H2.1)和(H2.2)成立,那么上面定義的G-擴散過程X存在唯一的不變期望E。另外對每個f∈C2p,Lip(Rn),我們有這個定理證實了為何E會被稱為“不變測度”。作為一個重要且有趣的例子,我們應(yīng)用上面的結(jié)果驗證C-正態(tài)分布所對應(yīng)的期望是G-Ornstein-Uhlenbeck過程的不變期望(參考引理2.5).當(dāng)然在引理2.5中,比C2p,Lip(Rn)更大的空間中的元素也可以當(dāng)做實驗函數(shù)�？赡苡腥藭䥽L試用更大的空間比如所有的局部Lipschitz函數(shù)做成的格Cloc,Lip(Rn)來代替C2p,Lip(Rn)從而得到更一般的結(jié)論。此處我們選擇使用空間C2p,Lip(Rn)而非使用空間Cloc,Lip(Rn)來敘述我們的問題的原因在于上面的定理中當(dāng)證明不變期望A的存在性時,我們需要建立一個A[f]和E[f(Xt)]之差的一致的上界來確保問題的緊性,而換做空間Cloc,Lip(Rn)顯然會產(chǎn)生一些麻煩。另外表示不變期望的一族概率測度是定義在(Rn,C2p-1,Lip(Rn))上的,結(jié)合假設(shè)(H2.2),這樣我們才能得到引理2.2.定義0.2.一個定義在空間(Rn,C2p,Lip(Rn))上的次線性期望E稱為G-擴散過程X的遍歷期望,如果我們有下面的等式同樣的,E可以由一族概率測度表示,其中的每個概率測度我們都稱之為關(guān)于G-擴散過程X遍歷的。容易驗證結(jié)論,或者等價地,粗略點說,這說明遍歷期望擁有比不變期望更少的不確定性,特別的我們通過G-OU過程構(gòu)造的反例2.4說明遍歷期望和不變期望這兩者并不等價。第三章始于對Lusin定理的進(jìn)一步考慮,在G-框架中存在Borel可測但是不擬連續(xù)的隨機變量或者過程(比如,G-布朗運動的二次變差過程的上密度過程a。),所以在這套理論中所要討論的隨機變量必須要求在LG1中,也就是說必須滿足關(guān)于G0([0,∞)；Rd)擬連續(xù)。那么什么樣的函數(shù)是擬連續(xù)的,有沒有容易判斷的例子,我們將在此章中討論這個問題。首先我們證明G-布朗運動在固定時刻擬幾乎處處不擊中單點集,也就是說c({Bt=a})=0.下面是我們需要的假設(shè)條件。(H3.1)存在兩個非負(fù)常數(shù)C和C'滿足對每個(t,x),(t,x')∈[0,∞)×Rn,我們總有下面的不等式成立,(H3.3)存在兩個常數(shù)0λA∞使得對每個(t,x)∈[0,∞)×Rn,總有(H3.4)存在常數(shù)L0使得對每一(t,x)∈[0,∞)×Rn,下面的關(guān)系成立,(H3.5)存在兩個常數(shù)07r∞。使得對每一(t,x)∈[0,∞)×Rn,總有下面的不等式成立在上面的條件下,我們用X來表示SDEs的唯一解,定理3.7給出了我們所說明的一個零容集,定理0.3.在假設(shè)條件(H3,1)-(H3.3)成立的情況下,對任意的T0我們有更進(jìn)一步,我們得到定理的證明思路是將要計算的容度大小與滿足指數(shù)衰減邊界條件的PDEs的粘性解加以比較。應(yīng)用這個定理,推論3.2給出了對稱G-鞅位于一個矩形內(nèi)的容度估計。用概率論的辦法我們在某些曲線上得到類似的零容集。結(jié)合下面的定理,所有這些準(zhǔn)備工作開始顯現(xiàn)出意義。上面的定理馬上可以得到下面的,我們強調(diào)這些結(jié)果本質(zhì)上是通過PDEs技術(shù)得到的,就我們所知,至今還不存在證明這些結(jié)果的概率方法。本章的第二部分我們研究了MGp(0,T)的擬連續(xù)刻畫,這類似于LGp(ΩT)0的刻畫,其中p≥1.首先我們對循序可測過程引進(jìn)擬連續(xù)的概念,定義0.3.一個循序可測過程η：[0,T]×ΩT→R稱為擬連續(xù)過程(q.c.),如果對任意的￡0,存在一個循序可測開集G (?)[0,T]×ΩT使得c(G)ε并且限制在開集上ηGc是連續(xù)的。所以在G-期望理論中要討論的過程都要滿足下面的刻畫,定理0.6.對每個p≥1,接下來我們討論G-SDEs的Krylov估計,下面的假設(shè)將保證上面方程是適定的,(H3.6)存在常數(shù)L0滿足對每個t≥0,均有(H3.7)存在一個常數(shù)λ0使得對任意的t0,總有(H3.8)存在一個常數(shù)λ0滿足對任意的t0,我們有下面的不等式成立類似的Krylov估計對系數(shù)有界且非退化的G-Ito過程也成立,實際上我們有下面的,定理0.7.假設(shè)條件(H3.6)和(H3.7)成立。而D是Rn中的一個有界區(qū)域,τ是一個滿足τ≤功的停時,其中τD是過程Xt首次離開區(qū)域D的停時。那么對任意的x0∈Rn,T≥0和p≥n,存在僅依賴于p,λ,L,G,T和D的常數(shù)N使得對所有t∈[0,T]以及所有Borel可測函數(shù)f(t,x),g(x),我們有下面的Krylov估計成立類似的估計對貼現(xiàn)無窮時間區(qū)間上的過程仍然成立(參考定理3.16),有限區(qū)間也可以得到這種估計(參考推論3.4).這些估計可以保證Borel可測函數(shù)與G-Ito過程X.復(fù)合之后具有擬連續(xù)性,定理0.8.假設(shè)條件(H3.6-H3.8)成立,如果φ是Rn-值的滿足多項式增長條件的Borel可測函數(shù),那么對任意的T0,我們總有(φ(Xt))t≤T∈MG2(0,T).另外我們還對G-Ito擴散過程得到下面的Ito-Krylov公式。特別的對下面的G-隨機變量我們有控制收斂定理成立,那么對每個p≥1,我們有
【關(guān)鍵詞】：正倒向隨機微分方程 非線性期望 G-期望 完全非線性偏微分方程 G-布朗運動 G-布朗運動驅(qū)動的倒向隨機微分方程 Krylov估計
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O211.63
【目錄】：

• 中文摘要5-14
• 英文摘要14-25
• 第一章 G-布朗運動驅(qū)動的正倒向隨機微分方程25-45
• 1.1 準(zhǔn)備知識26-29
• 1.2 G-BSDEs的先驗估計29-30
• 1.3 方程的適定性30-42
• 1.4 PDEs的觀點42-44
• 1.4.1 光滑G的估計42-44
• 1.5 評價和展望44-45
• 第二章 G-擴散過程的不變期望和遍歷期望45-64
• 2.1 準(zhǔn)備知識45-46
• 2.2 擴散過程的不變期望46-59
• 2.3 與遍歷期望的關(guān)系59-64
• 第三章 隨機變量和過程的擬連續(xù)刻畫64-91
• 3.1 準(zhǔn)備知識65-67
• 3.2 擬連續(xù)隨機變量67-80
• 3.2.1 G-布朗運動相關(guān)的擬連續(xù)隨機變量67-70
• 3.2.2 與G-SDEs相關(guān)的零容集70-77
• 3.2.3 一些應(yīng)用77-80
• 3.3 擬連續(xù)隨機過程80-91
• 3.3.1 空間M_G~p(0,T)的刻畫80-84
• 3.3.2 Krylov估計及其應(yīng)用84-91
• 參考文獻(xiàn)91-103
• PUBLICATIONS103-104
• 致謝104-105
• 附件105

【參考文獻(xiàn)】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前1條

1 Qian LIN;;Some Properties of Stochastic Differential Equations Driven by the G-Brownian Motion[J];Acta Mathematica Sinica;2013年05期

  本文關(guān)鍵詞：G-隨機分析中的可積性和正倒向隨機微分方程，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號：253431