本文關(guān)鍵詞：兩類空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程模型有限差分逼近的若干研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：近幾十年來,分?jǐn)?shù)階微積分理論被廣泛的應(yīng)用于力學(xué)和工程建模中復(fù)雜現(xiàn)象的模擬；一般而言,相對于經(jīng)典的牛頓-萊布尼茲微積分理論框架下的數(shù)學(xué)模型,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模能夠?qū)?fù)雜環(huán)境中所涉及的記憶和遺傳性(Heredity)、非局部性(Non-locality)、自相似性(Self-similarity) 、路徑依賴性(Long-range-dependence)等“反常”性質(zhì)提供更為深刻全面的闡釋.但分?jǐn)?shù)階算子的復(fù)雜性和非局部性給模型的求解帶來了諸多的困難,鑒于解析技術(shù)的局限性,通常情況下借助于數(shù)值算法來實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階模型的求解。本文主要討論兩類空間分?jǐn)?shù)階模型即守恒形式下的變系數(shù)反常擴(kuò)散模型與Riesz空間分?jǐn)?shù)階電報模型；構(gòu)造兩類模型分別在一維和二維情形下的有限差分逼近格式,分析格式的穩(wěn)定性和收斂性；建立格式的高效快速算法；討論空間分?jǐn)?shù)階模型中一類重要的參數(shù)識別問題.具體地：第一章簡單介紹分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展歷史,給出文中涉及的幾類分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義,淺談本文的研究背景以及現(xiàn)行的空間分?jǐn)?shù)階模型數(shù)值算法；最后給出文章的主題結(jié)構(gòu)。第二章的內(nèi)容主要來源于A fast semi-implicit difference method for a nonlinear two-sided space frac-tional diffusion equation with variable diffusivity coefficients, Appl. Math. Com-put. 257 (2015) 591-601.首先根據(jù)分?jǐn)?shù)階Fickian定律我們建立了如下的一維非線性變系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散模型(?) a≤ x≤b,0 α 1,t 0,其中αDxα xDbα為α階Riemann-Liouville左右分?jǐn)?shù)階算子。對于給定的齊次邊值條件和非齊次初始條件,利用Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)與Grunwald-Letnikov導(dǎo)數(shù)的等價性我們推導(dǎo)出上述模型的半隱式有限差分逼近,分析了格式的相容性、可解性、穩(wěn)定性和收斂性；鑒于空間分?jǐn)?shù)階模型數(shù)值離散所導(dǎo)出線性方程組的系數(shù)矩陣幾乎滿陣的問題,我們借助于快速Fourier變換(FFT)技術(shù)和Fourier矩陣結(jié)構(gòu)分解構(gòu)造了快速的雙共軛梯度穩(wěn)定化算法Toeplitz對于n階線性系統(tǒng),該算法將(FBi-CGSTAB);消元法所需要的O(n2)存儲量與O(n3)計算量降至O(n)與Guass明顯的減少了差分格式實現(xiàn)過程中涉及的復(fù)雜度和所需要的CPU時間。通過兩個數(shù)值算例來驗證半隱式差分格式的精度和快速算法的可靠性和高效性。數(shù)值算例一的計算結(jié)果表明我們所給出的半隱式格式具有空間一階收斂精度；數(shù)值算例二表明O(nlogn),算法、Bi-CGSTAB算法均能到達(dá)FBi-CGSTAB消元法的計算精度,但對于1024階線性代數(shù)系統(tǒng)循環(huán)1024次,高斯消元法需要計算12小時以上,而快速雙共軛梯度穩(wěn)定化算法只需要少于19秒的時間。第三章的內(nèi)容主要來自于Guass Fast finite difference scheme for the parameter identification of a two di-mensional space-fractional diffusion equation with variable diffusivity coefficients,首先我們根據(jù)非局部分?jǐn)?shù)階Submitted to SIAM Journal on Numerical Analysis.定律導(dǎo)出了如下守恒形式下二維變系數(shù)反常擴(kuò)散模型Fickian (?) (x, y)∈Ω, 0 α1,0β1,t 0.我們考慮上述模型中一類重要的參數(shù)估計問題,即如何由最終觀測數(shù)據(jù)u(x,y,T)=g(x,y), (x,y)∈Ω,獲得模型中分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)α,β估計的問題；這是一類不適定問題(Ill-Posed)�；跇�(biāo)準(zhǔn)的和帶有位移的Grunwald-Letnikov公式給出了正問題的隱式有限差分逼近,分析了格式的可解性、穩(wěn)定性和收斂性；考慮到二維差分格式所涉及的計算復(fù)雜度問題,我們將FBi-CGSTAB算法推廣到二維情形,基于差分矩陣的特殊結(jié)構(gòu)分解與二維FFT技術(shù)實現(xiàn)快速算法,分析了算法的復(fù)雜度和存儲量等問題。對于逆問題,給出了參數(shù)估計所對應(yīng)的非線性最小二乘模型,提出了相應(yīng)的線性化二次模型；數(shù)值實驗表明一般迭代算法中所需的Jacobian矩陣在空間分?jǐn)?shù)階模型情形下為嚴(yán)重病態(tài)矩陣(severe rank-deficient);為了解決參數(shù)反演的不適定性,我們提出正則化的Levenberg-Marquardt (L-M)算法與Armijo準(zhǔn)則相結(jié)合來確保每次迭代搜索的有效性,同樣避免了正則化參數(shù)選擇的難題。數(shù)值算例顯示,基于快速算法的L-M正則化算法從無噪噪數(shù)據(jù)和有限水平(0.05%與0.1%)噪音數(shù)據(jù)中均能快速有效的數(shù)值反演出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)α,β。由于空間分?jǐn)?shù)階算子模型求解的復(fù)雜性,目前關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)反演的文獻(xiàn)較少,尤其是空間分?jǐn)?shù)階模型中的參數(shù)反演問題,本章提出的方法為該分?jǐn)?shù)階模型的參數(shù)反演提供了有效的求解工具。第四章的內(nèi)容主要來自于High order unconditionally stable difference schemes for the Riesz space-fractional telegraph equation, J. Comput. Appl. Math. 278(2015) 119-129.本章主要研究一維Riesz空間分?jǐn)?shù)階電報模型(?) a≤x≤b, 0≤t≤ T, 1γ≤ 2,的高階差分格式,其中RDxγ為7階Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子�；赑ade逼近技術(shù),本章給出了三種高階格式,即時間方向二階、四階與六階格式。首先引入新變量將原模型轉(zhuǎn)化為時間方向低階系統(tǒng),進(jìn)而利用空間Riesz導(dǎo)數(shù)的中心差商逼近得到系統(tǒng)的半離散格式；利用(1,1),(2,2),(3,3)階Pade逼近理論給出O(h2+τ2),O(h2+τ4)與O(h2+τ6)階全離散格式,其中h,τ分別為空間和時間方向步長；通過分析差分格式增長矩陣的特征值證明了三種格式的唯一可解性、穩(wěn)定性與收斂性。數(shù)值算例中比較了三種格式在不同分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下時間和空間方向上的收斂階,驗證了三種格式求解常系數(shù)分?jǐn)?shù)階電報方程和變系數(shù)分?jǐn)?shù)階電報方程時的精度.第五章的內(nèi)容主要來自于Fast high order finite difference scheme for the two-dimensional Riesz space-fractional telegraph equation, Submitted to Numerical Methods for Partial Dif-ferential Equations.本章研究了二維Riesz空間分?jǐn)?shù)階電報模型(?) f(x,y,t), (x,y)∈Ω,0t≤T,的快速高階差分格式.在空間導(dǎo)數(shù)方向上采用二階分?jǐn)?shù)階中心差商,借助于矩陣張量積給出了上述模型的半離散格式；時間導(dǎo)數(shù)方向上,我們首先利用三次樣條插值導(dǎo)出了一種時間方向四階格式,最后獲得O(hx2+hy2+τ4)階全離散格式,其中hx,hy,τ分別為空間x,y與時間方向差分步長；分析了差分格式的唯一可解性、穩(wěn)定性與收斂性；將快速算法用于二維Riesz空間分?jǐn)?shù)階電報模型差分格式的實現(xiàn),分析了快速算法中所涉及的計算量等問題。數(shù)值算例比較了快速迭代算法、Gauss消元法與傳統(tǒng)迭代法的計算精度與效率。數(shù)值結(jié)果表明,對于二維Riesz空間分?jǐn)?shù)階電報模型的高階差分格式,迭代算法(包括快速算法)與高斯消元法具有相同的求解精度；在相同的求解精度下,快速的雙共軛穩(wěn)定化算法能夠很大程度上減少計算的復(fù)雜度從而達(dá)到節(jié)約CPU時間的效果。具體地,對于計算規(guī)模為M=N=K=26的問題,高斯消元法需要大于15天的CPU時間,Bi-CGSTAB算法需要586.2050秒的CPU時間而FBi-CGSTAB算法僅需要4.2276秒的CPU時間,其中M,N,K分別為空間x,y與時間方向上的網(wǎng)格剖分點數(shù)。第六章給出本文的總結(jié)和未來的研究工作展望。
【關(guān)鍵詞】：空間分?jǐn)?shù)階變系數(shù)反常擴(kuò)散模型 Riesz空間分?jǐn)?shù)階電報模型 參數(shù)反演 L-M正則化算法 有限差分逼近 穩(wěn)定性與收斂性分析 計算復(fù)雜度 快速雙共軛穩(wěn)定化算法
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O241.5
【目錄】：

• 中文摘要9-13
• ABSTRACT13-16
• 符號說明16-20
• 第一章 緒論20-30
• 1.1 分?jǐn)?shù)階微積分歷史簡介20-23
• 1.2 本文的研究背景23-26
• 1.3 本文的研究內(nèi)容26-30
• 第二章 一維非線性變系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散模型的有限差分格式30-50
• 2.1 數(shù)學(xué)模型30-32
• 2.2 有限差分逼近32-40
• 2.2.1 半隱式差分格式33-34
• 2.2.2 差分格式的理論分析34-40
• 2.3 快速迭代算法40-43
• 2.3.1 系數(shù)矩陣的有效存儲40-41
• 2.3.2 快速雙共軛梯度穩(wěn)定化算法41-43
• 2.4 數(shù)值算例43-48
• 2.5 本章小結(jié)48-50
• 第三章 二維變系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散模型以及參數(shù)反演問題的討論50-68
• 3.1 數(shù)學(xué)模型50-53
• 3.2 正問題的有限差分格式53-60
• 3.2.1 有限差分格式的推導(dǎo)54-56
• 3.2.2 穩(wěn)定性與收斂性56-58
• 3.2.3 快速迭代算法58-60
• 3.3 參數(shù)反演問題的正則化算法60-62
• 3.3.1 正則化算法的推導(dǎo)60-61
• 3.3.2 正則化算法的流程61-62
• 3.4 數(shù)值算例62-67
• 3.4.1 正問題快速算法的有效性62-64
• 3.4.2 正則化算法的有效性64-67
• 3.5 本章小結(jié)67-68
• 第四章 一維Riesz空間分?jǐn)?shù)階電報方程的高階差分格式68-84
• 4.1 數(shù)學(xué)模型68-70
• 4.2 高階差分格式70-73
• 4.2.1 求解區(qū)域剖分70-71
• 4.2.2 空間方向離散71-72
• 4.2.3 時間方向離散72-73
• 4.3 差分格式的理論分析73-77
• 4.4 數(shù)值算例77-83
• 4.5 本章小結(jié)83-84
• 第五章 二維Riesz空間分?jǐn)?shù)階電報方程的高階差分格式84-96
• 5.1 數(shù)學(xué)模型84-85
• 5.2 高階差分格式85-91
• 5.2.1 空間方向離散86-87
• 5.2.2 時間方向離散87-89
• 5.2.3 差分格式的理論分析89-91
• 5.3 快速迭代法91-92
• 5.4 數(shù)值算例92-95
• 5.5 本章小結(jié)95-96
• 第六章 總結(jié)96-98
• 參考文獻(xiàn)98-124
• 致謝124-126
• 攻讀博士學(xué)位期間完成的工作126-128
• 作者簡介128-130
• 學(xué)位論文評閱及答辯情況表130

【參考文獻(xiàn)】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前5條

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  本文關(guān)鍵詞：兩類空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程模型有限差分逼近的若干研究，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號：253314