發(fā)布時(shí)間：2018-08-28 15:14

【摘要】：擴(kuò)散過程在自然界隨處可見.許多學(xué)者指出在自然界中存在著反常擴(kuò)散,即在微觀尺度下,粒子的隨機(jī)過程不是布朗運(yùn)動(dòng),它相應(yīng)的均方方差可能比在高斯過程中的增長得快(超擴(kuò)散)或慢(亞擴(kuò)散).本文主要研究二維分?jǐn)?shù)階超擴(kuò)散方程的高效穩(wěn)定的數(shù)值算法和一類帶周期邊界條件的時(shí)空非局部方程的漸近相容數(shù)值算法.第一章簡(jiǎn)要介紹了反常擴(kuò)散的物理背景并回顧了分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值算法.第二章研究了二維帶阻尼項(xiàng)的時(shí)間分?jǐn)?shù)階超擴(kuò)散方程的ADI Galerkin有限元離散.我們首先提出了兩種有效的ADI Galerkin有限元格式求解帶阻尼項(xiàng)的時(shí)間分?jǐn)?shù)階超擴(kuò)散方程,其中時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為階α的Caputo導(dǎo)數(shù),α∈(1,2).這兩種離散格式在時(shí)間方向上分別基于修正L1方法和L2-1σ方法,在空間方向上基于Galerkin有限元方法.離散格式的無條件穩(wěn)定和收斂性都得到嚴(yán)格的證明.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明這兩種全離散格式在時(shí)間方向分別具有(3-α)階和2階精度.第三章研究了二維Riesz空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程的ADI Galerkin有限元離散.這個(gè)分?jǐn)?shù)階模型可理解為經(jīng)典的二維波方程的推廣.我們通過結(jié)合在時(shí)間方向上的Crank-Nicolson方法和在空間方向上的有限元方法,發(fā)展了一種有效的ADI Galerkin有限元格式求解這個(gè)分?jǐn)?shù)階模型.隨后我們?cè)谛聵?gòu)造的范數(shù)下給出了數(shù)值格式的穩(wěn)定性和收斂性分析.數(shù)值結(jié)果表明這種全離散格式具有2階時(shí)間精度.第四章研究了二維時(shí)空分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程的ADI Galerkin有限元離散.同樣,這個(gè)分?jǐn)?shù)階模型也可理解為經(jīng)典的二維波方程的推廣.類似第二章對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的離散,我們?cè)跁r(shí)間上利用修正的L1方法,在空間上利用有限元方法,并通過添加適當(dāng)?shù)男×宽?xiàng)得到有效的ADI Galerkin有限元格式.結(jié)合第三章關(guān)于分?jǐn)?shù)階Sobolev空間的討論,我們對(duì)提出的數(shù)值格式給出了嚴(yán)格的穩(wěn)定性和收斂性分析.數(shù)值結(jié)果表明這種全離散格式在時(shí)間方向具有(3-β)階精度,其中β表示時(shí)間Caputo導(dǎo)數(shù)的階數(shù)且β∈(1,2).第五章研究了一類帶周期邊界條件的時(shí)空非局部方程的漸近相容譜格式.我們首先通過構(gòu)造合適的函數(shù)空間得到了時(shí)空非局部方程的適定性,并研究了范圍參數(shù)δ和σ都趨于0時(shí),非局部方程的局部極限.隨后我們提出一種Fourier譜方法求解時(shí)空非局部方程,并證明提出的數(shù)值格式是穩(wěn)定的和漸近相容的.最后數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了理論分析.第六章簡(jiǎn)要給出了對(duì)本論文研究內(nèi)容的總結(jié)和展望.
[Abstract]:Diffusion can be seen everywhere in nature. Many scholars have pointed out that there is anomalous diffusion in nature, that is, at the microscopic scale, the stochastic process of particles is not a Brownian motion, and its mean square variance may grow faster (superdiffusion) or slower (subdiffusion) than that in Gao Si process. In this paper, the efficient and stable numerical algorithms for two-dimensional fractional order superdiffusion equations and the asymptotically consistent numerical algorithms for a class of spatio-temporal nonlocal equations with periodic boundary conditions are studied. In chapter 1, the physical background of anomalous diffusion is briefly introduced and the numerical algorithms for fractional diffusion equations are reviewed. In chapter 2, the ADI Galerkin finite element discretization of time fractional superdiffusion equations with damping term is studied. We first propose two effective ADI Galerkin finite element schemes for solving time fractional superdiffusion equations with damping terms, where the time fractional derivative is the Caputo derivative of order 偽, 偽 鈭，

本文編號(hào)：2209769