【摘要】：近代物理理論的發(fā)展毋庸置疑地需要先進(jìn)的數(shù)學(xué),理論物理學(xué)家應(yīng)該根據(jù)物理需要自己發(fā)明相應(yīng)的數(shù)學(xué),展示自己獨(dú)到的思維方式。Hermite多項(xiàng)式作為一種特殊函數(shù),在量子力學(xué)和量子光學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。例如,量子諧振子的本征態(tài)的波函數(shù)就是由Hermite多項(xiàng)式來描述。特殊函數(shù)之謂是它們有其特殊的遞推規(guī)律、并容易被記憶。Hermite多項(xiàng)式H_m(x)的集合組成了完備正交的函數(shù)空間,在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域也有一定的地位。本論文提出把Hermite多項(xiàng)式的x宗量(x是實(shí)數(shù))以量子力學(xué)的算符(坐標(biāo)算符X)來代替,稱H_m(X)為算符Hermite多項(xiàng)式,由于量子力學(xué)中的算符一般是不對(duì)易的,所以算符特殊函數(shù)本身的編序問題是一個(gè)全新的數(shù)理問題。我們結(jié)合有序算符內(nèi)的積分技術(shù),較系統(tǒng)地研究它的各種性質(zhì),給出了H_m(X)在算符排序方面的新特點(diǎn),在此基礎(chǔ)上可以導(dǎo)出若干新的算符恒等式,它們?cè)跇?gòu)建量子光學(xué)態(tài)矢量方面有重要的應(yīng)用。當(dāng)進(jìn)一步將有關(guān)H_m(X)的排序規(guī)則過渡到經(jīng)典情形,我們又得到有關(guān)Hermite多項(xiàng)式H_m(x)的廣義二項(xiàng)式定理和若干新母函數(shù)公式。算符Hermite多項(xiàng)式理論包括:1.借助算符特殊函數(shù)的新公式可找出溝通各種特殊函數(shù)之間的新關(guān)系。2.利用算符特殊函數(shù)各種編序形式及量子表象完備性可以導(dǎo)出許多有用的新積分公式(而并不需要真正地做積分)。3.可用算符特殊函數(shù)恒等式豐富量子論的表象論與變換論。4.更深刻地建立經(jīng)典函數(shù)的量子對(duì)應(yīng),有助于量子相空間理論的發(fā)展。5.發(fā)現(xiàn)若干特殊函數(shù)的新的冪級(jí)數(shù)展開及倒易關(guān)系。6.方便而直接地計(jì)算各種物理量,如矩函數(shù)、累積函數(shù)等。本文還將研究在量子糾纏中需要的雙變數(shù)Hermite多項(xiàng)式H_m,n(x,y),將算符Hermite多項(xiàng)式理論推廣到算符雙變數(shù)Hermite多項(xiàng)式,研究其性質(zhì)和應(yīng)用。本論文從物理概念與物理要求來架構(gòu)算符Hermite多項(xiàng)式理論并深入討論,注意在數(shù)學(xué)公式中把握物理,體現(xiàn)數(shù)學(xué)和物理的相輔相成。要較順利地探討算符Hermite多項(xiàng)式理論,在第一章先對(duì)我國學(xué)者范洪義發(fā)明的有序算符內(nèi)的積分技術(shù)做一介紹。在第二、三章引入算符Hermite多項(xiàng)式(單變數(shù))的理論,其核心是算符Hermite多項(xiàng)式的正規(guī)乘積和反正規(guī)乘積展開。第四章介紹如何用算符Hermite多項(xiàng)式理論導(dǎo)出Laguerre多項(xiàng)式,而以往都認(rèn)為它們是分別定義的。第五章陳述算符Hermite多項(xiàng)式的正規(guī)乘積Hn(X)= 2n::的物理應(yīng)用。第六章介紹用算符Hermite多項(xiàng)式方法推導(dǎo)含Hn(q的新二項(xiàng)式定理。第七章用算符Hermite多項(xiàng)式方法推導(dǎo)偶-和奇-厄密多項(xiàng)式的母函數(shù)公式。從第八章到第十一章介紹引入雙變數(shù)Hermitee多項(xiàng)式的途徑和建立雙變數(shù)算符Hermite多項(xiàng)式理論,并導(dǎo)出新的母函數(shù)公式等。在第十二章,鑒于Fock空間的完備性以往只能用純態(tài)展開,探討完備性能否用混合態(tài)展開?結(jié)果發(fā)現(xiàn)Fock空間可以用混合態(tài)(二項(xiàng)式態(tài)或負(fù)二項(xiàng)式態(tài))來劃分�？偠灾�,算符Hermite多項(xiàng)式理論和Fock空間的新劃分對(duì)于進(jìn)一步了解了 Fock空間的結(jié)構(gòu),豐富Fock空間的內(nèi)涵起到了積極的作用。
[Abstract]:The development of modern physics theory needn't be doubted to need advanced mathematics. Theoretical physicists should invent corresponding mathematics according to their own physical needs, display their unique way of thinking.Hermite polynomials as a special function, and have extensive applications in quantum mechanics and quantum optics. For example, the eigenstates of quantum harmonic oscillator. The wave function is described by the Hermite polynomials. The predicate of the special functions is that they have their special recursive law, and they are easy to be memorized by the set of.Hermite polynomials H_m (x), which constitute a complete orthogonal function space, and have a certain position in the field of mathematics and physics. This paper proposes the X sect of the Hermite polynomial (x is real) as a quantum force. The operator (coordinate operator X) is a substitute for the H_m (X) as the operator Hermite polynomial, because the operator in the quantum mechanics is generally not easy, so the ordering problem of the operator's special function itself is a new mathematical problem. We combine the integral techniques in the ordered operator to systematically study its various properties and give H_m (X) in the system. On the basis of the new characteristics of the operator sorting, some new operator identities can be derived. They have important applications in the construction of quantum optical state vectors. When the H_m (X) ordering rules are transitioning to the classical case, we get the generalized binomial theorem and some new parent functions of the Hermite multinomial H_m (x). Formula. The operator Hermite polynomial theory includes: 1. the new relation between various special functions can be found by the new formula of the special function of the operator..2. can derive a number of useful new integral formulas (but without real integral), the.3. can be used as a special operator, using the order forms of the special functions of the operator and the completeness of the quantum representation. Function identities rich quantum theory and transformation theory.4. more deeply establish the quantum correspondence of classical functions, help the development of quantum phase space theory,.5. find new power series expansion of some special functions and invert.6. convenient and direct calculation of various physical quantities, such as moment function, cumulative function and so on. This paper will also study The dual variable Hermite polynomials H_m, n (x, y) needed in quantum entanglement, the operator Hermite polynomial theory is generalized to the operator's double variable Hermite polynomial, and its properties and applications are studied. In this paper, the theory of the operator Hermite polynomial is constructed and discussed from physical concepts and physical requirements. The theory of the operator Hermite polynomials should be discussed smoothly. In the first chapter, the integral technique in the ordered operator invented by Chinese scholar Fan Hongyi is introduced. In the second, third chapter, the theory of the operator Hermite polynomial (single variable) is introduced, the core of which is the regular multiplication and the unconventional multiplication of the operator Hermite polynomials. The fourth chapter introduces how to derive Laguerre polynomials using the operator Hermite polynomial theory. In the past, they are considered respectively. The fifth chapter describes the physical application of the normal product Hn (X) = 2n: of the operator Hermite polynomials. The sixth chapter introduces the derivation of the Hn (Q's new binomial theorem) by the operator Hermite multinomial method. The seventh chapter The formula of the parent function of even and odd Hermite polynomial is derived by the operator Hermite polynomial method. From eighth chapters to the eleventh chapter, the way to introduce the dual variable Hermitee polynomial is introduced and the dual variable operator Hermite polynomial theory is established, and the new mother function formula is derived. In the twelfth chapter, the completeness of the Fock space can only be used in the past. How can the completeness spread in the mixed state? The results show that the Fock space can be divided into a mixed state (binomial state or negative binomial state). In a word, the operator Hermite polynomial theory and the new division of the Fock space have played an active role in further understanding the structure of the Fock space and enriching the connotation of the Fock space.
【學(xué)位授予單位】：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O431.2

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