【摘要】：微分方程理論中的一個基本問題,就是微分方程是否有解,解是否唯一.在18世紀(jì),許多數(shù)學(xué)家(如I.Newton、G.W.Leibniz、Jacob Bernoulli、Johann Bernoulli、A.C.Clairaut、L.Euler、J.L.Lagrange、J.F.Riccati、J.d’Alembert等)都嘗試過給出常微分方程的通解.但人們很快發(fā)現(xiàn),能求得通解的微分方程十分有限,這就迫使數(shù)學(xué)家們將注意力轉(zhuǎn)移到去求解滿足某些定解條件的微分方程.邊值問題是一類重要的定解問題,被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、天體力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域以及其他數(shù)學(xué)分支.1900年,D.Hilbert在巴黎第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上提出了23個數(shù)學(xué)問題,其中第20個問題就是微分方程的一般邊值問題.而二階常微分方程及邊值問題,由于其重要的科學(xué)意義和在多個領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用,一直以來備受關(guān)注.本文主要研究二階常微分方程Dirichlet邊值問題y′′+ u(x)y = h(x),(1)y(0)=0=y(1)(2)和Neumann邊值問題y′′+ u(x)y = h(x),(3)y′(0)= 0,y′(1)= 0.(4)我們知道,邊值問題(1)-(2)(或(3)-(4))的可解性與對應(yīng)的齊次方程y′′+u(x)y=0(5)滿足相應(yīng)邊界條件時是否只有零解密切相關(guān).因此,我們可以借助于下述著名的Lyapunov不等式,來給出判斷邊值問題(1)-(2)(或(3)-(4))解的存在性和唯一性的方法.定理A([42]).設(shè)u(x)是區(qū)間[a,b]上實(shí)值連續(xù)函數(shù),其中a,b∈R且ab.若Hill方程y′′+u(x)y=0(6)有滿足Dirichlet邊界條件y(a)=0=y(b)(7)的非平凡解y(x),則有并且不等式右端的常數(shù)4不能被更大的數(shù)代替.Lyapunov不等式是A.Lyapunov在研究Hill方程解的穩(wěn)定性時提出的.隨后,A.Wintner、P.Hartman、A.Beurling、R.Brown、D.Hinton、G.Borg、R.Dahiya、B.Singh、R.Ferreira、A.Ca(?)ada、J.A.Montero、S.Villegas等人在Lyapunov不等式的基礎(chǔ)上不斷改進(jìn)和推廣,得到了一系列新的Lyapunov型不等式,使其逐漸成為微分方程和差分方程理論研究的有力工具(參見[8 17,20,21,23,24,27 30,33,51,58,59]).經(jīng)典的Lyapunov不等式給出的條件雖然簡單直觀,但是對于u(x)的質(zhì)量中心不在x-軸附近以及u(x)變號時的情況,一直沒有更有效的方法.另外,僅有少量文獻(xiàn)涉及非線性二階常微分方程邊值問題的Lyapunov-型不等式的研究.本文利用最優(yōu)控制理論的辦法給出了u(x)中心不在x-軸附近以及允許u(x)變號等情況下的最優(yōu)性結(jié)果,并且將線性方程邊值問題的結(jié)論推廣到了非線性二階常微分方程的邊值問題中.這可以看作是對Lyapunov不等式的改進(jìn)和推廣.另一方面,雖然有關(guān)二階微分方程邊值問題可解性的文獻(xiàn)很多([9,19,38,39,47,48,52]),據(jù)我們所知,大多數(shù)是在局部的、非共振的情形下給出的,考慮共振、跨共振、尤其是跨多個共振點(diǎn)情況的不多,共振、跨共振時邊值問題解的穩(wěn)定性尚需進(jìn)一步研究.本文給出了方程跨多個共振點(diǎn)時,對應(yīng)的線性方程及非線性方程Dirichlet邊值問題和Neumann邊值問題解的存在性和唯一性條件.本文所開展的對跨共振的二階常微分方程的Lyapunov型不等式及其相關(guān)應(yīng)用的研究,將有助于進(jìn)一步探究二階常微分方程的解的本質(zhì)性質(zhì),豐富二階常微分方程和Lyapunov型不等式的相關(guān)理論,并推動微分方程定性理論的發(fā)展.全文共分五章.第一章介紹了常微分方程及邊值問題的研究歷史和意義,回顧了目前已經(jīng)取得的關(guān)于Lyapunov不等式以及跨共振的二階常微分方程邊值問題的研究成果,并簡要總結(jié)了本文的主要工作和意義.第二章列出了本文所涉及的有關(guān)概念和基本定理.利用最優(yōu)控制原理和不動點(diǎn)定理,我們在第三章給出了跨共振的二階常微分方程Dirichlet邊值問題的Lyapunov型不等式,改進(jìn)、推廣了已有文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)果,由此給出了跨多個共振點(diǎn)時判斷二階常微分方程Dirichlet邊值問題可解性的方法,并給出了數(shù)值算例.最后,我們將線性問題的結(jié)論推廣到非線性方程Dirichlet邊值問題中,給出了新的、容易判斷的二階非線性方程邊值問題的最優(yōu)可解性條件.基于第三章的結(jié)果,我們在第四章進(jìn)一步研究了跨共振的二階常微分方程N(yùn)eumann邊值問題,建立了相應(yīng)的Lyapunov型不等式,由此給出了跨多個共振點(diǎn)時線性方程N(yùn)eumann邊值問題的最優(yōu)可解性條件,并給出了多個例子.同樣的,我們將這些結(jié)論推廣到了非線性方程N(yùn)eumann邊值問題中.最后,我們在第五章簡要總結(jié)了本文的主要工作.
[Abstract]:In the 18th century , the existence and uniqueness of the solutions of the boundary value problems ( 1 ) - ( 2 ) ( or ( 3 ) - ( 4 )) have been widely used in physics , celestial mechanics , chemistry , biology , engineering , economics and so on . 鍊艱繛緇嚱鏁，

本文編號：2129087