本文選題：先驗(yàn)估計(jì) + 四元數(shù)Monge-Ampere方程　； 參考：《中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)》2017年博士論文

【摘要】：本文的主要內(nèi)容有兩個(gè)部分,分三章.第一部分包括第二章和第三章,分別研究了二階橢圓方程中做先驗(yàn)估計(jì)的兩種方法——下解方法和P-函數(shù)方法.第二章以四元數(shù)Monge-Ampere方程的Dirichlet問題為例,利用下解方法我們推導(dǎo)出解在一般區(qū)域上的先驗(yàn)估計(jì),并以此得到一個(gè)存在性定理.從而,我們可以回答S.Alesker在文獻(xiàn)[4]中提出的第四個(gè)問題.第三章主要考慮三維Minkowski空間中常平均曲率方程的Dirichlet問題.基于解的臨界點(diǎn)的唯一性,我們利用P-函數(shù)方法改進(jìn)文獻(xiàn)[14]中的梯度估計(jì),從而,獲得解的高度估計(jì).最后,在本文的第二部分(即第四章),我們集中討論雙曲空間中的浸入超曲面和球的區(qū)域上共形度量之間的關(guān)系,并將文獻(xiàn)[17]中的整體對(duì)應(yīng)關(guān)系推廣至二維。作為應(yīng)用,我們得到一個(gè)Liouville型定理和一個(gè)新的更強(qiáng)的Bernstein型定理.
[Abstract]:The main content of this paper has two parts, divided into three chapters. The first part includes the second chapter and the third chapter. We study two methods for the priori estimation of the second order elliptic equation, the lower solution method and the P- function method, respectively. In chapter 2, taking the Dirichlet problem of the quaternion Monge-Ampere equation as an example, we derive a priori estimate of the solution in a general domain by using the lower solution method, and obtain a existence theorem. Thus, we can answer the fourth question raised by S. Alesker in [4]. In chapter 3, the Dirichlet problem for the equation of constant mean curvature in three dimensional Minkowski space is considered. Based on the uniqueness of the critical point of the solution, we use the P- function method to improve the gradient estimation in reference [14] and obtain the height estimate of the solution. Finally, in the second part of this paper (chapter 4), we focus on the relationship between the conformal metric in hyperbolic space and the conformal metric of the sphere, and generalize the global correspondence relation in [17] to two dimensions. As applications, we obtain a Liouville type theorem and a new stronger Bernstein type theorem.
【學(xué)位授予單位】：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O175.2;O186.1

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8 周U，

本文編號(hào)：2103189