發(fā)布時間：2018-06-16 04:39

  本文選題：線性保持問題 + 張量積空間��； 參考：《哈爾濱工業(yè)大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：在理論數(shù)學(xué)中,不變量的研究占據(jù)著重要的地位。保持問題是在一個給定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上研究保持某種不變量的映射的問題。在矩陣?yán)碚撝?保持問題被明確地提出并成為矩陣?yán)碚撝械囊粋�核心研究領(lǐng)域。學(xué)者們對多種不變量的線性保持問題進(jìn)行研究,并且也從多個角度將線性保持問題進(jìn)行推廣。在2012年矩陣與算子國際會議上,時任國際線性代數(shù)協(xié)會副主席李志光教授結(jié)合量子信息科學(xué)的背景,提出在矩陣張量積空間上線性保持問題的描述方式,特別地,明確地提出了保矩陣張量積秩(更一般的,保秩1)的公開問題。該類問題將不變量的范圍限制到純張量集合,使映射的約束減少,從而期望得到更寬泛的映射的形式,但同時問題的研究也變得困難。本文圍繞矩陣張量積空間上的線性保持問題展開研究。論文研究內(nèi)容包括以下三個方面:(1)研究保矩陣張量積秩的線性映射。通過例子說明保矩陣張量積秩的線性映射一般不再是保矩陣秩的線性映射。在矩陣張量積空間上定義典范映射。對典范映射的基本性質(zhì)進(jìn)行了研究�？坍嫳＞仃噺埩糠e秩的線性映射結(jié)構(gòu),進(jìn)而解決李志光教授提出的一個公開問題。(2)研究保Hermite矩陣張量積秩1的線性映射。對Hermite矩陣張量積空間上典范映射的基本性質(zhì)進(jìn)行研究。在Hermite矩陣張量積空間中構(gòu)造純張量秩1陣的集合升鏈,得到一類由典范映射所決定的線性映射�？坍嫳ermite矩陣張量積秩1的線性單射,并舉例說明單射的必要性。(3)研究保(Hermite)矩陣張量積冪等的線性映射。通過構(gòu)造純張量冪等Hermite矩陣集合升鏈,運(yùn)用映射延拓和限制的方法,刻畫保(Hermite)矩陣張量積冪等的線性映射。作為應(yīng)用,刻畫保矩陣張量積立方冪等、M-P逆、群逆的線性映射。本文所研究的內(nèi)容是經(jīng)典線性保持問題中的兩個核心問題,保秩問題和保冪等問題,在矩陣張量積空間上的推廣。這些工作豐富了保持問題在矩陣張量積空間上的現(xiàn)有理論。
[Abstract]:In theoretical mathematics, the study of invariants occupies an important position. The maintenance problem is the problem of preserving the mapping of certain invariants on a given mathematical structure. In matrix theory, the maintenance problem is explicitly proposed and becomes a core research field in matrix theory. In this paper, the linear preserving problem of many invariants is studied, and the linear preserving problem is generalized from many angles. At the 2012 International Conference on Matrix and operators, Professor Li Zhiguang, then Vice President of the International Association of Linear Algebras, proposed a way to describe the problem of linear preservation in matrix tensor product spaces, especially in the context of quantum information science. The open problem of preserving matrix tensor product rank (more generally, rank 1) is presented. This kind of problem limits the scope of invariant to pure Zhang Liang set, reduces the constraint of mapping, and expects to obtain a broader mapping form, but at the same time, the study of the problem becomes difficult. This paper focuses on the linear preserving problem in matrix tensor product space. In this paper, we study the linear mapping preserving the rank of tensor product of matrix in the following three aspects: 1: 1. It is shown by an example that the linear mapping preserving the rank of matrix tensor product is no longer a linear mapping preserving the rank of matrix. The canonical mapping is defined on the matrix tensor product space. The basic properties of canonical mappings are studied. This paper describes the structure of linear mappings preserving the rank of tensor product of a matrix, and then solves an open problem put forward by Professor Li Zhiguang.) We study the linear mappings preserving the rank 1 of the tensor product of Hermite matrices. The basic properties of canonical mappings on tensor product spaces of Hermite matrices are studied. A set ascending chain of pure Zhang Liang rank 1 matrices is constructed in the Hermite matrix tensor product space, and a class of linear mappings determined by canonical mappings are obtained. This paper describes the linear monomorphism preserving the rank 1 of Hermite matrix tensor product, and illustrates the necessity of monomorphism. 3) the linear mapping of tensor product idempotent of preserving Hermite matrix is studied. By constructing the ascending chain of pure tensor idempotent Hermite matrices and using the method of extension and restriction of mappings, this paper describes the linear mapping of tensor product idempotent preserving Hermite matrices. As an application, we characterize the linear mappings of the M-P inverse and group inverse of the tensor product cubic idempotent inverse of the preserving matrix. In this paper, we study two core problems in classical linear preserving problem, rank preserving problem and idempotent preserving problem, which are generalized in matrix tensor product space. These work enrich the existing theory of preserving problem in matrix tensor product space.
【學(xué)位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O151.21;O183.2

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本文編號：2025361