發(fā)布時(shí)間：2018-06-01 18:57

  本文選題：兩網(wǎng)格 + 有限體積元方法　； 參考：《南京師范大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：在過(guò)去的幾十年里,對(duì)于偏微分方程數(shù)值解的逼近,人們已經(jīng)提出了各種各樣的數(shù)值求解方法,如兩網(wǎng)格方法,保結(jié)構(gòu)數(shù)值方法等.這篇論文主要討論了這些方法在某些偏微分方程中的應(yīng)用.文章首先討論了兩網(wǎng)格有限體積元方法在非線性Sobolev方程中的應(yīng)用,然后介紹了如何利用保結(jié)構(gòu)方法,如離散變分導(dǎo)數(shù)方法及哈密爾頓邊界值方法等構(gòu)造保積分的數(shù)值方法.首先,我們針對(duì)非線性Sobolev方程提出了一類兩網(wǎng)格有限體積元方法.該方法是一種基于一個(gè)粗網(wǎng)格空間及一個(gè)細(xì)網(wǎng)格空間的數(shù)值方法.我們首先在粗網(wǎng)格上以步長(zhǎng)H進(jìn)行非線性迭代得到原方程的一個(gè)近似解UH,然后在細(xì)網(wǎng)格上以步長(zhǎng)h進(jìn)行線性求解得到方程的數(shù)值解.我們對(duì)兩網(wǎng)格有限體元方法作了H1范先驗(yàn)誤差估計(jì),當(dāng)h=O(H3|ln H|)時(shí),兩網(wǎng)格有限體積元方法的收斂階為O(H3|ln H|)理論結(jié)果表明兩網(wǎng)格有限體積元方法相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)有限體積元方法更為有效.其次,我們針對(duì)哈密爾頓偏微分方程提出了一類守恒有限體積元格式.該方法是一類基于離散變分導(dǎo)數(shù)方法及有限體積元方法的數(shù)值方法.在這一章,我們首先介紹了保能量格式及保動(dòng)量格式的構(gòu)造方法,然后對(duì)其守恒性及穩(wěn)定性作了分析.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明保能量格式及保動(dòng)量格式可以保證離散不變量的精確守恒.但是,保能量方法比保動(dòng)量方法有更高的精度及更好的穩(wěn)定性.最后,我們針對(duì)哈密爾頓偏微分方程提出了一類高精度保能量方法.該方法在空間和時(shí)間方向分別采用擬譜方法和哈密爾頓邊界值方法.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明數(shù)值格式在空間可以達(dá)到譜精度,而在時(shí)間方向分別達(dá)到二階和四階精度.此外,該方法可以使離散質(zhì)量和能量的守恒性達(dá)到機(jī)器精度.
[Abstract]:In the past decades, a variety of numerical solutions to partial differential equations (PDEs) have been proposed, such as two-grid method, structure-preserving numerical method and so on. This paper mainly discusses the application of these methods in some partial differential equations. In this paper, the application of two-grid finite volume element method to nonlinear Sobolev equation is discussed, and then the method of conserving structure, such as discrete variational derivative method and Hamiltonian boundary value method, is introduced. Firstly, we propose a two-grid finite volume element method for nonlinear Sobolev equations. This method is based on a coarse mesh space and a fine grid space. We first obtain an approximate solution of the original equation UH by nonlinear iteration of step size H on a coarse mesh, and then obtain the numerical solution of the equation by a linear solution of step h on a fine mesh. We estimate the H1-norm prior error of the two-grid finite volume element method. When h=O(H3 ln H), the convergence order of the two-grid finite volume element method is O(H3 ln H). The results show that the two-grid finite volume element method is more effective than the standard finite volume element method. Secondly, we propose a class of conservative finite volume element schemes for Hamiltonian partial differential equations. This method is a kind of numerical method based on discrete variational derivative method and finite volume element method. In this chapter, we first introduce the construction method of energy preserving scheme and momentum preserving scheme, and then analyze their conservation and stability. Numerical experiments show that the energy-conserving scheme and the momentum preserving scheme can guarantee the exact conservation of discrete invariants. However, the energy preserving method has higher accuracy and better stability than the momentum preserving method. Finally, we propose a high accuracy energy preserving method for Hamiltonian partial differential equations. The pseudospectral method and the Hamiltonian boundary value method are used in the space and time directions respectively. Numerical experiments show that the spectral accuracy of the scheme can be achieved in space and the second order and the fourth order in the time direction, respectively. In addition, the conservation of discrete mass and energy can reach the accuracy of the machine.
【學(xué)位授予單位】：南京師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.82

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7 楊e，

本文編號(hào)：1965275