本文選題：退化雙曲方程 + 爆破��； 參考：《南京大學(xué)》2017年博士論文

【摘要】：在這篇論文中,我們研究半線性Tricomi方程的Cauchy問題其中t≥0,x∈Rn,n≥3以及m∈N。我們證明了存在一個臨界指標(biāo)pcrit=pcrit(m,n),使得如果1ppcrit,那么局部解在有限時間內(nèi)爆破；另一方面,如果ppcrit,則可以得到關(guān)于小初值的全局存在性結(jié)果。Tricomi方程是一類退化雙曲方程,Tricomi方程不但是數(shù)學(xué)中非常有意義的課題,同時也在物理研究中起到重要的作用。從數(shù)學(xué)家的觀點出發(fā),Tricomi方程可以看作是波方程的推廣,具有彎曲的特征錐以及在時間t=0處的退化。從物理學(xué)家的角度來看,Tricomi方程與跨音速氣流的研究之間有著密切的聯(lián)系。特別地,Tricomi方程描述了在de Laval管道當(dāng)中從亞音速(t0,橢圓區(qū)域)到超音速(t0,雙曲區(qū)域)的跨音速流,此為流體力學(xué)當(dāng)中最有趣的問題之一。近來,線性以及半線性Tricomi方程成為了許多數(shù)學(xué)家關(guān)注的焦點,對于線性和半線性Tricomi方程的Cauchy問題有廣泛的結(jié)果。例如,對于線性廣義Tricomi方程,[1],[37]以及[39]的作者精確計算了基本解。最近,[2629]的作者建立了半線性方程(?)t2u-tm△u=f(t,x,u)在退化雙曲區(qū)域以及橢圓-雙曲混合區(qū)域解的局部存在性以及奇性結(jié)構(gòu)。這里,f是一個C1函數(shù),關(guān)于z變量有緊支集。依賴于對線性方程(?)t2v-tm△v=F(t,x)的解v建立的一些Lp-Lq型估計,Yagdjian在[38]中得到了一系列有趣的結(jié)果,即當(dāng)指標(biāo)p屬于特定區(qū)間時,問題(0.0.2)解的全局存在性或爆破的結(jié)果。然而,在那篇論文中,在全局存在性區(qū)間和爆破區(qū)間之間存在一段空缺,臨界指標(biāo)pcrit(m,n)未能被確定。在這篇論文中,我們考慮Cauchy問題(0.0.1),假設(shè)ui∈C0∞(B(0,M))(i=0,1),其中B(0,M)={x:|x|＜M},M0.我們確定了臨界指標(biāo)是下面二次代數(shù)方程的正根當(dāng)1 p pcrit時,我們用試驗函數(shù)方法以及一些對于修正Bessel函數(shù)的技巧(如中那樣)導(dǎo)出爆破結(jié)果。對于p Pcrit的情況,在中作者對于線性波算子得到了基本的Strichartz估計；受此啟發(fā),我們對于廣義Tricomi算子(?)—tm△建立了加權(quán)及非加權(quán)的Strichartz估計。基于這些估計的不等式和壓縮映像原理,我們最終完成了全局存在性的證明。
[Abstract]:In this paper, we study the Cauchy problem for semilinear Tricomi equations, where t 鈮，

本文編號：1953922