本文選題：變分方法 + 臨界點(diǎn)定理��； 參考：《云南大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：本文主要使用變分方法和臨界點(diǎn)理論研究幾類非線性問題山路型單號(hào)解和變號(hào)解的存在性和多重性.全文共分為四章,第一章介紹一些背景知識(shí)和本文的研究內(nèi)容,其余各章的主要內(nèi)容分別為：第二章研究非線性Kirchhoff型方程非線性Kirchhoff型方程一直備受關(guān)注,在許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用,據(jù)我們所知,現(xiàn)有的文獻(xiàn)都是在有界區(qū)域Ω上研究其變號(hào)解.有別于此,我們?cè)赗3上研究該方程山路型正解、負(fù)解和變號(hào)解的存在性及無窮多山路型變號(hào)解的存在性.第三章研究非線性Schrodinger方程山路型單號(hào)解和變號(hào)解的存在性和多重性,當(dāng)非線性項(xiàng)h滿足適當(dāng)?shù)脑鲩L性條件和全局(AR)條件時(shí),文獻(xiàn)[22]研究了其變號(hào)解的存在性；文獻(xiàn)[105]研究了其正解、負(fù)解和無窮多變號(hào)解的存在性.相異于文獻(xiàn)[22]和[105],我們?cè)诰植?AR)條件和較弱的條件下研究了該方程山路型正解、負(fù)解和變號(hào)解的存在性及無窮多山路型變號(hào)解的存在性.這一章的結(jié)果改進(jìn)了文獻(xiàn)[22]和[105]中的結(jié)果.第四章分別研究擬線性橢圓方程擬線性Schrodinger方程和廣義擬線性Schrodinger方程山路型正解、負(fù)解、變號(hào)解及無窮多變號(hào)解的存在性.由于擬線性項(xiàng)的存在使得上述問題的相應(yīng)的能量泛函在其熟知的工作空間上沒有定義,我們不能直接對(duì)其使用變分方法.為克服這一困難,我們首先使用變量替換的方法將其轉(zhuǎn)化為半線性問題,然后以熟知的Sobolev空間作為相應(yīng)變更泛函的工作空間,在適當(dāng)?shù)臈l件下得到其山路型正解、負(fù)解和變號(hào)解的存在性.進(jìn)而,在非線性項(xiàng)h(x,t)關(guān)于第二變?cè)瞧婧瘮?shù)的情形下,得到其無窮多山路型變號(hào)解的存在性.
[Abstract]:In this paper, variational method and critical point theory are used to study the existence and multiplicity of single-sign solutions and variable-sign solutions for some nonlinear problems. This paper is divided into four chapters. The first chapter introduces some background knowledge and the main contents of this paper. The main contents of the other chapters are as follows: in chapter two, the study of nonlinear Kirchhoff equation of nonlinear Kirchhoff type equation has been paid more and more attention. It has been widely used in many fields. As far as we know, the existing literature is to study its sign solution on bounded domain 惟. Different from this, we study the existence of positive solution, negative solution and sign solution of the equation on R3, and the existence of infinite mountain path variant solution. In chapter 3, we study the existence and multiplicity of single-sign solutions and variable-sign solutions of nonlinear Schrodinger equation. When the nonlinear term h satisfies the appropriate growth condition and global AR-condition, the existence of the sign variation solution is studied in [22]. In reference [105], the existence of positive solutions, negative solutions and infinitely variable sign solutions was studied. In contrast to references [22] and [105], we study the existence of positive, negative and sign solutions and the existence of infinite mountain path variant solutions for the equation under local and weak ARs conditions. The results of this chapter improve the results in references [22] and [105]. In chapter 4, we study the existence of mountain path solutions, negative solutions, variable sign solutions and infinitely variable sign solutions for quasilinear elliptic equations with quasilinear Schrodinger equations and generalized quasilinear Schrodinger equations, respectively. Due to the existence of the quasilinear term, the corresponding energy functional of the above problem is not defined in its familiar workspace, so we can not directly use the variational method. In order to overcome this difficulty, we first use the method of variable substitution to transform it into a semilinear problem, and then take the familiar Sobolev space as the workspace of the corresponding change functional, and obtain its mountain path positive solution under appropriate conditions. Existence of negative solution and sign change solution. Furthermore, in the case that the second variable is an odd function, the existence of an infinite number of mountain path variant solutions is obtained.
【學(xué)位授予單位】：云南大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O175

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本文編號(hào)：1896716