本文選題：后驗誤差估計 + 健壯性�。� 參考：《鄭州大學》2017年博士論文

【摘要】：本文主要研究對流擴散問題非協(xié)調(diào)有限元逼近的殘量型后驗誤差估計.針對一系列的穩(wěn)定化有限元方法,我們在統(tǒng)一的框架下推導了半健壯的和健壯的后驗誤差估計,并將此理論結果推廣到四邊形單元情形.對于半健壯的后驗誤差估計,我們采用通常的能量范數(shù)來度量誤差.在一個抽象的理論框架下,我們得到了對流擴散問題有限元逼近誤差的一般分解式.在這個誤差分解式中,誤差被分解為三部分:殘量誤差項,相容誤差項以及非協(xié)調(diào)誤差項.事實上,對于各種協(xié)調(diào)和非協(xié)調(diào)離散格式,這三種類型的誤差項是固定的,其中只有相容誤差項的估計依賴于具體的離散格式,而其它項可以用統(tǒng)一的方式來估計.特別地,對于協(xié)調(diào)逼近,非協(xié)調(diào)誤差項自動消失.我們在通常的能量范數(shù)意義下證明了殘量型估計子的可靠性和有效性,但在誤差下界中出現(xiàn)的常數(shù)因子與擴散系數(shù)和單元尺寸相關.只有當單元尺寸與擴散系數(shù)相比足夠小時,該因子是有界的,因此所推導的誤差估計子在通常的能量范數(shù)意義下是半健壯的.對于健壯的后驗誤差估計,我們需要引入一個合適的范數(shù)來度量誤差.為此,我們在原始能量范數(shù)的基礎上引入了對流項對應的離散對偶半范數(shù)以及非協(xié)調(diào)有限元解在網(wǎng)格單元邊(或面)上的加權跳躍,其中權重與單元尺寸相關.與半健壯后驗估計類似,我們在改進的能量范數(shù)意義下給出了誤差的一般分解式,從而將誤差分解為殘量誤差項,相容誤差項以及非協(xié)調(diào)誤差項三部分.我們在改進的能量范數(shù)意義下證明了殘量型估計子的可靠性和有效性,并且誤差上下界中出現(xiàn)的常數(shù)因子與擴散系數(shù)和單元尺寸都無關,因此所推導的誤差估計子在改進的能量范數(shù)意義下是健壯的.以上所有的工作首先是針對單純形網(wǎng)格展開的.所得到的后驗誤差估計理論既適用于多種協(xié)調(diào)的穩(wěn)定化方法,包括流線-擴散方法,連續(xù)內(nèi)部懲罰方法,子網(wǎng)格粘度方法等,也適用于多種非協(xié)調(diào)的穩(wěn)定化方法,包括非協(xié)調(diào)流線-擴散方法,非協(xié)調(diào)面懲罰和內(nèi)部懲罰方法,非協(xié)調(diào)子網(wǎng)格粘度方法等.然后我們將上述結果推廣到四邊形單元情形,并建立了統(tǒng)一的理論框架.在特定的條件下,這一理論框架可以得到殘量型誤差估計子在通常能量范數(shù)意義下的半健壯性,以及改進能量范數(shù)意義下的健壯性,能夠同時適用于非協(xié)調(diào)三角形單元和四邊形單元,例如Crouzeix-Raviart元,非協(xié)調(diào)旋轉Q1元以及帶約束的旋轉Q1元等.基于不同范數(shù)意義下的誤差分解,后驗誤差估計的關鍵是存在一個具有一些基本性質的有界線性算子以及在不同離散格式下相容誤差項的估計.最后,數(shù)值實驗表明了殘量型誤差估計子的可靠性,有效性以及健壯性.
[Abstract]:In this paper, a remanent posteriori error estimation of nonconforming finite element approximation for convection-diffusion problems is studied. For a series of stable finite element methods, we derive semi-robust and robust posteriori error estimates under the unified framework, and extend the theoretical results to quadrilateral element cases. For semi-robust posteriori error estimation, we use the usual energy norm to measure the error. In an abstract theoretical framework, we obtain a general decomposition formula of the finite element approximation error for convection-diffusion problems. In the error decomposition formula, the error is decomposed into three parts: residual error term, consistent error term and non-conforming error term. In fact, for all kinds of concordant and non-conforming discrete schemes, these three types of error terms are fixed, in which only the estimation of compatible error terms depends on the specific discrete scheme, while the other terms can be estimated in a uniform manner. In particular, for concordant approximation, the non-conforming error term automatically disappears. We prove the reliability and validity of the residual estimator in the sense of ordinary energy norm, but the constant factor in the error lower bound is related to the diffusion coefficient and the size of the element. This factor is bounded only if the element size is small enough compared with the diffusion coefficient, so the error estimator derived is semi-robust in the sense of the usual energy norm. For robust posteriori error estimation, we need to introduce an appropriate norm to measure the error. Based on the original energy norm, we introduce the discrete dual semi-norm corresponding to the convection term and the weighted jump of the non-conforming finite element solution on the edge (or surface) of the grid element, in which the weight is dependent on the size of the element. Similar to the semi-robust posteriori estimation, we give a general decomposition of the error in the sense of the improved energy norm, and then decompose the error into three parts: the residual error, the compatible error and the non-conforming error. In the sense of the improved energy norm, we prove the reliability and validity of the residual estimator, and the constant factor in the upper and lower bounds of the error is independent of both the diffusion coefficient and the unit size. Therefore, the error estimator derived is robust in the sense of improved energy norm. All the above work is based on simplex mesh. The theory of posteriori error estimation is applicable to many kinds of coordinated stabilization methods, including streamline diffusion method, continuous internal penalty method, subgrid viscosity method, etc. It includes non-conforming streamline diffusion method, non-conforming surface penalty method and internal penalty method, non-conforming sub-grid viscosity method and so on. Then we extend the above results to the quadrilateral element case and establish a unified theoretical framework. Under certain conditions, we can obtain the semi-robustness of the residual error estimator in the sense of ordinary energy norm, and improve the robustness in the sense of energy norm. It can be applied to both non-conforming triangular element and quadrilateral element, such as Crouzeix-Raviart element, non-conforming rotation Q1 element and constrained rotated Q1 element, etc. Based on the error decomposition in the sense of different norms, the key of posteriori error estimation is the existence of a bounded linear operator with some basic properties and the estimation of compatible error terms in different discrete schemes. Finally, numerical experiments show the reliability, validity and robustness of the residual error estimator.
【學位授予單位】：鄭州大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O241.82

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本文編號：1889808