本文選題：非牛頓流 + 真空��； 參考：《吉林大學(xué)》2017年博士論文

【摘要】：我們考慮下列一維帶有真空和外力的可壓縮非牛頓流體方程:其中t≥0,x∈R,μ00,p2,未知函數(shù)ρ=ρ(x,t),u=u(x,t)和π(ρ)=Aργ(A0,γ1)分別被定義為密度、速度和壓力.不失一般性,設(shè)A=1.我們考慮(ρ,u)趨于無窮遠(yuǎn)處的柯西問題.對(duì)于給定的初始函數(shù),我們要求ρ(x,0)=ρ0(x),u(x,0)=u0(x),x∈R.(2)流體的運(yùn)動(dòng)被外力f(t,x,u)所驅(qū)動(dòng).假設(shè)f=f(t,x,y),f(t,x,y)∈C∞(0,1]×(-∞,+∞)×(-∞,+∞).我們引入記號(hào)h_1(t,x,y)為f(t,x,y)對(duì)于t位置的導(dǎo)數(shù),即h_1(t,x,y)=?[f(t,x,y)]?t.h_2(t,x,y)為f(t,x,y)對(duì)于x位置的導(dǎo)數(shù),即h_2(t,x,y)=(?[f(t,x,y)])/?x.h_3(t,x,y)為f(t,x,y)對(duì)于y位置的導(dǎo)數(shù),即h_3(t,x,y)=(?[f(t,x,y)])/?y.并且g(t,x)為已知函數(shù).我們假設(shè)f=f(t,x,y)對(duì)于所有的A和(t,x,y)∈(0,1]×(-∞,+∞)×(-∞,+∞),滿足下列結(jié)構(gòu)條件條件:其中c1,c2,c3,c4,c5,c6均為給定正常數(shù).H_1(t,x)≥0,H_2(t,x)≥0,H_3(t,x)≥0,(t,x)∈(0,1]×(-∞,+∞)為已知函數(shù)并且滿足下列條件:其中q≥p為給定正常數(shù),并且c7,c8,c9,c10均為給定正常數(shù).我們得到如下結(jié)果:定理1假設(shè)(3)-(4)成立.進(jìn)一步假設(shè)初始值(ρ0,u0)滿足,其中(t,x)∈(0,T0]×R.進(jìn)而,對(duì)于常數(shù)p2,q≥p.假設(shè)ρ0滿足Φρ_0∈L~1(R)∩H~1(R)∩W~(1,q)(R),其中,ζ_0是一個(gè)正常數(shù).則存在正時(shí)間T0(T0≤1)使得問題(1)-(2)在R×(0,T0]上有唯一強(qiáng)解(ρ,u)并且滿足更進(jìn)一步,有,對(duì)于某正常數(shù)N0,并且.首先,我們要對(duì)(1)-(2)初邊值問題的解,也就是逼近方程的解進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì).引入ψ的定義如下然后,經(jīng)過計(jì)算可知,存在正常數(shù)T0和M使得,和,由上述估計(jì)再結(jié)合截?cái)嗉夹g(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化證明方法得到定理1的結(jié)果.在遠(yuǎn)場(chǎng)密度為真空,并且在沒有相容性條件的情況下,柯西問題(1)-(2)的局部強(qiáng)解仍然是一個(gè)公開問題.在沒有相容性條件的情況下,除本文外,到目前為止未發(fā)現(xiàn)有關(guān)柯西問題(1)-(2)的局部強(qiáng)解的文獻(xiàn).我們受文獻(xiàn)[20]的啟發(fā)采用包括能量估計(jì)在內(nèi)的一些技巧,不但克服了真空和外力項(xiàng)帶來的困難,而且還克服了沒有相容性條件而帶來的實(shí)質(zhì)性困難,證明了一類強(qiáng)解的存在唯一性.進(jìn)一步說,與文獻(xiàn)[1]相比較,本文的優(yōu)點(diǎn)為證明是在沒有相容性條件的情況下完成的,并且我們得到了一維全空間上的結(jié)果.當(dāng)然,我們也要克服外力項(xiàng)的困難.與文獻(xiàn)[20]相比較,本文研究的問題(1)具有強(qiáng)非線性性,這也是我們面臨的另一個(gè)困難.文獻(xiàn)[20]的作者運(yùn)用Hardy型和Poincar(?)型不等式,用∥ρ1/2u∥L~2(R~2)和∥ux∥L~2(R~2)項(xiàng)來界定u的Lp(R2)范數(shù).受其啟發(fā),我們運(yùn)用類似的方法,用∥ux∥Lp(R)和∥ρ1/2u∥L2(R)項(xiàng)來界定u的Lk(R)(kp)范數(shù).事實(shí)上,在R中應(yīng)用Sobolev嵌入定理要比在R2中應(yīng)用困難的多,原因是R空間中的緊嵌入結(jié)果要比R2中少的多.鑒于上述原因,我們采用截?cái)嗉夹g(shù)來得到局部強(qiáng)解的存在性,并進(jìn)一步得到唯一性結(jié)果.
[Abstract]:We consider the following one dimensional compressible nonNewtonian fluid equations with vacuum and external forces: where t 鈮，

本文編號(hào)：1836537