本文選題：代數(shù)domain + 代數(shù)L-domain�。� 參考：《湖南大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：20世紀70年代,圖靈獎獲得者Dana Scott提出了Domain理論,它在計算機程序設(shè)計語言中有重要作用。在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域,Lawson,Stralka等人在格序結(jié)構(gòu)研究中定義了一種特殊性質(zhì)的完備格。很快他們發(fā)現(xiàn),這種完備格恰好就是Scott提出的連續(xù)格。這一結(jié)果引起研究者們廣泛關(guān)注,刺激了Domain理論迅速發(fā)展。Domain理論是計算機科學(xué)和拓撲學(xué),格論,范疇理論的交叉領(lǐng)域,是一個內(nèi)涵豐富的研究領(lǐng)域。經(jīng)過四十多年發(fā)展,這一理論取得豐富成果同時,也有不少問題以待研究。Domain理論一個重要研究課題是各類domain子結(jié)構(gòu)的具體表示理論,例如拓撲刻畫、閉包系統(tǒng)刻畫、信息系統(tǒng)表示等等。1982年,Scott介紹了信息系統(tǒng)和逼近態(tài)射的概念。Larsen和Winskel證明了信息系統(tǒng)范疇和以連續(xù)函數(shù)為態(tài)射的Scott domain范疇等價,即找到了Scott domain的信息系統(tǒng)表示。隨后,1993年Hoofman給出了有界完備domain的信息系統(tǒng)表示。至于連續(xù)domain的信息系統(tǒng)表示問題,直到2008年才由Spreen和徐羅山教授解決,他們將之稱為一般連續(xù)信息系統(tǒng)。在此基礎(chǔ)上,他們還得到了一般代數(shù)信息系統(tǒng)作為代數(shù)domain的表示。由連續(xù)domain和連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的范疇不是笛卡爾閉的,所以尋找它的極大笛卡爾閉滿子范疇是Domain理論的一個重要研究工作。Coquand和Jung各自獨立提出L-domain的概念。Jung還證明L-domain范疇正是一般domain的極大笛卡爾閉滿子范疇。因此,L-domain的研究有著重要的意義。在一般連續(xù)信息系統(tǒng)基礎(chǔ)上,Spreen給出了一個L-domain的信息系統(tǒng)刻畫。然而,此信息系統(tǒng)有太多規(guī)則,略顯復(fù)雜。本文給出兩個新的信息系統(tǒng),并證明它們分別是代數(shù)domain,代數(shù)L-domain的信息系統(tǒng)表示。本文給出的第一個概念是代數(shù)信息系統(tǒng),它是代數(shù)domain的信息系統(tǒng)表示。這個信息系統(tǒng)基于代數(shù)domain的緊元基為研究對象,所提出的規(guī)則更簡潔。在代數(shù)信息系統(tǒng)上,我們構(gòu)造出逼近映射作為它們之間的態(tài)射,并且證明所有代數(shù)信息系統(tǒng)和逼近映射構(gòu)成一個范疇。并且,通過定義代數(shù)domain范疇和代數(shù)信息系統(tǒng)范疇之間的函子,兩者的范疇等價關(guān)系也被驗證。在代數(shù)信息系統(tǒng)規(guī)則上,通過增加一個條件,我們提出代數(shù)L-信息系統(tǒng)新概念。同樣地,代數(shù)L-信息系統(tǒng)和逼近映射也構(gòu)成一個范疇,稱之為代數(shù)L-信息系統(tǒng)范疇,本文證明代數(shù)L-信息系統(tǒng)范疇和代數(shù)L-domain范疇等價。本文第二個重要工作為L-domain的信息系統(tǒng)表示。由于L-domain具有局部上確界,此概念是信息系統(tǒng)表示的難點,所以想要簡潔刻畫L-domain很難。我們發(fā)現(xiàn),如果構(gòu)造出的信息系統(tǒng)滿足任意基,則信息系統(tǒng)刻畫的復(fù)雜性難以避免。因此,我們以L-domain的一種特殊基作為研究對象,提出了L-信息系統(tǒng)的概念。它提供了L-domian的具體表示,且規(guī)則較少,比較簡潔。隨后,我們在L-信息系統(tǒng)之間也給出了逼近映射,并且證明L-信息系統(tǒng)范疇和L-domain范疇兩者等價。格序結(jié)構(gòu)的集合刻畫是一個熱點研究課題。早在上世紀初,Stone就發(fā)現(xiàn)了任意一個布爾格都和某一個完全不連通拓撲空間的既開又閉子集同構(gòu),并稱這個完全不連通拓撲空間為Stone空間。Priestley將Stone的結(jié)論推廣到有界分配格上,得到了與之對應(yīng)的Priestley空間。在domain理論中,集合上代數(shù)閉包空間可以用來重構(gòu)和刻畫代數(shù)格。另一個眾所周知的結(jié)論是任意連續(xù)格和某個集合上保方向并的投射算子映射象同構(gòu)。最近,郭蘭坤和李慶國教授提出F-擴張閉包空間概念,這提供了代數(shù)domain的一種表示方法。本文在代數(shù)閉包空間基礎(chǔ)上,引入單點分離閉集概念,它提供了一種重構(gòu)代數(shù)domain的新途徑。接著,一種特殊代數(shù)閉包空間,稱為代數(shù)L-閉包空間被引入,它提供了代數(shù)L-domain的集合表示方法。另外,我們還提出代數(shù)逼近映射的概念,作為前面兩類閉包空間恰當?shù)膽B(tài)射。從范疇角度考慮,我們得到以代數(shù)逼近映射為態(tài)射的代數(shù)閉包空間范疇(對應(yīng)地,代數(shù)L-閉包空間)和以連續(xù)函數(shù)為態(tài)射的代數(shù)domain范疇(對應(yīng)地,代數(shù)L-domain)是范疇等價。
[Abstract]:Domain theory is an important research task for domain theory . In 1982 , the concept of domain theory is presented by Lawson , Stralka et al . In this paper , we propose the concept of L - domain , which provides a new way to reconstruct algebraic domain .

【學(xué)位授予單位】：湖南大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O153.1

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本文編號：1782919