發(fā)布時(shí)間：2018-03-30 11:54

  本文選題：全純尖形式　切入點(diǎn)：Mass尖形式　出處：《山東大學(xué)》2017年博士論文

【摘要】：在素?cái)?shù)論中,對(duì)于任意給定的一個(gè)算術(shù)函數(shù)an,一個(gè)基本而又重要的問(wèn)題是研究它在指數(shù)和中的抵消情況.模形式傅里葉系數(shù)的分布作為當(dāng)今數(shù)論中一個(gè)熱門而又重要的課題,關(guān)于其最新研究進(jìn)展將揭示著人們對(duì)模函數(shù)的認(rèn)識(shí).人們?yōu)榱搜芯磕：瘮?shù),往往會(huì)考察其傅里葉系數(shù)在素變量指數(shù)和中的抵消.設(shè)f是SL(2,Z)上的一個(gè)本原(全純或Maass)尖形式.并且用af(n)來(lái)記f的第n個(gè)正規(guī)化的傅里葉系數(shù).我們將在本文考察af(n)在如下指數(shù)和中的估計(jì)其中α ∈ R,∧(n)是vonMangoldt函數(shù),t:R →C是一算術(shù)函數(shù).最近,Fouvry和Ganguly[8]研究了 faf(n)在素變量線性指數(shù)和中的振蕩情況.他們證明了存在一個(gè)有效的常數(shù)c0,使得對(duì)于任意的α ∈R其中暗含的常數(shù)僅依賴于尖形式f.在第一章,我們將建立af(n)在二次指數(shù)和中的估計(jì).定理1設(shè)f是SL(2,Z)上的一個(gè)本原尖形式.設(shè)αf(na)是f的第n個(gè)正規(guī)化的傅里葉系數(shù).設(shè)N ≥ 2.那么存在一個(gè)絕對(duì)有效的正常數(shù)c,使得對(duì)于任意的α,β ∈ R,存在一個(gè)有效的常數(shù)C(f)0,使得作為定理的應(yīng)用,我們考慮表素?cái)?shù)平方的二次華林-哥德巴赫問(wèn)題.華羅庚[17]證明了每一充分大的正整數(shù)同余于5(mod 24)均可表成五個(gè)素?cái)?shù)的平方和,其表法個(gè)數(shù)的階為N3/2/log5 N,且對(duì)于一般的s≥5這里C = C(s)0是絕對(duì)常數(shù),(?)s(N)是奇異級(jí)數(shù).我們證明了一個(gè)比上面漸進(jìn)式中的余項(xiàng)還要好的上界估計(jì).推論1設(shè)尖形式f和系數(shù)af(n)如定理1所示.那么存在一個(gè)有效的正常數(shù)c,使得對(duì)于任意的N≥4和任意的≥ 5,一致地有其中暗含的常數(shù)僅依賴于尖形式f.在第二章,我們將考慮S L(3,Z)上Hecke-Maass尖形式的傅里葉系數(shù)在線性指數(shù)和中的估計(jì).我們致力于研究SL(3,Z)上自守L-函數(shù)的系數(shù)扭乘一個(gè)加性特征e(α)=e2πiα的素?cái)?shù)定理.關(guān)于在素變量上的討論,目前人們?cè)谶@方面還沒(méi)有任何進(jìn)展.我們將首次給出一個(gè)上界不依賴于參量α的一致估計(jì).這也是自守形式理論在經(jīng)典數(shù)論問(wèn)題中的一次成功實(shí)踐.定理2設(shè)F是SL(3,Z)上的一個(gè)Hecke-Maass尖形式.設(shè)AF(n,1)是F的第(n,1)個(gè)正規(guī)化的傅里葉系數(shù).設(shè)N ≥ 2.那么存在一個(gè)絕對(duì)有效的正常數(shù)c,使得對(duì)于任意的α∈ R,存在一個(gè)有效的常數(shù)C(F)0,使得作為定理的應(yīng)用,我們考慮Vinogradow三素?cái)?shù)定理.我們證明了以下推論:推論2設(shè)尖形式F和系數(shù)AF(n,1)如定理2所示.那么存在一個(gè)有效的正常數(shù)c,使得對(duì)于任意的N≥4和任意的復(fù)序列(αa)a≥1和(βb)b≥1,一致地有其中-暗含的常數(shù)僅依賴于尖形式F.特別地,我們有SL(3,Z)上Hecke-Maass尖形式的Vinogradow三素?cái)?shù)定理類比(參見(jiàn)文[49]):和中每一個(gè)都等于(?),對(duì)某個(gè)常數(shù)c0一致成立,其中大O里暗含的常數(shù)僅依賴于尖形式F.本文另一個(gè)研究的問(wèn)題是涉及尖形式傅里葉系數(shù)的非線性指數(shù)和問(wèn)題.在第三章,我們將給出SL(2,Z)尖形式以及SL(2,Z)尖形式對(duì)稱平方提升的傅里葉系數(shù)關(guān)于這些問(wèn)題在素變量上的討論.進(jìn)而推廣了趙良軼的工作[52]和皮慶華、孫慶峰的工作[35].定理3設(shè)f是SL(2,Z)上的一個(gè)本原尖形式.設(shè)af(n)是f的第n個(gè)正規(guī)化的傅里葉系數(shù).設(shè)N ≥ 2.那么存在一個(gè)絕對(duì)有效的正常數(shù)c,使得對(duì)于任意的0α≤l/2和任意的η≠0,我們有其中暗含的常數(shù)依賴于f,α和η.進(jìn)一步,假設(shè)廣義黎曼猜想對(duì)L(f,s)成立,上式右邊的界可改為N(1+α)/2.定理4設(shè)f是SL(2,Z)上的一個(gè)本原尖形式.設(shè)af(n)是f的第n個(gè)正規(guī)化的傅里葉系數(shù).設(shè)F是尖形式f的對(duì)稱平方提升sym2f,并用AF(n,1)來(lái)指代F的第(n,1)個(gè)正規(guī)化的傅里葉系數(shù).那么對(duì)于任意的0α(3+(?))/8和任意的η≠0,我們有其中暗含的常數(shù)依賴于F,η和ε.作為數(shù)論中一個(gè)基本而又重要的算術(shù)函數(shù),莫比烏斯函數(shù)μ(n)的研究也備受關(guān)注.最近,皮慶華、孫慶峰[36]證明了,對(duì)于SL(2,Z)上的一個(gè)原純尖形式f和任意的η≠0其中暗含的常數(shù)依賴于f和η.在第三章,我們考慮更一般的情形,得到了以下定理:定理5設(shè)f是SL(2,Z)上的一個(gè)全純或Maass尖形式.設(shè)qf(n)是f的第n個(gè)正規(guī)化的傅里葉系數(shù).設(shè)N ≥ 2.那么存在一個(gè)絕對(duì)有效的正常數(shù)c,使得對(duì)于任意的0α ≤ 1/2和任意的η≠0,我們有其中暗含的常數(shù)依賴于f,77和α.進(jìn)一步,設(shè)F是尖形式f的對(duì)稱平方提升sym2f.那么存在一個(gè)絕對(duì)有效的正常數(shù)c,使得對(duì)于任意的0α4/9,任意的η≠0和任意的ε0,我們有其中暗含的常數(shù)依賴于F,η,α和ε.
[Abstract]:In the theory of prime numbers , for any given arithmetic function an , a basic and important problem is to study its cancellation in exponential sum . In chapter 2 , we consider Vinogradow ' s triple prime theorem . In chapter 3 , we will give the Fourier coefficients of the symmetric square of the symmetric square in the form of SL ( 2 , Z ) and SL ( 2 , Z ) . Let f be a normal number c on SL ( 2 , Z ) . Let F be a basic and important arithmetic function of f . Let F be a basic and important arithmetic function on SL ( 2 , Z ) .

【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O156

【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前1條

1 ;Resonance between automorphic forms and exponential functions[J];Science China(Mathematics);2010年09期

，

本文編號(hào)：1685803