本文選題：弱收斂　切入點(diǎn)：廣義秩序統(tǒng)計(jì)量　出處：《華中師范大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：Kamps(1995a)提出了一種被稱為廣義次序統(tǒng)計(jì)量的新理論方法,這種新方法包含了常見的次序統(tǒng)計(jì)量、序貫次序統(tǒng)計(jì)量和累進(jìn)Ⅱ型刪失次序統(tǒng)計(jì)量、記錄值、k位記錄值和Pfeifers記錄值。廣義次序統(tǒng)計(jì)量提供了一個(gè)可以應(yīng)用于結(jié)構(gòu)相似或類似的情形的通用方法,它可以將子模型的已有結(jié)果納入、推廣甚至整合在一個(gè)統(tǒng)一的框架內(nèi)。而且,常見的次序統(tǒng)計(jì)量的推斷性質(zhì)和分布性質(zhì)依然被廣義次序統(tǒng)計(jì)量保留了下來,詳情請參考Kamps(1995a,b)和Cramer and Kamps(2001).因此,廣義次序統(tǒng)計(jì)量為分析和描述實(shí)際問題提供了一大類模型,該模型具有許多有趣而且有用的性質(zhì)�；谶@個(gè)理由,關(guān)于廣義次序統(tǒng)計(jì)量的分布理論以及它們的性質(zhì)能否像常見的次序統(tǒng)計(jì)量一樣類似方式來獲得是一個(gè)值得研究的問題。常見的次序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)已被廣泛研究,可參考David(1981),Arnold etal.(1992)以及Balakrishnan and Rao(1998a,b)的工作。極值理論是一種主要的建模工具,也能用于統(tǒng)計(jì)評價(jià)。極值理論關(guān)注一個(gè)隨機(jī)變量集合中的最大值或最小值,這里被研究的隨機(jī)變量要么來自實(shí)際觀測,要么來自于用于描述一個(gè)模型里的一些假設(shè)量。因此,極值理論不只是研究次序統(tǒng)計(jì)量的最小值或最大值,也研究在某些情況下會失去價(jià)值的極限值,例如,宇宙飛船可以因第一個(gè)失效的基礎(chǔ)部件而墜毀。由于數(shù)學(xué)本身的需要和適應(yīng)于應(yīng)用前景領(lǐng)域拓展的需要,許多極值模型已經(jīng)被提出,而在這些模型中經(jīng)典模型的假設(shè)已經(jīng)不再適用了。我們研究的主要目的在于聚焦最成熟的一類極值模型,在這類模型中極值都基于一個(gè)帶有隨機(jī)樣本容量的隨機(jī)抽樣。事實(shí)上,在許多極值的應(yīng)用中,樣本容量常常是一個(gè)隨機(jī)變量。或許對于這一現(xiàn)象一個(gè)重要原因是在許多生物學(xué)、農(nóng)業(yè)和某些質(zhì)量控制問題中,固定樣本容量幾乎是不可能的,因?yàn)樵S多觀測往往會因?yàn)楦鞣N各樣的原因而被遺漏。此外,隨機(jī)樣本容量也很自然地出現(xiàn)在序貫分析、分支過程、損害模型、點(diǎn)過程的稀疏以及最大記錄值的研究中,同時(shí)在應(yīng)用模型中引入隨機(jī)樣本容量能夠讓使用者在不同的情形選擇不同的樣本容量,請參考Galambos(1978,1987)的工作。在最早的例子中,隨機(jī)樣本容量是由于問題本身而產(chǎn)生的,因此統(tǒng)計(jì)學(xué)家不能控制樣本容量和潛在隨機(jī)變量之間的相關(guān)性。另一方面,如果引入隨機(jī)樣本容量作為一個(gè)模型的推廣(主要是為了統(tǒng)計(jì)推斷),人們通常會假設(shè)它與潛在隨機(jī)變量是獨(dú)立的。許多統(tǒng)計(jì)模型都假設(shè)你有樣本觀測值,這些觀測值來自于同一個(gè)分布,而感興趣的就是去建模這個(gè)分布。如果你實(shí)際上獲得的數(shù)據(jù)是來自于不同的分布,而你又沒有信息可以識別出哪一個(gè)數(shù)據(jù)出自哪一個(gè)分布,那么標(biāo)準(zhǔn)的模型往往會有助于你。但是,有限混合模型可能會讓你看到希望。這種模型采用參數(shù)分布的混合形式來模擬數(shù)據(jù),并且對每一個(gè)觀測值,能同時(shí)估計(jì)出各個(gè)分布的參數(shù)以及它屬于不同分布成分的概率。本博士論文的主要研究可以分為兩個(gè)部分:第一部分研究了在樣本容量被假定為正整數(shù)值隨機(jī)變量時(shí),廣義次序統(tǒng)計(jì)量的某些重要函數(shù)的漸近性質(zhì)。第二部分研究了在獨(dú)立但不同分布的隨機(jī)向量的多元有限混合模型下,線性標(biāo)準(zhǔn)化最大值的漸近分布。本文的大綱如下:第一章:在這一章里,我們簡要地介紹了次序隨機(jī)變量和廣義次序統(tǒng)計(jì)量的基本概念,這些概念有助于讀者閱讀本文余下章節(jié)研究內(nèi)容。本章還討論了極值常見次序統(tǒng)計(jì)量和廣義次序統(tǒng)計(jì)量的漸近理論及其對偶性質(zhì),介紹了常見次序統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)的漸近理論,如偽極差、偽中極差、極值熵和極值積,解釋了帶有隨機(jī)指標(biāo)的極值以及獨(dú)立但不同分布的隨機(jī)變量的極限理論。最后,我們研究了對于常見次序統(tǒng)計(jì)量、廣義次序統(tǒng)計(jì)量及其對偶的樣本容量與標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù)之間的關(guān)系。第二章:在這一章里,我們給出了基于廣義次序統(tǒng)計(jì)量和對偶廣義次序統(tǒng)計(jì)量的非隨機(jī)標(biāo)準(zhǔn)條件下帶有隨機(jī)指標(biāo)的極值積和極值率的極限分布函數(shù)。而且,本章也考慮了在隨機(jī)和非隨機(jī)指標(biāo)模型下給出相同的漸近結(jié)論。我們給出了一些說明性的例子,它們進(jìn)一步支持我們的理論結(jié)果。第三章:在這一章里,我們給出了在隨機(jī)樣本容量下,基于廣義次序統(tǒng)計(jì)量的偽極差和偽中極差的極限分布函數(shù)。對許多最重要的分布函數(shù),我們給出一些說明性的例子,它們進(jìn)一步支持我們的理論結(jié)果。第四章:在這一章里,我們研究了獨(dú)立但不同分布的有限混合模型的線性標(biāo)準(zhǔn)化最小值和最大值的漸近分布。本章主要考慮兩種情形:在第一種情形下,我們同時(shí)獲得了弱收斂的充分條件和極限形式;在第二種情形下,我們給出了當(dāng)混合模型的成分有不同的線性標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)弱收斂的充分條件。同時(shí),我們也給出了一些例子。第五章:在這一章里,我們研究了獨(dú)立但不同分布隨機(jī)向量的多元有限混合模型線性標(biāo)準(zhǔn)化最大值的漸近分布,同時(shí)也獲得了弱收斂的充分條件和極限形式。此外,我們還推導(dǎo)了當(dāng)混合模型的不同成分有不同的線性標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)弱收斂的充分條件,并給出了一些解釋性例子,這些例子進(jìn)一步支持我們的理論結(jié)果。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：華中師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O212

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本文編號：1653587