本文關(guān)鍵詞：β-展式的若干研究　出處：《華中科技大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：實數(shù)的展開理論是數(shù)論中的中心問題,與度量數(shù)論、動力系統(tǒng)、分形幾何、詞上組合等數(shù)學(xué)領(lǐng)域均密切相關(guān).本人研究實數(shù)的口展式中的若干問題,著重考慮了多字母情形下β展式的周期唯一性問題,與廣義黃金分割數(shù)下具有可數(shù)展式的實數(shù)的刻畫等.論文分為五章,組織如下：在第一章中,我們介紹了動力系統(tǒng)和數(shù)的展式的發(fā)展以及相關(guān)問題的背景.第二章則主要給出了β-展式的定義、性質(zhì),以及各個問題所需要的預(yù)備知識.在接下來的兩章中,分別對上面兩個問題進行了詳細的研究.在第三章中,在字符為0,1...,m對任意的自然數(shù)n∈N,我們考慮了使得某元素的β展式是唯一的且周期的,并且最小周期是n的基β所構(gòu)成的集合,也就是其中,Ωβ,m。是在字符集為{0,1...,m)時唯一展式的集合,Pn表示最小周期為n的純周期的展式的集合.我們回答了Baker提出的問題.Allouche,Clarke,Sidorov[2]證明了在字符為0,1時,對任意的n≥2存在一列數(shù)βn使得集合Pn,1等于(βn,2).更重要的是,他們還證明了βkβl當且僅當在Sharkovskii序中k在l的前面.在該章中,我們研究了一般字符集時的情形.當m為奇數(shù)時上述結(jié)論可以直接推廣；但當m為偶數(shù)時情況變得比較復(fù)雜,我們不可能直接推廣.通過把問題提升到一個大字符集上,然后投影回原字符集,我們得到相應(yīng)的結(jié)論.在第四章中,我們刻畫了在固定基下恰好有可數(shù)多個展式的元素的集合,我們回答了Baker提出的開問題Sidorov,Vershik[3]證明了在基G-(?)并且字符為0,1的情況下,數(shù)字x=nG mod1(n∈Z)恰好有可數(shù)多個展式,然而區(qū)間(0,1/G-1)中的其他元素有不可數(shù)多個展式.在該章中,我們考慮廣義黃金分割數(shù)β=g(m)時的情況.證明了在字符集為{0,1...,m)時,如果m=2k+1,g(m)=k+1(?)/+,數(shù)字x=pβ+q/(k+1)n∈(0,m/β-1)(n,p,q∈Z)有可數(shù)多個展式,然而區(qū)間(0,m/β-1)中的其他元素有不可數(shù)多個展式；如果m=2k,g(m)=k+1,數(shù)字p/(k+1)n∈(0,2)(n,p∈N∪{0})有可數(shù)多個展式,區(qū)間(0,2)中的其他元素有不可數(shù)多個展式,我們的結(jié)果包含Sidorov,Vershik的結(jié)果為特例.在最后一章中,我們總結(jié)了本文的主要結(jié)果,并提出了有待進一步研究的問題.
【學(xué)位授予單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O156

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2 牛敏;;一類三次Pisot數(shù)的一些性質(zhì)(英文)[J];數(shù)學(xué)雜志;2006年04期

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本文編號：1332098