本文關(guān)鍵詞：幾類四階非線性發(fā)展方程的整體吸引子　出處：《吉林大學(xué)》2015年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、空間科學(xué)、環(huán)境科學(xué)、氣象科學(xué)等領(lǐng)域,人們遇到了大量的非線性問(wèn)題.這些問(wèn)題有許多都可以用非線性發(fā)展方程(組)來(lái)表示.自上個(gè)世紀(jì)八十年代以來(lái),隨著許多高階非線性微分方程模型的提出,越來(lái)越多的數(shù)學(xué)工作者開(kāi)始把目光投向高階非線性發(fā)展方程的研究并取得了令人矚目的進(jìn)展.高階非線性發(fā)展方程理論研究中一個(gè)重要的問(wèn)題是：如果可以證明方程整體解的存在唯一性,那么當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)該整體解的漸進(jìn)性態(tài)如何,即方程解的長(zhǎng)時(shí)間行為的研究.而對(duì)非線性高階發(fā)展方程解的長(zhǎng)時(shí)間行為的研究的一個(gè)重要課題是考慮當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)在某個(gè)函數(shù)空間中任意有界集內(nèi)的初始數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的所有整體解的漸進(jìn)性態(tài),例如方程整體吸引子的存在性以及整體吸引子的結(jié)構(gòu)如何等(見(jiàn)[1]).本文研究了三種具有廣泛物理背景的四階非線性發(fā)展方程的整體吸引子存在性問(wèn)題.一、在第二章中,我們對(duì)如下的一類描述各向異性表面張力作用下能控?zé)崃W(xué)不穩(wěn)定晶體增長(zhǎng)現(xiàn)象的四階非線性發(fā)展方程的初邊值問(wèn)題的整體吸引子進(jìn)行了研究.首先,利用Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和一系列先驗(yàn)估計(jì),我們得到了該初邊值問(wèn)題(1)整體解的存在唯一性；然后,利用初邊值問(wèn)題所關(guān)聯(lián)的算子半群S(t)的相關(guān)性質(zhì),證明了在H2空間中有界吸收集的存在性和算子半群5(t)對(duì)充分大的時(shí)間t的一致緊性,得到了在空間中問(wèn)題(1)整體吸引子的存在性；進(jìn)一步,利用已得到的u空間中整體吸引子的存在性和分?jǐn)?shù)次空間的若干性質(zhì)(見(jiàn)[2]),通過(guò)迭代技巧,我們得到了在分?jǐn)?shù)次空間Hk((0≤k+∞)中方程(1)整體吸引子的存在性.二、在第三章中,我們對(duì)一類具周期邊值條件的Marangoni對(duì)流方程的整體吸引子進(jìn)行了研究.該方程具有如下形式：類似于第二章,我們首先利用Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和一系列先驗(yàn)估計(jì)得到方程(2)整體解的存在唯一性；然后利用算子半群S(t)的相關(guān)性質(zhì)得到了在空間中問(wèn)題(2)整體吸引子的存在性；進(jìn)一步通過(guò)迭代技巧,我們得到了在分?jǐn)?shù)次空間Hk(0≤k+∞)中方程(2)整體吸引子的存在性.在這里我們考慮的是二維方程(2)在分?jǐn)?shù)次空間Hk(0≤k+∞)整體吸引子的存在性.而在第二章,我們考慮的是一維方程(1)在分?jǐn)?shù)次空間Hk(0≤k+∞)整體吸引子的存在性.通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn),隨著維數(shù)的升高,問(wèn)題更具有現(xiàn)實(shí)意義,更接近于真實(shí)模型且更具有難度,先驗(yàn)估計(jì)更難得到.另外,Marangoni對(duì)流方程的非線性項(xiàng)為相對(duì)于能控晶體增長(zhǎng)方程的非線性項(xiàng),Marangoni對(duì)流方程非線性項(xiàng)具有更強(qiáng)的非線性性質(zhì),更難控制.在這里我們利用Nirenberg不等式,Sobolev嵌入定理等工具得到了方程(2)在適當(dāng)空間中的先驗(yàn)估計(jì).三、在第四章中,我們考慮了如下的一類描述薄膜外延增長(zhǎng)現(xiàn)象的四階非線性發(fā)展方程初邊值問(wèn)題：薄膜外延增長(zhǎng)方程是一類經(jīng)典的四階非線性發(fā)展方程.曾經(jīng)有許多數(shù)學(xué)工作者(例如Winkler, Yagi, Kohn, Tang Tao等)對(duì)該方程解的性質(zhì)以及數(shù)值解法進(jìn)行過(guò)相關(guān)的研究.在文獻(xiàn)[3,4]中,趙曉朋等人曾經(jīng)考慮過(guò)一維情形下和二維情形下初邊值問(wèn)題(3)整體吸引子的存在性.由于非線性項(xiàng)的限制,很難得到在更高維情形下問(wèn)題(3)解的H2-模先驗(yàn)估計(jì).在這里,我們借助于Lyapunov能量泛函,得到了在n(n≤3)維情形下問(wèn)題(3)解的H2-模先驗(yàn)估計(jì),進(jìn)一步利用Temam經(jīng)典著作[5]中關(guān)于整體吸引子存在性的經(jīng)典定理得到了在H2空間中初邊值問(wèn)題(3)整體吸引子的存在性.
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175.29

【參考文獻(xiàn)】

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1 ;Long-Time Behaviour of the Solutions for the Multidimensional Kolmogorov-Spieqel-Sivashinsky Equation[J];Acta Mathematica Sinica(English Series);2002年03期

2 戴正德,蔣慕蓉;EXISTENCE TIME OF SOLUTION OF THE (1+2)D KNOBLOCH EQUATION WITH INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM[J];Acta Mathematica Scientia;2000年04期

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1 趙曉朋;高階非線性拋物方程解的性質(zhì)及其數(shù)值解法[D];吉林大學(xué);2013年

2 吳昊;非線性發(fā)展方程及方程組整體解的漸近性態(tài)[D];復(fù)旦大學(xué);2007年

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本文編號(hào)：1331590